Oma kiihtyvyys

Sisäinen kiihtyvyys [1] on suhteellisuusteoriassa kohteen kokemaa fyysistä kiihtyvyyttä (eli mitattavissa olevaa kiihtyvyyttä esimerkiksi kiihtyvyysmittarilla ). Siten se on kiihtyvyys suhteessa vapaaseen pudotukseen tai inertiahavaintajaan, joka on hetkellisesti levossa suhteessa mitattavaan kohteeseen. Painovoima ei aiheuta omaa kiihtyvyyttään, koska painovoima vaikuttaa inertiahavaintajaan siten, että sen oma kiihtyvyys ei ole kiinteä. Seurauksena on, että kaikilla inertiaalisilla havainnoilla on aina nolla sisäinen kiihtyvyys.

Sisäinen kiihtyvyys on vastakohta kiihtyvyydelle , joka riippuu koordinaattijärjestelmän valinnasta ja siten havainnoitsijan valinnasta.

Yksisuuntaisen liikkeen erityissuhteellisuusteorian standardiinertiakoordinaateissa oma kiihtyvyys on oman nopeuden muutosnopeus suhteessa koordinaattiaikaan.

Inertiakehyksessä, jossa kohde on hetkellisesti levossa, oikea 3-kiihtyvyyden vektori yhdistettynä nolla-aikakomponenttiin antaa kohteen 4-kiihtyvyyden , mikä tekee sisäisen kiihtyvyyden suuruudesta Lorentzin invariantiksi . Siten käsite on hyödyllinen seuraavissa tapauksissa: (i) kiihdytetyillä kehyksillä, (ii) relativistisilla nopeuksilla ja (iii) kaarevalla aika-avaruudella.

Kiihtyvässä raketissa laukaisun jälkeen tai jopa raketissa laukaisun aikana luontainen kiihtyvyys on kiihtyvyys, jonka sisällä olevat henkilöt tuntevat, ja sitä kuvataan g -voimana (joka ei ole voima, vaan vain kiihtyvyys, katso tästä artikkelista yksityiskohtaisempi keskustelu luontaisesta kiihtyvyydestä), jotka ovat vain ajoneuvojen tuottamia. [2] "Painovoiman kiihtyvyys" ("painovoima") ei koskaan vaikuta omaan kiihtyvyyteensä missään olosuhteissa, mikä tarkoittaa, että maassa seisovien tarkkailijoiden havaitsema oma kiihtyvyys johtuu maasta tulevasta mekaanisesta voimasta . painovoiman "voimaan tai "kiihtyvyyteen". Jos maa poistetaan ja tarkkailijan annetaan pudota vapaasti, havaitsija kokee koordinaattikiihtyvyyden, mutta ei itsekiihtyvyyttä eikä siten g-voimaa. Yleensä tällaisessa putoamisessa tai yleensä millä tahansa ballistisella reitillä (kutsutaan myös inertialiikkeeksi) esineet, mukaan lukien kiertoradalla olevat kohteet, eivät koe omaa kiihtyvyyttään (huolimatta pienet vuorovesikiihtyvyydet inertiapoluilla gravitaatiokentissä). Tämä tila tunnetaan myös nimellä " painottomuus " ("nolla-g") tai "vapaa pudotus".

Sisäinen kiihtyvyys pienennetään koordinaatiksi inertiakoordinaatistossa tasaisessa aika-avaruudessa (eli ilman painovoimaa), jos kohteen luontainen nopeus [3] (liikemäärä massayksikköä kohti) on paljon pienempi kuin valon nopeus c . Vain tällaisissa tilanteissa koordinaattikiihtyvyys koetaan täysin ylikuormitukseksi (eli omaksi kiihtyvyydeksi, joka määritellään myös mitattavan painon luomiseksi).

Tilanteissa, joissa painovoimaa ei ole, mutta valittu koordinaattijärjestelmä ei ole inertia, vaan kiihtyy havainnoijan kanssa (esim. kiihdyttävän raketin kiihdytetty vertailukehys tai sentrifugissa oleviin esineisiin kiinnitetty kehys), g-voimat ja vastaavat oikeat kiihtyvyydet, joita tarkkailijat havaitsevat näissä koordinaattijärjestelmissä, johtuvat mekaanisista voimista, jotka vastustavat niiden painoja tällaisissa järjestelmissä. Tämä paino puolestaan muodostuu inertiavoimista , joita esiintyy kaikissa tällaisissa kiihdytetyissä koordinaattijärjestelmissä, samankaltaisesti kuin paino, jonka "painovoima" synnyttää kohteille, jotka on kiinnitetty avaruuteen suhteessa gravitaatiokappaleeseen (kuten painovoiman pinnalle). Maa).

