Thomsonin ongelma

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 30. maaliskuuta 2020 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Thomsonin ongelman tavoitteena on määrittää sähköstaattisen varauksen kokonaispotentiaalienergian minimikonfiguraatio N elektronille , jota rajoittaa yksikköpallon pinta ja jotka hylkivät toisistaan Coulombin lain antaman voiman . Fyysikko J. J. Thomson otti ongelman esiin vuonna 1904 ehdotettuaan atomimallia, jota myöhemmin kutsuttiin vanukasmalliksi , perustuen hänen tietoonsa negatiivisesti varautuneiden elektronien olemassaolosta neutraalisti varautuneissa atomeissa.

Tähän liittyviä ongelmia ovat minimienergiakonfiguraation geometrian tutkiminen ja N minimienergian käyttäytymisen tutkiminen suuressa N :ssä.

Matemaattinen muotoilu

Thomsonin ongelmaan sisältynyt fyysinen järjestelmä on erikoistapaus yhdestä kahdeksastatoista ratkaisemattomasta matemaattisesta ongelmasta , jonka matemaatikko Steven Smale ehdotti - "Pisteiden jakautuminen pallolla". Ratkaisu kuhunkin N elektronin ongelmaan saadaan, kun N elektronin konfiguraatio, jota rajoittaa yksikkösäteen pallon pinta, r = 1, antaa sähköstaattisen potentiaalienergian U(N) globaalin minimin.

Sähköstaattisen vuorovaikutuksen energia, joka tapahtuu kunkin samanvaraisen elektroniparin välillä ( , elektronin alkuvaraus) määräytyy Coulombin lain mukaan, $e_{i}=e_{j}=e$

${\displaystyle {U_{ij}(N)=k_{e}{e_{i}e_{j} \over r_{ij))).))$

tässä on Coulombin vakio ja kunkin pallon pisteissä sijaitsevien elektronien välinen etäisyys, jotka määräytyvät vektorien ja vastaavasti. ${\displaystyle k_{e))$ $r_{ij}=|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|$ ${\näyttötyyli {r}_{i}}$ ${\näyttötyyli {r}_{j))$

Yksinkertaistetut yksiköt ja niitä käytetään menettämättä päätarkoitusta. Sitten, $e=1$ $k_{e}=1$

${\displaystyle {\U_{ij}(N)={1 \over r_{ij)).))$

Jokaisen N-elektronikonfiguraation sähköstaattisen varauksen kokonaispotentiaalienergia voidaan ilmaista kaikkien parien vuorovaikutusten summana.

${\displaystyle U(N)=\sum _{i<j}{\frac {1}{r_{ij}}}.}$

Globaali minimointi kaikissa mahdollisissa N erillisen pisteen joukossa löydetään yleensä numeerisilla minimointialgoritmeilla.

Esimerkki

Ratkaisu Thomsonin ongelmaan kahdelle elektronille saadaan, kun molemmat elektronit ovat mahdollisimman kaukana toisistaan origon vastakkaisilla puolilla , tai ${\displaystyle {\displaystyle r_{ij}=2r=2))$

{\displaystyle U(2)={1 \over 2}}.}

Tunnetut ratkaisut

Kaaviogeometriset ratkaisut matemaattiseen Thomson-tehtävään N = 5 elektroniin asti.

Vähimmäisenergiakokoonpanot on määritelty tiukasti vain muutamissa tapauksissa.

Kun N = 1, ratkaisu on triviaali, koska elektroni voi sijaita missä tahansa yksikköpallon pinnan kohdassa. Konfiguraation kokonaisenergia määritellään nollaksi, koska elektroniin ei kohdistu sähkökenttää muiden varauslähteiden vuoksi.
Kun N = 2, optimaalinen konfiguraatio koostuu elektroneista vastapäispisteissä.
Kun N = 3, elektronit ovat suurympyrän ympärillä olevan tasasivuisen kolmion kärjessä.
Kun N = 4, elektronit ovat säännöllisen tetraedrin huipuissa .
Arvolle N = 5 saatiin vuonna 2010 matemaattisesti tiukka tietokoneratkaisu, jossa elektronit sijaitsevat kolmion muotoisen dipyramidin kärjessä.
Kun N = 6, elektronit ovat säännöllisen oktaedrin huipuissa .
Kun N = 12, elektronit ovat säännöllisen ikosaedrin huipuissa .

On huomionarvoista, että Thomsonin ongelman geometriset ratkaisut N = 4, 6 ja 12 elektronille tunnetaan platonisina kiinteinä aineina, joiden pinnat ovat tasasivuisia kolmioita. Numeeriset ratkaisut arvoille N = 8 ja 20 eivät ole säännöllisiä kuperaa monitahoista konfiguraatiota jäljellä oleville kahdelle platoniselle kiintoaineelle , joiden pinnat ovat vastaavasti neliömäisiä ja viisikulmaisia.

