Hyppy Vieta

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 4. tammikuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 12 muokkausta .

Jumping Vieta ( heijastavia juuria ) on lukuteoriassa käytetty todistusmenetelmä ; käytetään useimmiten tehtävissä, joissa on annettu kahden luonnollisen luvun välinen suhde ja vaaditaan jokin niihin liittyvä väite. Menetelmästä on useita muunnelmia, jotka liittyvät jotenkin yleiseen äärettömän laskeutumisen teemaan , jossa tietystä ratkaisusta löydetään uusi (pienempi) ratkaisu  Vietan kaavoilla .

Historia

Vieta - hyppy on suhteellisen uusi menetelmä  olympialaisten matemaattisten ongelmien ratkaisemiseen . Ensimmäinen tällainen ongelma esitettiin 29. kansainvälisessä matemaattisessa olympialaisissa  vuonna 1988 , ja tätä tehtävää pidettiin vaikeimpana olympialaisissa ehdotetuista: [1]

Yksikään Australian Task Commissionin kuudesta jäsenestä ei kyennyt ratkaisemaan tätä ongelmaa. Kaksi heistä on György Sekeres ja hänen vaimonsa, molemmat tunnettuja ratkaisijoita ja ongelmakirjoittajia. Koska kyseessä oli lukuteorian ongelma, se lähetettiin neljälle Australian tunnetuimmalle matemaatikolle, jotka olivat tämän alan asiantuntijoita. Heitä pyydettiin työskentelemään sen parissa kuusi tuntia. Kukaan heistä ei kyennyt ratkaisemaan sitä tänä aikana. Tehtävätoimikunta esitteli sen 29. MMO:n tuomaristolle ja merkitsi sen kahdella tähdellä. Tämä tarkoitti, että tehtävä oli erittäin vaikea; ehkä jopa liian monimutkainen tarjottavaksi olympialaisten osallistujille. Pitkän keskustelun jälkeen tuomaristo uskalsi kuitenkin ehdottaa sitä olympialaisten viimeiseksi ongelmaksi. Yksitoista opiskelijaa esitti tarkat ratkaisunsa.Artur Engel

Niiden 11 opiskelijan joukossa, jotka saivat maksimipistemäärän tämän ongelman ratkaisemisesta, oli tuleva  Fields -voittaja  Ngo Bao Chau (16-vuotias) [2] . Kaksi muuta tulevaa Fieldsin voittajaa ,  Terence Tao (12-vuotias) ja Elon Lindenstrauss (17), ansaitsivat vain yhden pisteen kuudennesta tehtävästä [3] .

Vieta Standard Jumps

Vietan standardihypyt suorittavat  ristiriitaisen todisteen  kolmessa vaiheessa: [4]

  1. Oletetaan, että on olemassa lukuja, jotka liittyvät tähän suhteeseen, mutta jotka eivät täytä todistettavaa väitettä.
  2. Tarkastellaan minimiratkaisua ( A , B ) jonkin funktion (esimerkiksi A + B ) suhteen. Alkuperäinen suhde muunnetaan sitten toisen asteen yhtälöksi , jonka kertoimet riippuvat B :stä ja jonka yksi juurista on yhtä suuri kuin A. Käyttämällä Vieta-kaavoja löytyy tämän yhtälön toinen juuri.
  3. On osoitettu, että toinen juuri antaa ratkaisun, jolla on pienempi valitun funktion arvo. Siten on ristiriita alkuperäisen ratkaisun funktion arvon minimaalisuuden kanssa, ja siksi vaiheen 1 oletus on väärä.
Esimerkki

MMO 1988, Tehtävä 6. Olkoot a ja b  positiivisia kokonaislukuja siten, että ab + 1 jakaa a 2 + b 2 . Todista sea 2 + b 2ab +1 on täydellinen neliö . [5] [6]