Kokonaisvoimaa (mekaanista), jonka lasketaan aiheuttavan oman kiihtyvyytensä levossa olevalle massalle koordinaattijärjestelmässä, jolla on oma kiihtyvyys Newtonin lain F = m a mukaan, kutsutaan omaksi voimaksi . Kuten yllä näkyy, omavoima on yhtä suuri kuin reaktiovoima, joka mitataan kohteen "työpainona" (eli sen painona mitattuna laitteella, kuten jousivaaka tyhjiössä, kohteen koordinaattijärjestelmässä). Esineen oma vahvuus on siis aina numeerisesti yhtä suuri ja suunnaltaan vastakkainen mitatun painon kanssa.

Esimerkkejä

Kun pidät karusellissa, joka pyörii tasaisella kulmanopeudella , koet säteittäisen sisäisen ( keskipetaalisen ) itsekiihtyvyyden kammen ja käden välisen vuorovaikutuksen vuoksi. Tämä kumoaa pyörivään vertailukehykseen liittyvän radiaalisesti ulospäin suuntautuvan geometrisen kiihtyvyyden . Tästä ulospäin suuntautuvasta kiihtyvyydestä (pyörivän vertailukehyksen suhteen) tulee koordinaattikiihtyvyys, kun vapautat kätesi, mikä johtaa geodeettiseen lentoon, jossa luontainen kiihtyvyys on nolla. Tietenkin tällä hetkellä kiihtymättömät tarkkailijat viitekehyksessään yksinkertaisesti näkevät, kuinka yhtäläiset omat ja koordinaattikiihtyvyytesi katoavat.

Samoin kun seisomme pyörimättömällä planeetalla (ja maan päällä), koemme oman ylöspäin suuntautuvan kiihtyvyytemme normaalin (pintaan nähden kohtisuoran) voiman vuoksi, jonka maa kohdistaa kengiemme pohjaan. Se neutraloi koordinaattijärjestelmän valinnasta johtuvan geometrisen kiihtyvyyden alaspäin (ns. pintareferenssikehys (englanniksi shell frame) [4] ). Tästä alaspäin suuntautuvasta kiihtyvyydestä tulee koordinaatti, jos astumme vahingossa kalliolta nollan luontaisen kiihtyvyyden liikeradalle (geodeettinen tai sateen vertailukehys).

Huomaa, että geometriset kiihtyvyydet (johtuen affiinista yhteystermistä kovarianttiderivaattaisessa koordinaatistossa ) vaikuttavat olemuksemme jokaiseen grammaan , kun taas oikeat kiihtyvyydet johtuvat yleensä ulkoisesta voimasta. Fysiikan johdantokurssit käsittelevät usein alaspäin suuntautuvaa (geometristä) gravitaatiokiihtyvyyttä painovoiman seurauksena . Tämä yhdessä kiihtymättömien vertailukehysten huolellisen välttämisen kanssa antaa heille mahdollisuuden pitää koordinaattia ja oikeaa kiihtyvyyttä yhtenä ja samana kokonaisuutena.

Jopa silloin, kun esine ylläpitää vakiona oikeaa kiihtyvyyttä pitkän ajan tasaisessa avaruusajassa, levossa olevat tarkkailijat näkevät kohteen koordinaattikiihtyvyyden pienenevän, kun sen koordinaattinopeus lähestyy valon nopeutta. Siitä huolimatta kohteen oman nopeuden kasvunopeus pysyy vakiona.

Siten oman ja koordinaattikiihtyvyyden ero [5] mahdollistaa kiihtyneiden matkustajien kokemuksen seuraamisen erilaisista ei-newtonilaisista näkökulmista. Näihin näkökulmiin kuuluvat sellaiset tapaukset kuin kiihdytetyt koordinaattijärjestelmät (esim. karusellit), suuret nopeudet (kun oikeat ja koordinaattiajat eroavat) ja kaareva aika-avaruus (esim. liittyy maan painovoimaan).

Klassiset sovellukset

Pienillä nopeuksilla Newtonin fysiikan inertiakoordinaatistoissa oikea kiihtyvyys on yhtä suuri kuin koordinaattikiihtyvyys a =d 2 x /dt 2 . Kuitenkin, kuten edellä mainittiin, se eroaa koordinaattikiihtyvyydestä, jos valitset (Newtonin neuvojen vastaisesti) kuvaamaan maailmaa kiihdytetyllä koordinaattijärjestelmällä, kuten kiihtyvä auto tai ritsassa pyörivä kivi. Jos olet samaa mieltä siitä, että painovoiman aiheuttaa aika-avaruuden kaarevuus (katso alla), gravitaatiokentässä oikea kiihtyvyys eroaa koordinaattikiihtyvyydestä.