Yleistykset

On myös mahdollista tiedustella mielivaltaisten potentiaalien kanssa vuorovaikutuksessa olevien hiukkasten perustiloja. Matemaattisesti tarkalleen, olkoon f laskeva reaalifunktio. Määrittelemme energiafunktion $\sum _{i<j}f(|x_{i}-x_{j}|)$

Perinteisesti tunnetaan myös Riesz-ytimenä. Ei-integroitaville Riesz-ytimille unikon donitsi-lause pätee . Huomattavia tapauksia ovat α = ∞, Tammes-ongelma; α = 1, Thomsonin ongelma; α = 0, Whiten ongelma (etäisyyden tulon maksimoimiseksi). ${\displaystyle f(x)=x^{-\alpha ))$

Suhteet muihin tieteellisiin kysymyksiin

Thomsonin ongelma on luonnollinen seuraus Thomsonin luumuvanukasmallista sen yhtenäisen positiivisen taustavarauksen puuttuessa.

"Mikään atomista löydetty tosiasia ei voi olla triviaalia ja voi nopeuttaa fysiikan kehitystä, koska suurin osa luonnonfilosofiasta on tulosta atomin rakenteesta ja mekanismista."

Vaikka kokeelliset tiedot ovat johtaneet Thomson- vanukasmallin luopumiseen täydellisenä atomin mallina, on havaittu, että Thomsonin ongelman numeerisissa energiaratkaisuissa havaitut epähomogeenisuudet vastaavat elektronikuoren täyttymistä luonnollisilla atomeilla kauttaaltaan. alkuaineiden jaksollinen järjestelmä.

Thomson-ongelmalla on rooli myös muiden fysikaalisten mallien tutkimuksessa, mukaan lukien monielektroniset kuplat ja Paul-ansoihin jääneiden nestemäisten metallipisaroiden pintajärjestys.

Yleistetty Thomsonin ongelma syntyy esimerkiksi määritettäessä pallomaisten virusten vaipat muodostavien proteiinialayksiköiden sijaintia. "Partikkelit" ovat tässä tapauksessa proteiinien alayksiköiden klustereita, jotka sijaitsevat kuoressa. Muita esimerkkejä ovat kolloidisten hiukkasten säännöllinen järjestely kolloidosomeissa , joiden on ehdotettu kapseloimaan aktiivisia aineosia, kuten lääkkeitä, ravinteita tai eläviä soluja, hiiliatomien fullereenirakenteet ja elektroniparin hylkimisen teoria. Esimerkki pitkän kantaman logaritmisista vuorovaikutuksista ovat Abrikosovin pyörteet, jotka muodostuisivat alhaisissa lämpötiloissa suprajohtavaan metallikuoreen, jonka keskellä on suuri sähkömagneettinen kenttä.

Alhaisimmat tunnetut energiakokoonpanot

Seuraavassa taulukossa - pisteiden (varausten) määrä konfiguraatiossa, - energia, symmetriatyyppi on ilmoitettu Schoenfliesin merkinnällä (katso Pisteryhmät kolmessa ulottuvuudessa ), - varausten sijainnit. Useimmat symmetriatyypit vaativat paikkojen vektorisumman (ja siten sähköisen dipolimomentin ) olevan nolla. $N$ $E_1$ $r_{i}$

On myös tapana ottaa huomioon pisteiden kuperan rungon muodostama monitahoinen. Onko siis niiden kärkien lukumäärä, joissa tietty määrä reunoja esiintyy, on reunojen kokonaismäärä, on kolmion pintojen lukumäärä, on nelikulmion pintojen lukumäärä ja on pienin kulma, jota edustavat lähimpään pariin liittyvät vektorit maksuista. Huomaa, että reunan pituudet eivät yleensä ole yhtä suuret; siten (lukuun ottamatta tapauksia N = 4, 6, 12, 24) kupera runko vastaa vain topologisesti homogeenista monitahoista tai Johnson-kappaletta. Viimeksi mainitut on lueteltu viimeisessä sarakkeessa. $v_{i}$ $e$ $f_3$ ${\displaystyle f_{4))$ $\theta _{1}$

