Tilallinen muoto

Tilamuoto on yhdistetty täydellinen Riemannin monisto , jolla on vakio kaarevuus . $k$

Tilamuotoa kutsutaan pallomaiseksi , euklidiseksi tai hyperboliseksi , jos vastaavasti , , , . $k>0$ $k = 0$ $k<0$

Metrinen renormalisoinnin avulla tilamuotojen luokittelu voidaan vähentää kolmeen tapaukseen: . $k=-1,0,+1$

Esimerkkejä

Euklidiset tilamuodot:
- Euklidinen avaruus .
- Litteä torus , jossa on -ulotteinen hila , . $\mathbb {T} ^{n}=\mathbb {E} ^{n}/\Gamma$ $\Gamma$ $n$ $\mathbb {E} ^{n}$
- Klein-pullo litteällä mittarilla.
- Sille on olemassa luokkia orientoituvia ja luokka ei-suuntautuvia affinisesti ei-ekvivalentteja kompakteja euklidisia avaruusmuotoja $n = 3$ $6$ $neljä$
- Muu kaksiulotteinen ei-kompakti euklidinen avaruusmuoto kuin , on homeomorfinen sylinterille tai Möbius-nauhalle . $\mathbb {E} ^{2}$
Pallomaiset tilamuodot:
- Säteinen pallo on kaarevuuden pallomainen avaruudellinen muoto . ${\mathbb {S}}^{n}$ $\mathbb {E} ^{n+1}$ $r>0$ $k=1/r^{2}$
- Linssitila vakiokaarevuuden metrillä
- Poincarén pallo vakiokaarevuuden metriikalla
- Todellinen projektiivinen avaruus vakiokaarevuuden metriikalla
Hyperboliset tilamuodot:
- Lobatševskin avaruus . ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n))$
- Suvun kaksiulotteisesti suuntautunut kompakti hyperbolinen avaruusmuoto voidaan liimata yhteen kuperasta kulmasta Lobatševskin tasossa , jonka sivut ovat pareittain yhtä suuret ja kulmien summa on yhtä suuri . Suvuulottuvuuden ei-isomorfisten kompaktien hyperbolisten avaruusmuotojen perhe riippuu todellisista parametreista. $m$ $4m$ $2\pi$ $2$ $m$ $6m-6$
- Esimerkkejä hyperbolisista tilamuodoista on annettu kohdassa [1] .

Yleiset ominaisuudet

Mielivaltaiselle ja : lle on olemassa ainutlaatuinen, jopa isometrinen, -ulotteinen yksinkertaisesti yhdistetty spatiaalinen kaarevuusmuoto . Jos tämä on -ulotteinen sädepallo , jos tämä on euklidinen avaruus ja jos tämä on -ulotteinen Lobatševsky-avaruus . $n$ $k$ $n$ ${\displaystyle M_{k}^{n))$ $k$ $k>0$ $n$ $1/{\sqrt {k))$ $k = 0$ $k<0$ $n$
- Minkä tahansa ulottuvuuden avaruudellisen kaarevuuden yleispäällys metriikka nostettuna on isometrinen . $n$ $k$ ${\displaystyle M_{k}^{n))$
- Toisin sanoen mikä tahansa -ulotteinen kaarevuuden avaruudellinen muoto voidaan saada tekijöihin jakamalla vapaasti (eli ilman kiinteitä pisteitä) toimivaa diskreettiä liikeryhmää ; lisäksi kaksi välilyöntiä ja ovat isometrisiä jos ja vain jos ja ovat konjugoituja kaikkien liikkeiden ryhmässä . Siten tilamuotojen luokitteluongelma rajoittuu ongelmaan, joka koskee kaikkien tilojen ei-konjugoitujen liikeryhmien kuvaamista , ja , joka toimii diskreetti ja vapaasti. $n$ $k$ ${\displaystyle M_{k}^{n))$ $\Gamma$ $L=M_{k}^{n}/\Gamma$ $L'=M_{k}^{n}/\Gamma '$ $\Gamma$ $\gamma '$ ${\displaystyle M_{k}^{n))$ ${\mathbb {S}}^{n}$ $\mathbb {E} ^{n}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n))$

Pallomaisten tilamuotojen ominaisuudet

Kattava luokitus pallomaisista tilamuodoista saatiin julkaisussa [2]

Jos se on tasainen, niin pallon ainoa liike ilman kiinteitä pisteitä on keskisymmetria, joka muuttaa jokaisen pallon pisteen diametraalisesti vastakkaiseksi. Tämän liikkeen synnyttämä osamääräavaruus ryhmän yli on todellinen projektiivinen taso , jonka metriikka on vakio (kutsutaan myös Riemannin avaruudeksi tai elliptiseksi avaruudeksi ). Erityisesti $n$ ${\mathbb {S}}^{n}$ $\mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}=\mathbb {S} ^{n}/\Gamma$ $\Gamma$
- Mikä tahansa parillisen ulottuvuuden pallomainen avaruusmuoto on isometrinen joko , tai . $n$ ${\mathbb {S}}^{n}$ $\mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}$
Mikä tahansa äärellinen syklinen ryhmä voi toimia pallomaisen avaruusmuodon perusryhmänä (katso linssiavaruus ).
Jotta ei-syklinen järjestysryhmä toimisi -ulotteisen pallomaisen avaruusmuodon perusryhmänä, on välttämätöntä (mutta ei riittävää), että c on koprime ja jaollinen jonkin kokonaisluvun neliöllä. $N$ $n$ $N$ $n+1$

Euklidisten tilamuotojen ominaisuudet

Kompaktien euklidisten avaruusmuotojen perusryhmät ovat kristallografisten ryhmien erikoistapaus .