Esimerkiksi objektia, johon kohdistuu fyysinen tai luontainen kiihtyvyys a o , tarkkailijat havaitsevat koordinaattijärjestelmässä, joka on altistettu jatkuvalle kiihtyvyydelle a rungolla , jolla on koordinaattikiihtyvyys:

{\vec {a}}_{acc}={\vec {a}}_{o}-{\vec {a}}_{frame}

Siten, jos kohde kiihtyy vertailukehyksen kanssa, kyseiseen viitekehykseen ankkuroidut tarkkailijat eivät näe kiihtyvyyttä ollenkaan.

Samoin kulmanopeudella ω pyörivässä kehyksessä olevalla objektilla, joka on alttiina fysikaaliselle tai luontaiselle kiihtyvyydelle a o , havaitsevat, että sillä on koordinaattikiihtyvyys:

{\vec {a}}_{rot}={\vec {a}}_{o}-{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\ vec {r)))-2{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}_{rot}-{\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}\times {\vec {r))

Yllä olevassa yhtälössä oikealla puolella on kolme geometrista kiihtyvyystermiä. Ensimmäinen on "keskipakokiihtyvyys", riippuu vain säteittäisestä asennosta "r", eikä esineemme nopeudesta, toinen on "Coriolis-kiihtyvyys", riippuu vain kohteen nopeudesta pyörivässä vertailukehyksessä v rot . , mutta ei sen sijainnista, ja kolmas termi - "Euler-kiihtyvyys" riippuu vain vertailukehyksen kulmanopeuden sijainnista ja muutosnopeudesta.

Kaikissa näissä tapauksissa fyysinen tai luontainen kiihtyvyys eroaa koordinaattikiihtyvyydestä, koska viimeksi mainittuun voivat vaikuttaa koordinaattijärjestelmän valintamme sekä kohteeseen vaikuttavat fyysiset voimat. Ne koordinaattikiihtyvyyden komponentit, jotka eivät johdu fyysisistä voimista (kuten suora kosketus tai sähköstaattinen vetovoima), katsotaan usein (kuten Newtonin esimerkissä yllä) voimille, jotka: (i) vaikuttavat jokaiseen esineen grammaan, (ii) aiheuttavat massasta riippumattomat kiihtyvyydet ja (iii) ei ole olemassa kaikista näkökulmista. Tällaisia geometrisia (tai sopimattomia) voimia ovat Coriolis -voimat , Euler-voimat , g -voimat , keskipakovoimat ja (kuten alla nähdään) painovoima .

Katsottuna osasta tasaista aika-avaruutta

Oikean kiihtyvyyden suhde koordinaattiin tasaisen aika-avaruuden tietyssä osassa seuraa [6] tasaisen tila-ajan metriikan yhtälöstä Minkowski ( c d τ ) 2 = ( c d t ) 2 — (d x ) 2 . Tässä yksi metrien ja synkronoitujen kellojen vertailukehys määrittää lepokehyksen sijainnin x ja lepokehyksen ajan t vastaavasti, liikkuvan kohteen kello määrittää oikean ajan x ja koordinaatin edessä oleva "d" tarkoittaa äärettömän pientä muutosta. Nämä suhteet mahdollistavat erilaisten "mikä tahansa nopeuksien suunnittelun" ongelmien ratkaisemisen, vaikkakin vain tarkkailijan levon laajennetun viitekehyksen näkökulmasta, jossa samanaikaisuus määritellään.

Kiihtyvyys (1+1)D

Yksisuuntaisessa tapauksessa, kun kohteen kiihtyvyys on yhdensuuntainen tai vastasuuntainen sen nopeuteen nähden havaitsijan keskipisteessä, oikea kiihtyvyys α ja koordinaattikiihtyvyys a liittyvät [7] : ään Lorentzin tekijän γ kautta arvolle α =γ 3 a . Siksi oman nopeuden muutos w=dx/dτ on levossa t olevan järjestelmän oman kiihtyvyyden integraali ajan kuluessa, eli Δ w = α Δ t vakiolle α . Pienillä nopeuksilla tämä tiivistyy hyvin tunnettuun koordinaattinopeuden ja koordinaattien kiihtyvyysajan väliseen suhteeseen, eli Δ v = a Δ t .