N	E 1	Symmetria	${\displaystyle \left\|\sum \mathbf {r} _{i}\right\|}$	${\displaystyle v_{3}}$	${\displaystyle v_{4))$	${\displaystyle v_{5))$	${\displaystyle v_{6}}$	${\displaystyle v_{7))$	${\displaystyle v_{8))$	e	${\displaystyle f_{3))$	${\displaystyle f_{4))$	$\theta _{1}$	Vastaava monitahoinen
2	0,500000000	${\displaystyle D_{\infty h))$	0	—	—	—	—	—	—	yksi	—	—	180 000°	dvuagon
3	1.732050808	${\näyttötyyli D_{3h))$	0	—	—	—	—	—	—	3	yksi	—	120 000°	kolmio
neljä	3,674234614	${\näyttötyyli T_{d))$	0	neljä	0	0	0	0	0	6	neljä	0	109,471°	tetraedri
5	6,474691495	${\näyttötyyli D_{3h))$	0	2	3	0	0	0	0	9	6	0	90 000°	kolmion muotoinen dipyramidi
6	9,985281374	$O_{h}$	0	0	6	0	0	0	0	12	kahdeksan	0	90 000°	oktaedri
7	+14.452977414	${\näyttötyyli D_{5h))$	0	0	5	2	0	0	0	viisitoista	kymmenen	0	72 000°	viisikulmainen dipyramidi
kahdeksan	+19.675287861	${\näyttötyyli D_{4d))$	0	0	kahdeksan	0	0	0	0	16	kahdeksan	2	71,694°	neliönmuotoinen antiprisma
9	+25.759986531	${\näyttötyyli D_{3h))$	0	0	3	6	0	0	0	21	neljätoista	0	69,190°	Kolmisivuinen prisma
kymmenen	+32.716949460	${\näyttötyyli D_{4d))$	0	0	2	kahdeksan	0	0	0	24	16	0	64,996°	Gyro pitkänomainen neliömäinen dipyramidi
yksitoista	+40.596450510	${\displaystyle C_{2v))$	0,013219635	0	2	kahdeksan	yksi	0	0	27	kahdeksantoista	0	58,540°	reunan puristama ikosaedri
12	+49.165253058	$I_{h}$	0	0	0	12	0	0	0	kolmekymmentä	kaksikymmentä	0	63,435°	ikosaedri
13	+58.853230612	${\displaystyle C_{2v))$	0,008820367	0	yksi	kymmenen	2	0	0	33	22	0	52,317°	—
neljätoista	+69.306363297	${\näyttötyyli D_{6d))$	0	0	0	12	2	0	0	36	24	0	52,866°	kierretty pitkänomainen kuusikulmainen dipyramidi
viisitoista	+80.670244114	${\näyttötyyli D_{3))$	0	0	0	12	3	0	0	39	26	0	49,225°	—
16	+92.911655302	$T$	0	0	0	12	neljä	0	0	42	28	0	48,936°	—
17	+106.050404829	${\näyttötyyli D_{5h))$	0	0	0	12	5	0	0	45	kolmekymmentä	0	50,108°	—
kahdeksantoista	+120.084467447	${\näyttötyyli D_{4d))$	0	0	2	kahdeksan	kahdeksan	0	0	48	32	0	47,534°	—
19	+135.089467557	${\displaystyle C_{2v))$	0,000135163	0	0	neljätoista	5	0	0	viisikymmentä	32	yksi	44,910°	—
kaksikymmentä	+150.881568334	${\näyttötyyli D_{3h))$	0	0	0	12	kahdeksan	0	0	54	36	0	46,093°	—
21	+167.641622399	${\displaystyle C_{2v))$	0,001406124	0	yksi	kymmenen	kymmenen	0	0	57	38	0	44,321°	—
22	+185.287536149	${\näyttötyyli T_{d))$	0	0	0	12	kymmenen	0	0	60	40	0	43,302°	—
23	+203.930190663	${\näyttötyyli D_{3))$	0	0	0	12	yksitoista	0	0	63	42	0	41,481°	—
24	+223.347074052	$O$	0	0	0	24	0	0	0	60	32	6	42,065°	snub-kuutio
25	+243.812760299	$C_{S}$	0,001021305	0	0	neljätoista	yksitoista	0	0	68	44	yksi	39,610°	—
26	+265.133326317	$C_{2}$	0,001919065	0	0	12	neljätoista	0	0	72	48	0	38,842°	—
27	+287.302615033	${\näyttötyyli D_{5h))$	0	0	0	12	viisitoista	0	0	75	viisikymmentä	0	39,940°	—
28	+310.491542358	$T$	0	0	0	12	16	0	0	78	52	0	37,824°	—
29	+334.634439920	${\näyttötyyli D_{3))$	0	0	0	12	17	0	0	81	54	0	36,391°	—
kolmekymmentä	+359.603945904	$D_{2}$	0	0	0	12	kahdeksantoista	0	0	84	56	0	36,942°	—
31	+385.530838063	${\displaystyle C_{3v))$	0,003204712	0	0	12	19	0	0	87	58	0	36,373°	—
32	+412.261274651	$I_{h}$	0	0	0	12	kaksikymmentä	0	0	90	60	0	37,377°	—
33	+440.204057448	$C_{s}$	0,004356481	0	0	viisitoista	17	yksi	0	92	60	yksi	33.700°	—
34	+468.904853281	$D_{2}$	0	0	0	12	22	0	0	96	64	0	33,273°	—
35	+498.569872491	$C_{2}$	0,000419208	0	0	12	23	0	0	99	66	0	33.100°	—
36	+529.122408375	$D_{2}$	0	0	0	12	24	0	0	102	68	0	33,229°	—
37	+560.618887731	${\näyttötyyli D_{5h))$	0	0	0	12	25	0	0	105	70	0	32,332°	—
38	+593.038503566	${\näyttötyyli D_{6d))$	0	0	0	12	26	0	0	108	72	0	33,236°	—
