Relativistinen tasaisesti kiihdytetty liike

Relativistinen tasaisesti kiihtyvä liike (tai relativistinen tasaisesti kiihtyvä liike ) on kohteen liikettä, jossa sen oma kiihtyvyys on vakio. Oma kiihtyvyys on kohteen kiihtyvyys mukana olevassa (omassa) vertailukehyksessä eli inertiaalisessa vertailukehyksessä, jossa kohteen hetkellinen nopeus on nolla (tässä tapauksessa vertailukehys muuttuu pisteestä pisteeseen). Esimerkki relativistisesta tasaisesti kiihtyvästä liikkeestä voi olla vakiomassaisen kappaleen liike vakiovoiman (liikkuvassa vertailukehyksessä) vaikutuksesta . Tasaisesti kiihtyvässä rungossa sijaitseva kiihtyvyysanturi ei muuta lukemiaan.

Toisin kuin klassinen mekaniikka , fyysinen kappale ei voi aina liikkua vakiokiihtyvyydellä (kiinteässä inertiaalisessa vertailukehyksessä ) , koska tällöin sen nopeus ylittää ennemmin tai myöhemmin valon nopeuden . Oma kiihtyvyys voi kuitenkin olla vakio mielivaltaisen pitkän ajan; tässä tapauksessa kiinteässä inertiaalisessa vertailukehyksessä olevan kohteen nopeus lähestyy asymptoottisesti valon nopeutta, mutta ei koskaan ylitä sitä.

Relativistisessa mekaniikassa esineeseen vaikuttava jatkuva voima muuttaa sen nopeutta jatkuvasti jättäen sen kuitenkin valon nopeutta pienemmäksi. Yksinkertaisin esimerkki relativistisesti tasaisesti kiihtyvästä liikkeestä on varautuneen hiukkasen yksiulotteinen liike tasaisessa sähkökentässä, joka on suunnattu pitkin nopeutta [1] .

Jatkuvalla kiihtyvyydellä Minkowskin avaruudessa liikkuvalle tarkkailijalle on olemassa kaksi tapahtumahorisonttia , niin sanotut Rindler-horisontit (katso Rindler-koordinaatit ).

Nopeus vs. aika

Kun voima [2] vaikuttaa kappaleeseen, jonka massa on vakio, sen liikemäärä muuttuu seuraavasti [3] : $\textstyle \mathbf {f}$ $\textstyle m$

\mathbf {f} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}={\frac {d}{dt}}{\frac {m\mathbf {u} }{\sqrt { 1-\mathbf {u} ^{2}/c^{2}}}}.

Jos voima on vakio, tämä yhtälö on helppo integroida:

{\frac {\mathbf {u} }{\sqrt {1-\mathbf {u} ^{2}/c^{2))))=\mathbf {w} _{0}+\mathbf {a} \,t,

missä on vakiovektori voiman suunnassa ja integrointivakio ilmaistuna kohteen alkunopeudella ajanhetkellä : $\textstyle \mathbf {a} =\mathbf {f} /m$ $\textstyle \mathbf {w} _{0}$ $\textstyle \mathbf {u} _{0}$ $\textstyle t=0$

\mathbf {w} _{0}={\frac {\mathbf {u} _{0}}{\sqrt {1-\mathbf {u} _{0}^{2}/c^{ 2}}}}.

Nopeuden eksplisiittinen ilmaus ajassa on muotoa:

\mathbf {u} (t)={\frac {\mathbf {w} _{0}+\mathbf {a} \,t}{\sqrt {1+(\mathbf {w} _{0 }+\mathbf {a} \,t)^{2}/c^{2}}}}.

Hiukkasen nopeus vakiovoiman vaikutuksesta pyrkii valonnopeuteen , mutta ei koskaan ylitä sitä. Pienten nopeuksien ei-relativistisessa rajassa nopeuden riippuvuus ajasta saa muodon

\mathbf {u} \noin \mathbf {u} _{0}+\mathbf {a} \,t

joka vastaa klassista tasaisesti kiihdytettyä liikettä .

