Rationaaliset trigonometriset summat

Rationaaliset trigonometriset summat ovat erityismuotoisia kompleksisia summia, joita voidaan käyttää analyyttisen lukuteorian lauseiden todistamiseen

Määritelmä

Rationaalisia trigonometrisiä summia kutsutaan muodon summiksi , jossa on polynomi kokonaislukukertoimilla ja (ei-triviaalin suurimman yhteisen jakajan osalta murtoluku voidaan pienentää ja pelkistää yleiseen muotoon). ${S_{\varphi }}(q)=\sum \limits _{x=1}^{q}{e^{2\pi i{\frac {\varphi (x)}{q}} }}$ $\varphi (x)=\sum \limits _{k=0}^{n}{a_{k}x^{k))$ $(a_{0},\dots ,a_{n},q)=1$

Jotkut tulokset

Arvioitaessa rationaalisia trigonometrisiä summia matematiikassa otetaan pääsääntöisesti huomioon summamoduulin ylempi estimaatti , koska se on paljon helpompi arvioida. Tässä suhteessa oletetaan, että , joten tällaisen summan kertominen ei muuta sen absoluuttista arvoa. $a_{0}=0$ $e^{2\pi ia_{0))$

Erikoistapaukset

Lineaariset summat

Jos , niin voimme Iverson-merkinnällä määrittää sen . Todiste tästä tosiasiasta seuraa triviaalisti siitä tosiasiasta, että minkä tahansa kokonaislukukannan ykseyden juurien summa on nolla. Tällaisia summia kutsutaan lineaariseksi. $\varphi (x)=ax$ ${S_{\varphi }}(q)=q[{q\mid a}]$

Gaussin summat (neliöllinen)

Rationaalisia trigonometrisiä summia muotoa olevien polynomien yli kutsutaan Gauss - summiksi . $\varphi (x)=ax^{2}$

Tällaisille summille tunnetaan itseisarvon tarkat arvot, nimittäin

|{S_{\varphi ))(q)|={\begin{cases}{\sqrt {q)),&q\equiv 1\mod 2\\{\sqrt {2q)),&q\equiv 0\mod 4\\0,&q\equiv 2\mod 4\end{cases}}

Yleiset arviot

Lisäksi esittelyn helpottamiseksi otamme . $n=\deg \varphi$

Hua päätteli arvion , jossa on vakio riippuen vain . Eli kiinteään hintaan [yksi] ${\displaystyle |{S_{\varphi }}(q)|<c(n)q^{1-{\frac {1}{n))))$ $c(n)$ $n$ $|{S_{\varphi }}(q)|=O(q^{1-{\frac {1}{n}}})$ $n$

Jos , niin tarkempi estimaatti pätee alkuluvulle . [2] ${\displaystyle \varphi (x)=ax^{n))$ $q>2$ $|{S_{\varphi }}(q)|\leq (n-1){\sqrt {q}}$

Osittainen lineaarisumma

Käyttämällä standardikaavaa geometrisen progression summalle , voimme päätellä, että $\varphi (x)={\frac {ax}{q))$

$\left\vert {\sum \limits _{x=1}^{m}{e^{2\pi i\varphi (x)))}\right\vert =\left\vert {\frac {e^{2\pi i{\frac {a}{q}}}-e^{2\pi i{\frac {a(m+1)}{q}}}}{1-e^{ 2\pi i{\frac {a} \oikea\rhakasulke ,1-\left\lhakasulku {\frac {a}{q}}\oikea\rhakasulke }\oikea)))$ ,

jossa tarkoittaa luvun murto - osaa . $\left\lhakasulku {x}\oikea\rhakasulke$ $x$

Joidenkin ei-triviaalien arvioiden mahdottomuus

A. A. Karatsuba osoitti [3] , että varten on äärettömän monta alkulukua , joille , missä for , eli sellaisille vastaaville trigonometrisille summille, useimmille sovelluksille välttämättömät yläestimaatit ovat mahdottomia. $n>\left({{\frac {1}{2\log {2}}}-\varepsilon }\right){\frac {p}{\log {p}}},\ \varphi ( x)=kirves^{n}$ $s$ $|S_{\phi }(p)|>\left({1-\delta (\varepsilon )}\oikea)p$ $\delta (\varepsilon )\to 0$ $\varepsilon \to 0$ $n$

Sovellus

Ensimmäinen todistus neliöllisen vastavuoroisuuden laista (Gauss, 1795) käytti Gaussin summia muodon polynomin yli . $\varphi (x)={\frac {ax^{2}}{q}}$

Vinogradov johti rationaalisia trigonometrisiä summia käyttämällä likimääräisen kuvauksen neliöllisten jäänteiden ja ei-jäännösten jakautumisesta [2] .

Tarkasteltavana oleville summille voidaan löytää käyttöä myös Waringin ongelman todistamisessa analyyttisen lukuteorian menetelmin.

Historia

Gauss käytti trigonometrisiä summia ensimmäisen kerran vuonna 1795 todistaakseen vastavuoroisuuden toisen asteen lain .

Katso myös

Muistiinpanot

↑ I. Vinogradov. Trigonometristen summien menetelmä lukuteoriassa. - Tiede, 1971.
↑ 1 2 B. I. Segal. Trigonometriset summat ja jotkin niiden sovellukset lukuteoriaan, osa 1. - Uspekhi Mat. Nauk, 1946.
↑ A. A. Karatsuba, Arvioista täydellisille trigonometrisille summille, Mat. muistiinpanot, 1967, osa 1, numero 2, 199–208 . Haettu 8. tammikuuta 2018. Arkistoitu alkuperäisestä 8. tammikuuta 2018. (määrätön)