Kahden ympyrän radikaaliakseli

Kahden ympyrän radikaaliakseli on niiden pisteiden paikka, joiden asteet suhteessa kahteen annettuun ympyrään ovat yhtä suuret. Toisin sanoen, kahden tietyn ympyrän neljän tangentin pituudet, jotka on vedetty mistä tahansa tietyn pisteen pisteestä M , ovat yhtä suuret.

Kahden ympyrän radikaaliakseli on olemassa, jos ja vain jos ympyrät ovat epäkeskeisiä, ja se voidaan määrittää sekä ympyröille että pisteille (nollasäteiset ympyrät) ja kuvitteellisille ympyröille (imaginaarisäde).

Radikaaliakselin ominaisuudet

Radikaaliakseli on suora. Koska pisteen aste suhteessa ympyrään on missä kertoimet A, B ja C määräytyvät ympyrän keskipisteen ja säteen koordinaatteina, niin pisteen asteet rinnastetaan kahteen ympyrät, saamme ja tämä on suoran yhtälö. Tämä tosiasia on myös todistettu käyttämällä vain geometrisia menetelmiä. $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C,$ $x^{2}+y^{2}+A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=x^{2}+y^{2}+A_{2}x+ B_ {2}y+C_{2}\nuoli vasen oikea (A_{1}-A_{2})x+(B_{1}-B_{2})y+(C_{1}-C_{2})=0,$
Radikaaliakseli on kohtisuorassa keskipisteviivaan nähden, mikä seuraa molempien ympyröiden symmetriasta keskipisteviivan suhteen.
Jos P on piste radikaaliakselilla, niin pisteen P tangenttien pituudet molempiin ympyröihin ovat yhtä suuret - tämä seuraa siitä tosiasiasta, että pisteen aste on yhtä suuri kuin tangenttisegmentin pituuden neliö. Erityisesti radikaaliakseli jakaa yhteisten tangenttien segmentit.

Jos ympyrät leikkaavat kahdessa pisteessä, niin niiden radikaaliakseli on suora viiva, joka kulkee näiden pisteiden läpi, jos ne koskettavat ulkoisesti, niin yhteinen sisäinen tangentti on radikaaliakseli, jos sisäinen, niin yhteinen tangentti (ainoa) .

Jos rivit, jotka sisältävät sointuja ja vastaavasti ensimmäisen ja toisen ympyrän, leikkaavat radikaaliakselilla, nelikulmio on merkitty . Tämä on helppo todistaa: olkoon leikkauspiste. Pisteen asteen ominaisuudella se on yhtä suuri kuin ja koska P sijaitsee radikaaliakselilla, niin se on yhtä suuri kuin ja Koska pisteet ja sijaitsevat samalla ympyrällä. Päinvastoin on myös totta: jos kaksi ympyrää leikkaa kolmannen niin, että se on ensimmäisen ja kolmannen yhteinen jänne ja toisen ja kolmannen yhteinen jänne, niin suorat AB ja CD leikkaavat sen radikaaliakselilla. kaksi ensimmäistä ympyrää, lisäksi kolmen ympyrän niin kutsutussa radikaalikeskuksessa (katso . alla). Radikaaliakselin rakentaminen kompassilla ja viivaimella perustuu tähän ominaisuuteen: rakennamme ympyrän, joka leikkaa kaksi annettua dataa neljässä pisteessä, ja sitten pudotamme kohtisuoran niiden radikaalikeskipisteestä keskusviivaan. $AB$ $CD$ $ABCD$ $P$ $PA\cdot PB,$ $PC\cdot PD.$ $PA\cdot PB=PC\cdot PD,$ $A, B, C$ $D$ $AB$ $CD$