39	+626.389009017	${\näyttötyyli D_{3h))$	0	0	0	12	27	0	0	111	74	0	32,053°	—
40	+660.675278835	${\näyttötyyli T_{d))$	0	0	0	12	28	0	0	114	76	0	31,916°	—
41	+695.916744342	${\näyttötyyli D_{3h))$	0	0	0	12	29	0	0	117	78	0	31,528°	—
42	+732.078107544	${\näyttötyyli D_{5h))$	0	0	0	12	kolmekymmentä	0	0	120	80	0	31,245°	—
43	+769.190846459	${\displaystyle C_{2v))$	0,000399668	0	0	12	31	0	0	123	82	0	30,867°	—
44	+807.174263085	$O_{h}$	0	0	0	24	kaksikymmentä	0	0	120	72	6	31,258°	—
45	+846.188401061	${\näyttötyyli D_{3))$	0	0	0	12	33	0	0	129	86	0	30,207°	—
46	+886.167113639	$T$	0	0	0	12	34	0	0	132	88	0	29,790°	—
47	+927.059270680	$C_{s}$	0,002482914	0	0	neljätoista	33	0	0	134	88	yksi	28,787°	—
48	+968.713455344	$O$	0	0	0	24	24	0	0	132	80	6	29,690°	—
49	+1011.557182654	$C_{{3}}$	0,001529341	0	0	12	37	0	0	141	94	0	28,387°	—
viisikymmentä	+1055.182314726	${\näyttötyyli D_{6d))$	0	0	0	12	38	0	0	144	96	0	29,231°	—
51	+1099.819290319	${\näyttötyyli D_{3))$	0	0	0	12	39	0	0	147	98	0	28,165°	—
52	+1145.418964319	$C_{{3}}$	0,000457327	0	0	12	40	0	0	150	100	0	27,670°	—
53	+1191.922290416	$C_{{2v}}$	0,000278469	0	0	kahdeksantoista	35	0	0	150	96	3	27,137°	—
54	+1239.361474729	$C_{2}$	0,000137870	0	0	12	42	0	0	156	104	0	27,030°	—
55	+1287.772720783	$C_{2}$	0,000391696	0	0	12	43	0	0	159	106	0	26,615°	—
56	+1337.094945276	$D_{2}$	0	0	0	12	44	0	0	162	108	0	26,683°	—
57	+1387.383229253	${\näyttötyyli D_{3))$	0	0	0	12	45	0	0	165	110	0	26,702°	—
58	+1438.618250640	$D_{2}$	0	0	0	12	46	0	0	168	112	0	26,155°	—
59	+1490.773335279	$C_{2}$	0,000154286	0	0	neljätoista	43	2	0	171	114	0	26,170°	—
60	+1543.830400976	${\näyttötyyli D_{3))$	0	0	0	12	48	0	0	174	116	0	25,958°	—
61	+1597.941830199	$C_{1}$	0,001091717	0	0	12	49	0	0	177	118	0	25,392°	—
62	+1652.909409898	$D_{5}$	0	0	0	12	viisikymmentä	0	0	180	120	0	25,880°	—
63	+1708.879681503	${\näyttötyyli D_{3))$	0	0	0	12	51	0	0	183	122	0	25,257°	—
64	+1765.802577927	$D_{2}$	0	0	0	12	52	0	0	186	124	0	24,920°	—
65	+1823.667960264	$C_{2}$	0,000399515	0	0	12	53	0	0	189	126	0	24,527°	—
66	+1882.441525304	$C_{2}$	0,000776245	0	0	12	54	0	0	192	128	0	24,765°	—
67	+1942.122700406	$D_{5}$	0	0	0	12	55	0	0	195	130	0	24,727°	—
68	+2002.874701749	$D_{2}$	0	0	0	12	56	0	0	198	132	0	24,433°	—
69	+2064.533483235	${\näyttötyyli D_{3))$	0	0	0	12	57	0	0	201	134	0	24,137°	—
70	+2127.100901551	${\näyttötyyli D_{2d))$	0	0	0	12	viisikymmentä	0	0	200	128	neljä	24,291°	—
71	+2190.649906425	$C_{2}$	0,001256769	0	0	neljätoista	55	2	0	207	138	0	23,803°	—
72	+2255.001190975	$minä$	0	0	0	12	60	0	0	210	140	0	24,492°	—
73	+2320.633883745	$C_{2}$	0,001572959	0	0	12	61	0	0	213	142	0	22,810°	—
74	+2387.072981838	$C_{2}$	0,000641539	0	0	12	62	0	0	216	144	0	22,966°	—
75	+2454.369689040	${\näyttötyyli D_{3))$	0	0	0	12	63	0	0	219	146	0	22,736°	—
76	+2522.674871841	$C_{2}$	0,000943474	0	0	12	64	0	0	222	148	0	22,886°	—
77	+2591.850152354	$D_{5}$	0	0	0	12	65	0	0	225	150	0	23,286°	—
78	+2662.046474566	$T_{h}$	0	0	0	12	66	0	0	228	152	0	23,426°	—
79	+2733.248357479	$C_{s}$	0,000702921	0	0	12	63	yksi	0	230	152	yksi	22,636°	—
80	+2805.355875981	${\näyttötyyli D_{4d))$	0	0	0	16	64	0	0	232	152	2	22,778°	—
81	+2878.522829664	$C_{2}$	0,000194289	0	0	12	69	0	0	237	158	0	21,892°	—
82	+2952.569675286	$D_{2}$	0	0	0	12	70	0	0	240	160	0	22,206°	—
83	+3027.528488921	$C_{2}$	0,000339815	0	0	neljätoista	67	2	0	243	162	0	21,646°	—
84	+3103.465124431	$C_{2}$	0,000401973	0	0	12	72	0	0	246	164	0	21,513°	—
85	+3180.361442939	$C_{2}$	0,000416581	0	0	12	73	0	0	249	166	0	21,498°	—
86	+3258.211605713	$C_{2}$	0,001378932	0	0	12	74	0	0	252	168	0	21,522°	—
87	+3337.000750014	$C_{2}$	0,000754863	0	0	12	75	0	0	255	170	0	21,456°	—
