Steiner-symmetrisointi

Steiner-symmetrisaatio on tietyntyyppinen rakennelma, joka yhdistää mielivaltaisen hahmon peilisymmetriaa omaavaan kuvioon. Tätä rakennetta sovelletaan Jakob Steinerin vuonna 1838 ehdottaman isoperimetrisen ongelman ratkaisemiseen.

Steiner-symmetrisoinnin perusteella konstruoitiin muita symmetrisaatioita, joita käytetään vastaavissa ongelmissa.

Määritelmä

Olkoon hyperplane ja olla annettu luku . $H\subset \mathbb {R} ^{n}$ $\Phi$ $\mathbb {R} ^{n}$

Otetaan käyttöön ortogonaalinen koordinaattijärjestelmä, jota kuvaa yhtälö . Merkitään kullekin pisteelle läpivedetyn kohtisuoran leikkauspisteen pituus joukon kanssa . Seuraavaksi teemme läpi segmentin pituus kanssa midpoint klo , kohtisuorassa . Tällaisten segmenttien liitto on Steinerin symmetrisaatio suhteessa . $H$ $x_{n}=0$ $x\in H$ $\ell _{x}$ $H$ $x$ $\Phi$ $x$ $\ell _{x}$ $x$ $H$ $\Phi ^{*}$ $\Phi$ $H$

Ominaisuudet

Äänenvoimakkuus on sama kuin äänenvoimakkuus . $\Phi ^{*}$ $\Phi$

Pinta-ala ei ylitä pinta-alaa . $\Phi ^{*}$ $\Phi$
- Jos kupera kappale, niin pinta-alojen yhtäläisyys saavutetaan vain, jos se on peilisymmetrinen suhteessa hypertasoon, joka on yhdensuuntainen symmetriatason kanssa. $\Phi$ $\Phi ^{*}$ $\Phi$ $\Phi$
- Yleisessä tapauksessa tasa-arvo voidaan saavuttaa paitsi peilisymmetrisillä , esimerkiksi tasa-arvo saavutetaan tasohahmoilla, jotka koostuvat kahdesta suorakulmiosta, joiden kantat ovat yhdensuuntaiset suoran symmetrisoinnin kanssa. $\Phi$

Jos se on kupera, niin sama pätee myös . $\Phi$ $\Phi ^{*}$

Steiner-symmetrisaatio ei lisää Hausdorffin etäisyyttä lukujen välillä, eli $d_{H}(\Phi ,\Psi )\geq d_{H}(\Phi ^{*},\Psi ^{*}),$

missä ja ovat mielivaltaisia lukuja, ja ovat niiden symmetrisaatioita suhteessa samaan hypertasoon, ja on Hausdorffin metriikka .

\Phi

\psi

\Phi ^{*}

\Psi ^{*}

d_{H}

Jos , niin . $\Phi \subset \Psi$ $\Phi ^{*}\subset \Psi ^{*}$

Muunnelmia ja yleistyksiä

Polyan symmetrisointi (pyöreä).
Aksiaalinen symmetrisaatio on samanlainen kuin Steinerin symmetrisaatio, mutta antaa luvun, joka on muuttumaton tietyn suoran ympäri tapahtuvissa kierroksissa.

Kirjallisuus

Blaschke . Ympyrä ja pallo . - M . : Nauka, 1967.