Liikeradat

Tasaisesti kiihdytetyn liikkeen liikerata riippuu yleisessä tapauksessa vakiovektorien suunnasta ja Yhtälön integroinnin jälkeen saadaan seuraava lauseke: $\textstyle \mathbf {a}$ $\textstyle \mathbf {w} _{0}.$ $\textstyle \mathbf {u} (t)=d\mathbf {r} /dt$

\mathbf {r} (t)=\mathbf {r} _{0}+{\frac {\displaystyle \mathbf {a} \,c}{\displaystyle a^{2))}\,\ vasen({\sqrt {c^{2}+(\mathbf {w} _{0}+\mathbf {a} \,t)^{2))}-{\sqrt {c^{2}+\ mathbf {w} _{0}^{2))}\right)+{\frac {[\mathbf {a} \times [\mathbf {w} _{0}\times \mathbf {a} ]]} {a^{2}}}\cdot \tau _{0},

missä on kappaleen sijainnin sädevektori ajanhetkellä ja on kohteen oikea aika [4] : ${\displaystyle \textstyle \mathbf {r} _{0))$ $\textstyle t=0,$ $\textstyle \tau _{0}$

\tau _{0}={\frac {c}{a}}\cdot \ln {\frac {\displaystyle {\sqrt {c^{2}+(\mathbf {w} _{0} +\mathbf {a} t)^{2}}}+at+(\mathbf {w} _{0}\mathbf {a} )/a}{\displaystyle {\sqrt {c^{2}+\mathbf {w} _{0}^{2}}}+(\mathbf {w} _{0}\mathbf {a} )/a}}.

Jos oikea kiihtyvyys ja alkunopeus ovat samansuuntaisia toistensa kanssa, niin vektoritulo on yhtä suuri kuin nolla ja lentoradan ilmaisu yksinkertaistuu huomattavasti. $\textstyle \mathbf {a}$ $\textstyle \mathbf {u} _{0}$ $\textstyle [\mathbf {a} \times [\mathbf {w} _{0}\times \mathbf {a} ]]$

Tässä tapauksessa, jos objekti liikkuu x - akselia pitkin , niin sen maailmanviiva tasolla ( x, t ) on hyperbola , joten yksiulotteista tasaisesti kiihdytettyä relativistista liikettä kutsutaan joskus hyperboliseksi. $x(t)=\mathrm {const} +{\sqrt {c^{2}t^{2}+c^{4}/a^{2))}.$

Oikea aika on yhtä suuri kuin aika, joka kului kohteeseen liittyvässä kellossa alkuhetkestä hetkeen kiinteässä vertailukehyksessä, johon nähden liikettä havaitaan. Ajan laajentumisen seurauksena aina $\textstyle \tau _{0}$ $\textstyle t=0$ $\textstyle t$ $\textstyle \tau _{0}<t.$

Ei-relativistisessa rajassa (pienet nopeudet) saadaan klassisen tasaisesti kiihdytetyn liikkeen yhtälö : $\textstyle c\to \infty$

\mathbf {r} (t)\noin \mathbf {r} _{0}+\mathbf {u} _{0}\,t+{\frac {\mathbf {a} \,t^{2 }}{2}}.

Oma kiihtyvyys

Vakiovektorilla on kiihtyvään kappaleeseen liittyvän hetkellisen vertailukehyksen tavallinen kiihtyvyys. Jos keho muuttaa nopeutta suhteessa edelliseen sijaintiinsa jossain kiinteässä vertailukehyksessä, tällainen liike kiihtyy suhteellisesti tasaisesti. Tästä syystä parametria kutsutaan sisäiseksi kiihtyvyydeksi . Hyväksymällä tällaisen liikkeen määritelmän voidaan saavuttaa nopeuden riippuvuus ajasta viittaamatta dynamiikkaan, pysyen vain suhteellisuusteorian kinematiikan puitteissa [5] . $\textstyle \mathbf {a}$ $\textstyle a\,dt',$ $\textstyle a={\textrm {const)),$ $\textstyle a$