88	+3416.720196758	$D_{2}$	0	0	0	12	76	0	0	258	172	0	21,486°	—
89	+3497.439018625	$C_{2}$	0,000070891	0	0	12	77	0	0	261	174	0	21,182°	—
90	+3579.091222723	${\näyttötyyli D_{3))$	0	0	0	12	78	0	0	264	176	0	21,230°	—
91	+3661.713699320	$C_{2}$	0,000033221	0	0	12	79	0	0	267	178	0	21,105°	—
92	+3745.291636241	$D_{2}$	0	0	0	12	80	0	0	270	180	0	21,026°	—
93	+3829.844338421	$C_{2}$	0,000213246	0	0	12	81	0	0	273	182	0	20,751°	—
94	+3915.309269620	$D_{2}$	0	0	0	12	82	0	0	276	184	0	20,952°	—
95	+4001.771675565	$C_{2}$	0,000116638	0	0	12	83	0	0	279	186	0	20,711°	—
96	+4089.154010060	$C_{2}$	0,000036310	0	0	12	84	0	0	282	188	0	20,687°	—
97	+4177.533599622	$C_{2}$	0,000096437	0	0	12	85	0	0	285	190	0	20,450°	—
98	+4266.822464156	$C_{2}$	0,000112916	0	0	12	86	0	0	288	192	0	20,422°	—
99	+4357.139163132	$C_{2}$	0,000156508	0	0	12	87	0	0	291	194	0	20,284°	—
100	+4448.350634331	$T$	0	0	0	12	88	0	0	294	196	0	20,297°	—
101	+4540.590051694	${\näyttötyyli D_{3))$	0	0	0	12	89	0	0	297	198	0	20,011°	—
102	+4633.736565899	${\näyttötyyli D_{3))$	0	0	0	12	90	0	0	300	200	0	20,040°	—
103	+4727.836616833	$C_{2}$	0,000201245	0	0	12	91	0	0	303	202	0	19,907°	—
104	+4822.876522746	$D_{6}$	0	0	0	12	92	0	0	306	204	0	19,957°	—
105	+4919.000637616	${\näyttötyyli D_{3))$	0	0	0	12	93	0	0	309	206	0	19,842°	—
106	+5015.984595705	${\näyttötyyli D_{2))$	0	0	0	12	94	0	0	312	208	0	19,658°	—
107	+5113.953547724	$C_{2}$	0,000064137	0	0	12	95	0	0	315	210	0	19,327°	—
108	+5212.813507831	$C_{2}$	0,000432525	0	0	12	96	0	0	318	212	0	19,327°	—
109	+5312.735079920	$C_{2}$	0,000647299	0	0	neljätoista	93	2	0	321	214	0	19,103°	—
110	+5413.549294192	$D_{6}$	0	0	0	12	98	0	0	324	216	0	19,476°	—
111	+5515.293214587	${\näyttötyyli D_{3))$	0	0	0	12	99	0	0	327	218	0	19,255°	—
112	+5618.044882327	$D_{5}$	0	0	0	12	100	0	0	330	220	0	19,351°	—
113	+5721.824978027	${\näyttötyyli D_{3))$	0	0	0	12	101	0	0	333	222	0	18,978°	—
114	+5826.521572163	$C_{2}$	0,000149772	0	0	12	102	0	0	336	224	0	18,836°	—
115	+5932.181285777	$C_{{3}}$	0,000049972	0	0	12	103	0	0	339	226	0	18,458°	—
116	+6038.815593579	$C_{2}$	0,000259726	0	0	12	104	0	0	342	228	0	18,386°	—
117	+6146.342446579	$C_{2}$	0,000127609	0	0	12	105	0	0	345	230	0	18,566°	—
118	+6254.877027790	$C_{2}$	0,000332475	0	0	12	106	0	0	348	232	0	18,455°	—
119	+6364.347317479	$C_{2}$	0,000685590	0	0	12	107	0	0	351	234	0	18,336°	—
120	+6474.756324980	$C_{s}$	0,001373062	0	0	12	108	0	0	354	236	0	18,418°	—
121	+6586.121949584	$C_{{3}}$	0,000838863	0	0	12	109	0	0	357	238	0	18,199°	—
122	+6698.374499261	$I_{h}$	0	0	0	12	110	0	0	360	240	0	18,612°	—
123	+6811.827228174	$C_{{2v}}$	0,001939754	0	0	neljätoista	107	2	0	363	242	0	17,840°	—
124	+6926.169974193	$D_{2}$	0	0	0	12	112	0	0	366	244	0	18,111°	—
125	+7041.473264023	$C_{2}$	0,000088274	0	0	12	113	0	0	369	246	0	17,867°	—
126	+7157.669224867	${\näyttötyyli D_{4))$	0	0	2	16	100	kahdeksan	0	372	248	0	17,920°	—
127	+7274.819504675	$D_{5}$	0	0	0	12	115	0	0	375	250	0	17,877°	—
128	+7393.007443068	$C_{2}$	0,000054132	0	0	12	116	0	0	378	252	0	17,814°	—
129	+7512.107319268	$C_{2}$	0,000030099	0	0	12	117	0	0	381	254	0	17,743°	—
130	+7632.167378912	$C_{2}$	0,000025622	0	0	12	118	0	0	384	256	0	17,683°	—
131	+7753.205166941	$C_{2}$	0,000305133	0	0	12	119	0	0	387	258	0	17,511°	—
132	+7875.045342797	$minä$	0	0	0	12	120	0	0	390	260	0	17,958°	—
133	+7998.179212898	$C_{{3}}$	0,000591438	0	0	12	121	0	0	393	262	0	17,133°	—
134	+8122.089721194	$C_{2}$	0,000470268	0	0	12	122	0	0	396	264	0	17,214°	—
135	+8246.909486992	${\näyttötyyli D_{3))$	0	0	0	12	123	0	0	399	266	0	17,431°	—
136	+8372.743302539	$T$	0	0	0	12	124	0	0	402	268	0	17,485°	—