Kolmen ympyrän, joiden keskipisteet eivät ole kollineaariset, radikaaliakselit leikkaavat yhdessä pisteessä, jota kutsutaan radikaalikeskukseksi . Antaa olla ympyröitä ja antaa olla leikkauspisteen radikaali akselin ympyröitä ja radikaali akselilla ympyröitä ja . Jos on pisteen aste ympyrän suhteen , niin radikaaliakselin määritelmän mukaan ja piste sijaitsee ympyrän radikaaliakselilla ja ${\displaystyle \Omega _{1},\Omega _{2},\Omega _{3))$ $P$ ${\displaystyle \Omega _{1))$ ${\displaystyle \Omega _{2))$ ${\displaystyle \Omega _{2))$ ${\displaystyle \Omega _{3))$ ${\mathfrak {P}}(\omega ,A)$ $A$ $\omega,$ ${\mathfrak {P}}(\Omega _{1},P)={\mathfrak {P}}(\Omega _{2},P)={\mathfrak {P}}(\Omega _ {3},P),$ $P$ ${\displaystyle \Omega _{1))$ $\Omega _{3}.$
Kahta annettua dataa vastaan kohtisuorassa olevien ympyröiden keskipisteiden paikka on niiden radikaaliakseli ilman yhteistä jännettä (jos sellainen on). Katso kuva

Antihomologiset soinnut[ selventää ] kaksi ympyrää leikkaa keskenään radikaaliakselillaan (ilmeisesti tarkoitamme kahta jännettä, jotka kulkevat kahden ympyrän kahden antihomoteettisen pisteen parin läpi, katso alla oleva kuva).
Antaa olla nelikulmio, linjat ja intersect at , Ja - at . Sitten ympyrät rakennettu segmentit , ja , kuten halkaisijat, on yhteinen radikaali akseli, jolla sijaitsevat leikkauspisteet korkeudet kolmiot , , ja ( Auber-Steiner viiva ). $ABCD$ $AB$ $CD$ $F$ $eKr$ $ILMOITUS$ $E$ $AC$ $BD$ $EF$ $ABE$ $CDE$ $BCF$ $ADF$

Ortogonaalisuus

Kahta suorassa kulmassa leikkaavaa ympyrää kutsutaan ortogonaaliseksi . Ympyröitä voidaan pitää ortogonaalisina , jos ne muodostavat suoran kulman keskenään.
Kahta ympyrää, jotka leikkaavat pisteissä A ja B keskipisteiden O ja O' kanssa, kutsutaan kohtisuoraksi , jos ne ovat suorakulmia OAO' ja OBO' . Tämä ehto takaa suoran kulman ympyröiden välillä. Tässä tapauksessa kahden ympyrän säteet (normaalit), jotka on piirretty niiden leikkauspisteeseen, ovat kohtisuorassa. Siksi kahden ympyrän tangentit, jotka on vedetty niiden leikkauspisteeseen, ovat myös kohtisuorassa. Ympyrän tangentti on kohtisuorassa kosketuspisteen säteeseen (normaali) nähden. Yleensä käyrien välinen kulma on niiden leikkauspisteeseen piirrettyjen tangenttien välinen kulma.
Voi olla toinen lisäehto. Olkoon kahdella pisteissä A ja B leikkaavalla ympyrällä pisteissä C ja D leikkaavien kaarien keskipisteet , eli kaari AC on yhtä suuri kuin kaari CB , kaari AD on yhtä suuri kuin kaari DB . Silloin näitä ympyröitä kutsutaan kohtisuoraksi , jos ne ovat suoria kulmia СAD ja СBD .

Seuraukset radikaaliakselin ominaisuuksista

Suoralla viivalla, joka kulkee kolmion, jossa on kaksi sivua, kahden ulkokehän kosketuspisteiden kautta, nämä ulkopiirit leikkaavat yhtä suuret janat .
Jälkimmäinen voidaan muotoilla seuraavasti. Jos kolmion 2 ulkoympyrää koskettaa 2 sen eri sivuista ja 2 niiden jatkeista 4 tangenttipisteessä, niin viimeisten 4 pisteen muodostama nelikulmio on tasakylkinen puolisuunnikas, jonka 2 sivusivua on yhtä suuri, ja myös 2 diagonaalia (tangenttia 2 ympyrää).
Vastakkaisia pisteitä yhdistävän ympyrän ympärille rajatun kuusikulmion lävistäjät leikkaavat yhdessä pisteessä ( Brianchonin lause ympyrälle).

Linkit

Wikimedia Commonsissa on kahden ympyrän radikaaliakseliin liittyvää mediaa

Katso myös

radikaali keskusta