Käänteinen elementti

Käänteiselementti on yleisalgebran termi, joka yleistää käänteisluvun (kertolasku) ja vastakkaisen luvun (yhteenlasku) käsitteet.

Määritelmät

Olkoon joukko , jolle on määritelty binääritoiminto , merkitty pisteellä ( ), neutraalilla elementillä . Antaa olla pari mielivaltaisia elementtejä joukko . Jos yhtäläisyys on totta, sitä kutsutaan oikeaksi käänteiseksi (tai oikeaksi käänteiseksi ) . $(M,\cdot )$ $M,$ $\cdot$ $e$ $x,y$ $M$ $x\cdot y=e,$ $y$ $x$

Vastaavasti, jos yhtäläisyys pätee, niin sitä kutsutaan vasemman käänteiseksi (vasemmalta käänteiseksi) . $y\cdot x=e,$ $y$ $x.$

Elementti , joka on käänteinen sekä oikealle että vasemmalle, eli se, jota kutsutaan yksinkertaisesti käänteiseksi ja jota merkitään . Elementin, jolle on käänteisalkio, sanotaan olevan käänteinen . $y\in M$ $x$
$x\cdot y=y\cdot x=e,$
$x$ $x^{{-1}}$

Muistiinpanot

Yllä oleva määritelmä on annettu kertolaskumuodossa. Jos käytetään additiivista merkintää , käänteisalkiota kutsutaan vastakkaiseksi elementiksi ja se merkitään . $(M+)$ $-x$
Yleisesti ottaen samalla elementillä voi olla useita vasen käänteisiä ja useita oikeanpuoleisia käännöksiä, eikä vasemman tarvitse vastata oikeaa. $x\in M$

Ominaisuudet

Olkoon operaatio assosiatiivinen . Sitten jos elementillä on vasen käänteis- ja oikea käänteiselementti, niin ne ovat yhtä suuret ja ainutlaatuiset. $\cdot$ $x\in M$

Seuraus : monoidissa jokaisella elementillä on enintään yksi käänteis. Kaikki monoidin käännettävät elementit muodostavat ryhmän ; tämä ryhmä ei ole tyhjä, koska se sisältää ainakin neutraalin elementin.

Esimerkkejä

Paljon	binääritoiminto	Käänteinen elementti
Oikeita lukuja	$+$ ( lisäys )	$-x$ ( vastakkainen numero )
Reaaliluvut eivät ole nolla	$\cdot$ ( moninkertaistaa )	$1/x$ ( vastavuoroinen )
Näytä toiminnot $f:M\to M$	$\circ$ ( funktion kokoonpano )	$f^{-1}$ ( käänteinen funktio )

Katso myös

Ryhmä