137	+8499.534494782	$D_{5}$	0	0	0	12	125	0	0	405	270	0	17,560°	—
138	+8627.406389880	$C_{2}$	0,000473576	0	0	12	126	0	0	408	272	0	16,924°	—
139	+8756.227056057	$C_{2}$	0,000404228	0	0	12	127	0	0	411	274	0	16,673°	—
140	+8885.980609041	$C_{1}$	0,000630351	0	0	13	126	yksi	0	414	276	0	16,773°	—
141	+9016.615349190	$C_{{2v}}$	0,000376365	0	0	neljätoista	126	0	yksi	417	278	0	16,962°	—
142	+9148.271579993	$C_{2}$	0,000550138	0	0	12	130	0	0	420	280	0	16,840°	—
143	+9280.839851192	$C_{2}$	0,000255449	0	0	12	131	0	0	423	282	0	16,782°	—
144	+9414.371794460	$D_{2}$	0	0	0	12	132	0	0	426	284	0	16,953°	—
145	+9548.928837232	$C_{s}$	0,000094938	0	0	12	133	0	0	429	286	0	16,841°	—
146	+9684.381825575	$D_{2}$	0	0	0	12	134	0	0	432	288	0	16,905°	—
147	+9820.932378373	$C_{2}$	0,000636651	0	0	12	135	0	0	435	290	0	16,458°	—
148	+9958.406004270	$C_{2}$	0,000203701	0	0	12	136	0	0	438	292	0	16,627°	—
149	+10096.859907397	$C_{1}$	0,000638186	0	0	neljätoista	133	2	0	441	294	0	16,344°	—
150	+10236.196436701	$T$	0	0	0	12	138	0	0	444	296	0	16,405°	—
151	+10376.571469275	$C_{2}$	0,000153836	0	0	12	139	0	0	447	298	0	16,163°	—
152	+10517.867592878	$D_{2}$	0	0	0	12	140	0	0	450	300	0	16,117°	—
153	+10660.082748237	${\näyttötyyli D_{3))$	0	0	0	12	141	0	0	453	302	0	16,390°	—
154	+10803.372421141	$C_{2}$	0,000735800	0	0	12	142	0	0	456	304	0	16,078°	—
155	+10947.574692279	$C_{2}$	0,000603670	0	0	12	143	0	0	459	306	0	15,990°	—
156	+11092.798311456	$C_{2}$	0,000508534	0	0	12	144	0	0	462	308	0	15,822°	—
157	+11238.903041156	$C_{2}$	0,000357679	0	0	12	145	0	0	465	310	0	15,948°	—
158	+11385.990186197	$C_{2}$	0,000921918	0	0	12	146	0	0	468	312	0	15,987°	—
159	+11534.023960956	$C_{2}$	0,000381457	0	0	12	147	0	0	471	314	0	15,960°	—
160	+11683.054805549	$D_{2}$	0	0	0	12	148	0	0	474	316	0	15,961°	—
161	+11833.084739465	$C_{2}$	0,000056447	0	0	12	149	0	0	477	318	0	15,810°	—
162	+11984.050335814	${\näyttötyyli D_{3))$	0	0	0	12	150	0	0	480	320	0	15,813°	—
163	+12136.013053220	$C_{2}$	0,000120798	0	0	12	151	0	0	483	322	0	15,675°	—
164	+12288.930105320	$D_{2}$	0	0	0	12	152	0	0	486	324	0	15,655°	—
165	+12442.804451373	$C_{2}$	0,000091119	0	0	12	153	0	0	489	326	0	15,651°	—
166	+12597.649071323	${\näyttötyyli D_{2d))$	0	0	0	16	146	neljä	0	492	328	0	15,607°	—
167	+12753.469429750	$C_{2}$	0,000097382	0	0	12	155	0	0	495	330	0	15.600°	—
168	+12910.212672268	${\näyttötyyli D_{3))$	0	0	0	12	156	0	0	498	332	0	15,655°	—
169	+13068.006451127	$C_{s}$	0,000068102	0	0	13	155	yksi	0	501	334	0	15,537°	—
170	+13226.681078541	${\näyttötyyli D_{2d))$	0	0	0	12	158	0	0	504	336	0	15,569°	—
171	+13386.355930717	${\näyttötyyli D_{3))$	0	0	0	12	159	0	0	507	338	0	15,497°	—
172	+13547.018108787	$C_{{2v}}$	0,000547291	0	0	neljätoista	156	2	0	510	340	0	15,292°	—
173	+13708.635243034	$C_{s}$	0,000286544	0	0	12	161	0	0	513	342	0	15,225°	—
174	+13871.187092292	$D_{2}$	0	0	0	12	162	0	0	516	344	0	15,366°	—
175	+14034.781306929	$C_{2}$	0,000026686	0	0	12	163	0	0	519	346	0	15,252°	—
176	+14199.354775632	$C_{1}$	0,000283978	0	0	12	164	0	0	522	348	0	15,101°	—
177	+14364.837545298	$D_{5}$	0	0	0	12	165	0	0	525	350	0	15,269°	—
178	+14531.309552587	$D_{2}$	0	0	0	12	166	0	0	528	352	0	15,145°	—
179	+14698.754594220	$C_{1}$	0,000125113	0	0	13	165	yksi	0	531	354	0	14,968°	—
180	+14867.099927525	$D_{2}$	0	0	0	12	168	0	0	534	356	0	15,067°	—
181	+15036.467239769	$C_{2}$	0,000304193	0	0	12	169	0	0	537	358	0	15,002°	—
182	+15206.730610906	$D_{5}$	0	0	0	12	170	0	0	540	360	0	15,155°	—
183	+15378.166571028	$C_{1}$	0,000467899	0	0	12	171	0	0	543	362	0	14,747°	—
184	+15550.421450311	$T$	0	0	0	12	172	0	0	546	364	0	14,932°	—