Jatkuvaa yksisuuntaista oikeaa kiihtyvyyttä varten on samanlaiset suhteet nopeuden η ja kuluneen oikean ajan Δ τ välillä sekä Lorentzin kertoimen γ ja kuljetun matkan Δ x välillä . Nimittäin:

\alpha ={\frac {\Delta w}{\Delta t))=c{\frac {\Delta \eta }{\Delta \tau ))=c^{2}{\frac {\Delta \gamma }{\Delta x))

jossa eri nopeusparametrit liittyvät suhteeseen

\eta =\sinh ^{-1}\left({\frac {w}{c}}\right)=\tanh ^{-1}\left({\frac {v}{c}} \right)=\pm \cosh ^{-1}\left(\gamma \right)

Nämä yhtälöt kuvaavat joitain suurella nopeudella kiihdytetyn liikkeen seurauksia. Kuvittele esimerkiksi avaruusalus, joka voi kiihdyttää matkustajiaan nopeudella 1 g (10 m/s 2 eli noin 1,0 valovuotta neliössä) puolivälissä määränpäähänsä ja hidastaa niitä sitten 1 g:llä jäljellä olevan puolivälin aikana, jotta Maan keinotekoinen painovoima saadaan aikaan pisteestä A. [8] [9] Lepokehyksen etäisyyksille Δ x AB, ensimmäinen yllä oleva yhtälö ennustaa keskimääräisen Lorentzin tekijän γ mid =1+ α (Δ x AB /2)/c 2 . Tästä syystä komentajan kellon edestakaisen matkan aika on Δ τ = 4( c / α ) cosh −1 ( γ mid ), jonka aikana lepojärjestelmän kellosta kulunut aika on Δ t = 4( c / α ) sinh [cosh −1 ( γ mid )].

Tämä kuvitteellinen avaruusalus voisi tarjota matkoja Proxima Centauriin ja sieltä takaisin noin 7,1 vuotta matkustajien tuntien mukaan (noin 12 vuotta maan ajan mukaan), matkaa keskeiseen mustaan aukkoon noin 40 vuodessa (noin 54 000 vuotta maan ajan mukaan) ja matkustaa Andromedan galaksiin ja kestää noin 57 vuotta (yli 5 miljoonaa vuotta maan kellon mukaan). Valitettavasti 1 g:n kiihtyvyys vuosien mittaan on helpommin sanottu kuin tehty, kuten oikealla olevasta kuvasta näkyy, mikä osoittaa suurimman hyötykuorman ja laukaisupainon suhteen.

Muistiinpanot

↑ Edwin F. Taylor & John Archibald Wheeler (vain 1. painos 1966 ) Avaruus- ja aika- fysiikka (WH Freeman, San Francisco) ISBN 0-7167-0336-X , luku 1 Harjoitus 51 sivut 97-98: "Kelloparadoksi III" ( pdf ) Arkistoitu 21. heinäkuuta 2017 Wayback Machinessa ).
↑ Suhteellisuusteoria: Wolfgang Rindler, s. 71
↑ Francis W. Sears & Robert W. Brehme (1968) Johdatus suhteellisuusteoriaan (Addison-Wesley, NY) LCCN 680019344 Arkistoitu 30. heinäkuuta 2012 Wayback Machinessa , osa 7-3
↑ Edwin F. Taylor ja John Archibald Wheeler (2000) Mustien aukkojen tutkiminen (Addison Wesley Longman, NY) ISBN 0-201-38423-X
↑ vrt. CW Misner, KS Thorne ja JA Wheeler (1973) Gravitation (WH Freeman, NY) ISBN 978-0-7167-0344-0 , kohta 1.6
↑ P. Fraundorf (1996) "Yhden kartan kahden kellon lähestymistapa suhteellisuusteorian opettamiseen johdantofysiikassa" ( arXiv:physics/9611011 )
↑ A. John Mallinckrodt (1999) Mitä tapahtuu, kun a*t>c? Arkistoitu alkuperäisestä 30. kesäkuuta 2012. (AAPT Summer Meeting, San Antonio TX)
↑ E. Eriksen ja Ø. Grøn (1990) Relativistinen dynamiikka tasaisesti kiihdytetyissä viitekehyksessä kelloparadoksiin sovellettaessa, Eur. J Phys. 39 :39-44
↑ C. Lagoute ja E. Davoust (1995) Tähtienvälinen matkailija, Am. J Phys. 63 :221-227