  1. Olkoon k =a 2 + b 2ab +1. Oletetaan, että on jokin ratkaisu, jolle k ei ole täydellinen neliö.
  2. Harkitse tällaiselle k : n arvolle ratkaisua ( A , B ) , joka minimoi A + B :n arvon . Yleisyyttä menettämättä voimme olettaa, että A ≥ B . Kirjoittamalla k :n lauseke uudelleen ja korvaamalla A x : llä saadaan toisen asteen yhtälö  x 2 - ( kB ) x + ( B 2 - k ) = 0 . Rakenteen mukaan x 1 = A on tämän yhtälön juuri. Vieta-kaavojen mukaan toinen juuri voidaan esittää muodossa x 2 \ u003d kB - A \u003dB2 - k _A.
  3. Ensimmäisestä lausekkeesta x 2 seuraa, että x 2 on kokonaisluku ja toisesta, että x 2 ≠ 0 . Koska k =x 2 2 + B 2x 2 B + 1> 0 , niin x 2 on positiivinen. Lopulta A ≥ B :stä  seuraa, että x 2 = B2 - k _A< A ja siten  x 2 + B < A + B , mikä on ristiriidassa ratkaisun ( A , B ) minimaalisuuden kanssa .

Jatkuva laskeutuminen hyppäämällä Vieta

Vietan jatkuvan hyppivän laskeutumisen menetelmää käytetään todistamaan jonkinlainen väite vakiosta k , joka riippuu kokonaislukujen a ja b välisestä suhteesta . Toisin kuin Vietan vakiohypyt, jatkuva laskeutuminen ei ole ristiriitainen todiste ja se koostuu seuraavista neljästä vaiheesta [7] :

  1. Tapausta yhtälöstä a = b tarkastellaan erikseen . Seuraavassa oletetaan, että a > b .
  2. B :n ja k :n arvot ovat kiinteät . Suhde a , b  ja k välillä pelkistetään neliöyhtälön muotoon, jonka kertoimet riippuvat b :stä ja k :stä ja jonka yksi juurista on x 1 = a . Toinen juuri x 2 määritetään käyttämällä Vieta-kaavoja. 
  3. On osoitettu, että kaikilla ( a , b ) joidenkin perusarvojen osalta epäyhtälö 0 < x 2 < b < a täyttyy ja x 2 on kokonaisluku. Siten ratkaisusta ( a , b ) voidaan mennä alas ratkaisuun ( b , x 2 ) ja toistaa tätä prosessia, kunnes saadaan perusarvot sisältävä ratkaisu.
  4. Väite on todistettu perusarvoille. Koska k pysyy muuttumattomana laskeutumisen aikana, tämä tarkoittaa, että väitteen pätevyys on todistettu kaikille järjestetyille pareille ( a , b ) .
Esimerkki

Olkoot positiiviset kokonaisluvut  a ja b  sellaisia, että ab jakaa a 2 + b 2 + 1 . On todistettava, että 3 ab = a 2 + b 2 + 1 . [kahdeksan]

  1. Jos a = b , niin a 2 :n on jaettava 2 a 2 + 1 . Mistä a = b = 1  ja siten 3(1)(1) = 1 2 + 1 2 + 1 . Seuraavassa oletamme yleisyyden menettämättä, että a > b .
  2. Olkoon k =a 2 + b 2 + 1ab. Muuttamalla tämä yhtälö ja korvaamalla a  x :llä saadaan toisen asteen yhtälö x 2 − ( kb ) x + ( b 2 + 1) = 0 , jonka yksi juurista on x 1 = a . Vieta-kaavojen mukaan toinen juuri voidaan esittää seuraavasti: x 2 = kb − a =b 2 + 1a.
  3. Ensimmäinen esitys osoittaa, että x 2 on kokonaisluku, ja toinen esitys, että tämä luku on positiivinen. Epäyhtälö a > b tarkoittaa, että x 2 =b 2 + 1a< b jos b > 1 .
  4. Perustapaus on siis arvo b = 1 . Tässä tapauksessa a:n arvon täytyy jakaa a 2 + 2 , joten a on yhtä suuri kuin 1 tai 2. Tapaus a = 1 on mahdoton, koska a ≠ b . Tapauksessa a = 2 meillä on k = a 2 + b 2 + 1ab=62= 3 . Koska k :n arvo ei muuttunut laskeutumisen aikana, saamme sena 2 + b 2 + 1ab= 3 , eli 3 ab = a 2 + b 2 + 1 kaikille järjestetyille pareille ( a , b ) .