185	+15723.720074072	$C_{2}$	0,000389762	0	0	12	173	0	0	549	366	0	14,775°	—
186	+15897.897437048	$C_{1}$	0,000389762	0	0	12	174	0	0	552	368	0	14,739°	—
187	+16072.975186320	$D_{5}$	0	0	0	12	175	0	0	555	370	0	14,848°	—
188	+16249.222678879	$D_{2}$	0	0	0	12	176	0	0	558	372	0	14,740°	—
189	+16426.371938862	$C_{2}$	0,000020732	0	0	12	177	0	0	561	374	0	14,671°	—
190	+16604.428338501	$C_{{3}}$	0,000586804	0	0	12	178	0	0	564	376	0	14,501°	—
191	+16783.452219362	$C_{1}$	0,001129202	0	0	13	177	yksi	0	567	378	0	14,195°	—
192	+16963.338386460	$minä$	0	0	0	12	180	0	0	570	380	0	14,819°	—
193	+17144.564740880	$C_{2}$	0,000985192	0	0	12	181	0	0	573	382	0	14,144°	—
194	+17326.616136471	$C_{1}$	0,000322358	0	0	12	182	0	0	576	384	0	14,350°	—
195	+17509.489303930	${\näyttötyyli D_{3))$	0	0	0	12	183	0	0	579	386	0	14,375°	—
196	+17693.460548082	$C_{2}$	0,000315907	0	0	12	184	0	0	582	388	0	14,251°	—
197	+17878.340162571	$D_{5}$	0	0	0	12	185	0	0	585	390	0	14,147°	—
198	+18064.262177195	$C_{2}$	0,000011149	0	0	12	186	0	0	588	392	0	14,237°	—
199	+18251.082495640	$C_{1}$	0,000534779	0	0	12	187	0	0	591	394	0	14,153°	—
200	+18438.842717530	$D_{2}$	0	0	0	12	188	0	0	594	396	0	14,222°	—
201	+18627.591226244	$C_{1}$	0,001048859	0	0	13	187	yksi	0	597	398	0	13,830°	—
202	+18817.204718262	$D_{5}$	0	0	0	12	190	0	0	600	400	0	14,189°	—
203	+19007.981204580	$C_{s}$	0,000600343	0	0	12	191	0	0	603	402	0	13,977°	—
204	+19199.540775603	$T_{h}$	0	0	0	12	192	0	0	606	404	0	14,291°	—
212	+20768.053085964	$minä$	0	0	0	12	200	0	0	630	420	0	14,118°	—
214	+21169.910410375	$T$	0	0	0	12	202	0	0	636	424	0	13,771°	—
216	+21575.596377869	${\näyttötyyli D_{3))$	0	0	0	12	204	0	0	642	428	0	13,735°	—
217	+21779.856080418	$D_{5}$	0	0	0	12	205	0	0	645	430	0	13,902°	—
232	+24961.252318934	$T$	0	0	0	12	220	0	0	690	460	0	13,260°	—
255	+30264.424251281	${\näyttötyyli D_{3))$	0	0	0	12	243	0	0	+759	506	0	12,565°	—
256	+30506.687515847	$T$	0	0	0	12	244	0	0	762	508	0	12,572°	—
257	+30749.941417346	$D_{5}$	0	0	0	12	245	0	0	765	510	0	12,672°	—
272	+34515.193292681	$I_{h}$	0	0	0	12	260	0	0	810	540	0	12,335°	—
282	+37147.294418462	$minä$	0	0	0	12	270	0	0	840	560	0	12,166°	—
292	+39877.008012909	$D_{5}$	0	0	0	12	280	0	0	870	580	0	11,857°	—
306	+43862.569780797	$T_{h}$	0	0	0	12	294	0	0	912	608	0	11,628°	—
312	+45629.313804002	$C_{2}$	0,000306163	0	0	12	300	0	0	930	620	0	11,299°	—
315	+46525.825643432	${\näyttötyyli D_{3))$	0	0	0	12	303	0	0	+939	626	0	11,337°	—
317	+47128.310344520	$D_{5}$	0	0	0	12	305	0	0	945	630	0	11,423°	—
318	+47431.056020043	${\näyttötyyli D_{3))$	0	0	0	12	306	0	0	+948	632	0	11,219°	—
334	+52407.728127822	$T$	0	0	0	12	322	0	0	+996	664	0	11,058°	—
348	+56967.472454334	$T_{h}$	0	0	0	12	336	0	0	1038	692	0	10,721°	—
357	+59999.922939598	$D_{5}$	0	0	0	12	345	0	0	1065	710	0	10,728°	—
358	+60341.830924588	$T$	0	0	0	12	346	0	0	1068	712	0	10,647°	—
372	+65230.027122557	$minä$	0	0	0	12	360	0	0	1110	740	0	10,531°	—
382	+68839.426839215	$D_{5}$	0	0	0	12	370	0	0	1140	760	0	10,379°	—
390	+71797.035335953	$T_{h}$	0	0	0	12	378	0	0	1164	+776	0	10,222°	—
392	+72546.258370889	$minä$	0	0	0	12	380	0	0	1170	780	0	10,278°	—
400	+75582.448512213	$T$	0	0	0	12	388	0	0	+1194	+796	0	10,068°	—
402	+76351.192432673	$D_{5}$	0	0	0	12	390	0	0	1200	800	0	10,099°	—
432	+88353.709681956	${\näyttötyyli D_{3))$	0	0	0	24	396	12	0	1290	860	0	9,556°	—
448	+95115.546986209	$T$	0	0	0	24	412	12	0	1338	892	0	9,322°	—
460	+100351.763108673	$T$	0	0	0	24	424	12	0	1374	916	0	9,297°	—
468	+103920.871715127	$S_{6}$	0	0	0	24	432	12	0	1398	+932	0	9,120°	—
470	+104822.886324279	$S_{6}$	0	0	0	24	434	12	0	1404	+936	0	9,059°	—