Bieberbachin kristallografinen ryhmälause johtaa rakenneteoriaan mielivaltaisen ulottuvuuden omaavista kompakteista euklidisista avaruusmuodoista:

Jokaiselle , on olemassa vain äärellinen määrä eri luokkia affinisesti ei-ekvivalentteja kompakteja euklidisia avaruusmuotoja . $n\geq 2$ $n$
Kaksi kompaktia euklidista avaruutta muodostaa ja ovat affinisesti ekvivalentteja silloin ja vain, jos niiden perusryhmät ja ovat isomorfisia. $M=\mathbb {E} ^{n}/\Gamma$ $M'=\mathbb {E} ^{n}/\Gamma '$ $\Gamma$ $\gamma '$
- Esimerkiksi mikä tahansa kaksiulotteinen kompakti euklidinen avaruusmuoto on homeomorfinen (ja siksi affiininen ekvivalentti) joko litteälle torukselle tai litteälle Klein-pullolle .
Abstrakti ryhmä voi toimia kompaktin euklidisen avaruusmuodon perusryhmänä jos ja vain jos $\Gamma$ $M^{n}$
1. $\Gamma$ on normaali Abelin alaryhmä äärellinen indeksi isomorfinen ; $\Gamma ^{*}$ $\mathbb{Z } ^{n}$
2. $\Gamma ^{*}$ samaan aikaan sen keskittimen kanssa ; $\Gamma$
3. $\Gamma$ ei ole äärellisen järjestyksen elementtejä .
- Jos tällainen ryhmä toteutetaan erillisenä aliryhmänä avaruuden kaikkien liikkeiden ryhmässä , niin se osuu yhteen avaruuteen kuuluvan rinnakkaisten siirtymien joukon kanssa ja avaruudessa on normaali peitto tasaisella toruksella . $\Gamma$ $\mathbb {E} ^{n}$ $\Gamma ^{*}$ $\Gamma$ $M$ $\mathbb {T} ^{n}=\mathbb {E} ^{n}/\Gamma ^{*}$
- Äärillinen ryhmä on isomorfinen avaruusholonomiaryhmän kanssa . $\Gamma /\Gamma ^{*}$ $M^{n}$
Kompaktissa euklidisessa avaruusmuodossa on aina äärellinen holonomiaryhmä .
- Myös käänteinen väite pitää paikkansa: kompakti Riemannin avaruus, jonka holonomiaryhmä on äärellinen, on litteä.
Mikä tahansa äärellinen ryhmä on isomorfinen jonkin kompaktin euklidisen avaruusmuodon holonomiaryhmälle.
Mikä tahansa ei-kompakti euklidinen avaruusmuoto sallii reaalianalyyttisen vetäytymisen kompaktiin, täysin geodeettiseen litteään osamonistoon (katso sielulause ).
- Erityisesti ei-kompaktien euklidisten avaruusmuotojen perusryhmien luokka osuu yhteen kompaktien euklidisten avaruusmuotojen perusryhmien luokan kanssa.

Hyperbolisten tilamuotojen ominaisuudet

Dimensioiden kompaktit hyperboliset avaruusmuodot , joissa on isomorfisia perusryhmiä , ovat isometrisiä. $n\geq 3$

Historia

Kaksiulotteisten hyperbolisten tilamuotojen tutkimus alkoi olennaisesti vuonna 1888, kun Poincaré , tutkiessaan kompleksisen puolitason lineaaristen murtolukumuunnosten diskreettejä ryhmiä , fuksialaisia ryhmiä , huomasi, että niitä voidaan käsitellä Lobatševskin liikeryhminä . kone . $Im(z)>0$

Luokitteluongelman mielivaltaisen vakiokaarevuuden omaaville -ulotteisille Riemann-avaruuksille muotoili Killnig , joka kutsui sitä Clifford-Kleinin tilamuotojen ongelmaksi ; tämän ongelman nykyaikaisen muotoilun antoi Hopf (1925). $n$

Muunnelmia ja yleistyksiä

Riemannilaisten tilamuotojen lisäksi tutkittiin niiden yleistyksiä: pseudo-Riemannisia , affiineja ja kompleksisia tilamuotoja sekä symmetristen tilojen tilamuotoja .

Kirjallisuus

↑ Vinberg E. B. “Mat. la." - 1969, v. 78, nro 4. - S. 633-39.
↑ Wolf J. Vakiokaarevuusavaruudet, trans. englannista. - M. , 1982.