Geometrinen tulkinta

Vietan hyppyjä voidaan kuvata ensimmäisen neljänneksen hyperbolien kokonaislukupisteinä . [1] Tässä tapauksessa pienemmän juuren löytäminen vastaa pienempien kokonaislukupisteiden etsimistä hyperbolista ensimmäisen neljänneksen sisällä. Tätä prosessia voidaan kuvata seuraavasti:

  1. Tästä ehdosta saadaan yhtälö hyperbolien perheelle, joka ei muutu, kun x ja y vaihdetaan. Toisin sanoen nämä hyperbolit ovat symmetrisiä suoran y = x suhteen .
  2. Vaadittu väite on todistettu hyperbolien ja suoran y = x leikkauspisteille .
  3. Oletetaan, että ( x , y )  on kokonaislukupiste jossain hyperbolissa ja ilman yleisyyden menetystä x < y . Sitten löydetään Vieta-kaavojen mukaan kokonaislukupiste, jolla on sama ensimmäisen koordinaatin arvo toisesta hyperbolan haarasta. Sitten tämän pisteen heijastus suoran y = x suhteen tuottaa uuden kokonaislukupisteen hyperbelin alkuperäiseen haaraan.
  4. On osoitettu, että tämä prosessi johtaa pienempien pisteiden löytämiseen samasta paraabelin haarasta, kunhan tietty ehto täyttyy (esimerkiksi x = 0 ). Korvaamalla tämä ehto hyperbelin yhtälöön, varmistetaan, että todistettava väite pätee siihen.
Esimerkki

Sovelletaan kuvattua menetelmää MMO 1988:n tehtävään nro 6: Olkoot a ja b  positiivisia kokonaislukuja siten, että ab + 1 jakaa a 2 + b 2 . Todista sea 2 + b 2ab +1 on täydellinen neliö .

  1. Päästääa 2 + b 2ab +1= q . Kiinnitetään q : n arvo ja tarkastellaan yhtälön x 2 + y 2 − qxy − q = 0 antamaa hyperbolia H. Silloin ( a , b ) on piste tässä hyperbelissä.
  2. Jos x = y , niin x = y = q = 1 , mikä tyydyttää triviaalisti ongelmalausekkeen.
  3. Olkoon ( x , y )  kokonaislukupiste hyperbolin H ”ylemmällä” haaralla, jossa x < y . Sitten Vietan kaavoista seuraa, että ( x , qx − y ) on kokonaislukupiste hyperabelin H  ”alahaaralla” . Tämän pisteen heijastus on piste ( qx − y , x ) alkuperäisessä "ylemmässä" haarassa. Vastaanotetun pisteen toinen koordinaatti on pienempi kuin alkuperäisen, mikä tarkoittaa, että se on alkuperäisen pisteen alapuolella.
  4. Tämä prosessi voidaan toistaa. Hyperbolin H yhtälöstä seuraa, että tuloksena olevat pisteet pysyvät ensimmäisen neljänneksen sisällä. Siten prosessin toisto päättyy, kun arvo x = 0 vastaanotetaan . Sen korvaaminen hyperbolin H yhtälöllä antaa q = y 2 , joka oli todistettava.

Katso myös

Muistiinpanot

  1. ↑ 12 Arthur Engel . Ongelmanratkaisustrategiat (neopr.) . - Springer , 1998. - s. 127. - ISBN 978-0-387-98219-9 .  
  2. ↑ Kansainvälisen matemaattisen olympiadin 1988 tulokset . imo-official.org. Haettu 3. maaliskuuta 2013. Arkistoitu alkuperäisestä 2. huhtikuuta 2013.
  3. ↑ [https://web.archive.org/web/20200104173313/https://www.youtube.com/watch?v=zzmlA7iAGG4 Arkistoitu 4. tammikuuta 2020 Wayback Machinessa Question #6 Legend Returns [Numberphile] - YouTube ]
  4. ↑ Yiming Ge. Vieta-hypyn menetelmä  (neopr.)  // Matemaattiset heijastukset. - 2007. - T. 5 .
  5. ↑ AoPS-foorumi - Yksi suosikkiongelmistani, joo! . Artofproblemsolving.com. Haettu: 3.3.2013.
  6. ↑ KS Brown. N = (x^2 + y^2)/(1+xy) on neliö . MathPages.com. Haettu: 26.9.2016.
  7. ↑ AoPS Forum - Lemur Numbers . Artofproblemsolving.com. Haettu: 3.3.2013.
  8. ↑ AoPS-foorumi - x*y | x^2+y^2+1 . ArtOfProblemSolving.com (7. kesäkuuta 2005). Haettu: 3.3.2013.

Linkit