Oletuksen mukaan, jos , p on m pisteen kuperan rungon muodostama monitaho , q on nelikulmaisten pintojen lukumäärä p , niin m elektronin ratkaisu on f ( m ): . ${\displaystyle {\displaystyle m=n+2))$ ${\displaystyle {\displaystyle f(m)=0^{n}+3n-q))$

Linkit

Thomson, Joseph John (maaliskuu 1904). "Atomin rakenteesta: tutkimus useiden säännöllisin väliajoin ympyrän kehän ympärillä sijaitsevien verisolujen stabiilisuudesta ja värähtelyjaksoista; soveltamalla tuloksia atomirakenteen teoriaan" (PDF). Filosofinen lehti . Sarja 6. 7 (39): 237-265. doi: 10.1080 / 14786440409463107. Arkistoitu alkuperäisestä (PDF) 13. joulukuuta 2013.
Smale, S. (1998) "Seuraavan vuosisadan matemaattisia ongelmia". "Matemaattinen älykkyys".
Föppl, L. (1912). J. Rain Angew "Elektronien vakaa järjestely atomissa" . Matematiikka (141): 251-301
Schwartz, Richard (2010). "Thomsonin ongelman viiden elektronin tapaus". arXiv : 1001.3702 ;[ math.MG ].
^ Landkof N. S. Modernin potentiaaliteorian perusteet. Käännös venäjästä: A.P. Dukhovsky. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, ryhmä 180. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1972. x + 424 s.
^ Hardin D.P.; Saff, E. B. Diskretisoivat jakoputket minimienergiapisteiden läpi. Amerin muistiinpanot. Mathematics Soc. 51 (2004), nro. 10, 1186-1194
^ Levine, Y.; Arenzon, JJ (2003). "Miksi maksut nousevat pintaan: yleinen Thomson-ongelma". Europhys. Lett . 63(3):415. arXiv: cond-mat/0302524 . doi: 10.1209/epl/i2003-00546-1 .
^ Sir J. J. Thomson, Romanovin luento, 1914 (atomiteoria)
LaFave Jr, Tim (2013). "Thomsonin klassisen sähköstaattisen ongelman ja atomin elektronirakenteen vastaavuudet". Journal of Electrostatics . 71(6): 1029-1035. arXiv: 1403.2591 . doi: 10.1016/j.elstat.2013.10.001.
Kevin Brown. "Minimielektronienergian konfiguraatiot pallolla" . Haettu 2014-05-01.
" Sloanen A008486 (katso kommentti 3. helmikuuta 2017) ". Elektroninen kokonaislukusekvenssien tietosanakirja . OEIS-säätiö. Vastaanotettu 2017-02-08