Sisäinen kiihtyvyysmoduuli a yksiulotteisessa tapauksessa liittyy 3-kiihtyvyysmoduuliin a′ = d u /d t , joka havaitaan kiinteässä inertiakehyksessä Λ koordinaattiajalla t seuraavasti:

a=a^{\prime }\gamma ^{3}={\frac {1}{\left(1-u^{2}/c^{2}\right)^{3/2} }}{\frac {{\textrm {d}}u}{{\textrm {d}}t)),

missä γ on kohteen Lorentz-tekijä , u on sen nopeus Λ :ssä . Jos koordinaatin ja nopeuden alkuarvot ovat yhtä kuin nolla, niin integroimalla yllä oleva yhtälö, voimme saada kohteen nopeuden ja sijainnin riippuvuudet järjestelmässä Λ koordinaattiajasta:

u(t)={\frac {at}{\sqrt {1+\left({\frac {at}{c}}\right)^{2}}}}=c\operaattorinimi {th} \left(\operaattorinimi {Arsh} {\frac {at}{c}}\right);

x(t)={\frac {c^{2}}{a}}\left({\sqrt {1+\left({\frac {at}{c}}\right)^{2 ))}-1\right)={\frac {c^{2}}{a}}\left(\operaattorinimi {ch} \left(\operaattorinimi {Arsh} {\frac {at}{c}}\ oikea)-1\oikea).

Samojen suureiden riippuvuus kohteen oikeasta ajasta:

u(\tau )=c\operaattorin nimi {th} {\frac {a\tau }{c));

x(\tau )={\frac {c^{2}}{a}}\left(\operaattorinimi {ch} {\frac {a\tau }{c}}-1\right).

Oikean ajan riippuvuus koordinaattiajasta:

\tau (t)={\frac {c}{a}}\ln \left({\sqrt {1+\left({\frac {at}{c}}\right)^{2} ))+{\frac {at}{c}}\right)={\frac {c}{a}}\operaattorinimi {Arsh} {\frac {at}{c}}.

Koordinaattiajan riippuvuus oikeasta ajasta:

t(\tau )={\frac {c}{a}}\operaattorinimi {sh} {\frac {a\tau }{c}}.

Tasaisesti kiihdytetyn varauksen säteily

Vakio omalla kiihtyvyydellä a liikkuva varaus e säteilee sähkömagneettisia aaltoja teholla ( Gaussin järjestelmässä ). Tässä tapauksessa ei ole säteilykitkaa [6] . $P={\frac {2e^{2}a^{2}}{3c^{3}}}$

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Varautuneen hiukkasen liike kulmassa, joka ei ole yhtä suuri kuin 0 tai 180° tasaiseen sähkökenttään ei kiihdytä tasaisesti, koska yleisesti ottaen Lorentzin muunnoksen aikana sähkömagneettinen kenttä muuttuu, mikä johtaa voiman muutokseen. vaikuttaa kehoon liikkuvassa vertailukehyksessä. Ainoa poikkeus on Lorentzian muunnos homogeenista sähkökenttää pitkin; tässä tapauksessa kenttä ei muutu.
↑ Tässä artikkelissa 3-vektorit on merkitty lihavoidulla kirjasintyypillä ja niiden pituudet (jossain inertiaalisessa viitekehyksessä) on normaalilla kursiivilla.
↑ Landau L. D. , Lifshitz E. M. Kenttäteoria. - 7. painos, tarkistettu. — M .: Nauka , 1988. — 512 s. - (" Teoreettinen fysiikka ", osa II). — ISBN 5-02-014420-7 .
↑ Logunov A. A. Luennot suhteellisuus- ja painovoimateoriasta: ongelman moderni analyysi. - M .: "Nauka", 1987.
↑ Accelerated Motion Arkistoitu 9. elokuuta 2010 The Wayback Machine in Relativity
↑ Ginzburg V. L. Säteilystä ja säteilyn kitkavoimasta tasaisesti kiihdytetyllä varauksen liikkeellä // Uspekhi fizicheskikh nauk . - Venäjän tiedeakatemia , 1969. - T. 98 . - S. 569-585 . (Venäjän kieli)