Konjugaattimuuttujat

Liitännäismuuttujat ovat muuttujapareja, jotka liittyvät matemaattisesti toisiinsa Fourier-muunnoksen kautta . [1] [2] tai yleisesti ottaen Pontrjaginin kaksinaisuuden avulla . Kaksinaisuussuhde johtaa luonnollisesti epävarmuussuhteeseen, jota kutsutaan fysiikassa Heisenbergin epävarmuusperiaatteeksi . Matemaattisesti konjugaattimuuttujat ovat osa symplektistä perustaa ja epävarmuussuhde vastaa symplektistä muotoa . Lisäksi liitännäismuuttujat liittyvät toisiinsa käyttämällä Noetherin lausetta , jonka mukaan jos suljetun fyysisen järjestelmän ominaisuudet ovat muuttumattomia jonkin adjointmuuttujan muutoksen vaikutuksesta, silloin toinen adjointmuuttuja kyseisessä fyysisessä järjestelmässä säilyy ajan myötä.

Esimerkkejä

Kanonisesti konjugoituja muuttujia on monenlaisia:

Aika ja taajuus : Mitä kauemmin nuotti säilyy, sitä tarkemmin tiedämme sen taajuuden, mutta se kestää pidempään ja on siksi hajautetumpi tapahtuma. Sitä vastoin hyvin lyhyt nuotti on ajallisesti enemmän lokalisoitunut, mutta sen taajuutta ei voida määrittää kovin tarkasti (tulee vain napsautuksesta). [3]
Doppler-ilmiö : mitä tarkemmin tiedämme etäisyyden kohteeseen, sitä vähemmän tarkasti tiedämme sen lähestymis- tai poistumisnopeuden ja päinvastoin. Tässä tapauksessa ajan ja taajuuden kaksiulotteinen funktio tunnetaan tutkan epävarmuusfunktiona tai "tutkan epävarmuuskaaviona".
Pintaenergia: γ d A ( γ = pintajännitys ; A = pinta-ala).
Elastinen venymä: F d L ( F = elastinen voima; L venymäpituus).

Johdannaistoimenpiteet

Klassisessa fysiikassa johdannaiset ovat konjugoituja muuttujia, joiden arvo on erilainen. Kvanttimekaniikassa nämä samat muuttujaparit yhdistetään Heisenbergin epävarmuusperiaatteella .

Hiukkasen " energia " tietyssä tapahtumassa on kyseisen hiukkasen liikeradalla tapahtuvan toiminnan negatiivinen derivaatta, joka päättyy kyseiseen tapahtumaan, suhteessa tapahtuman " aikaan ".
Hiukkasen " liikemäärä " on sen toiminnan johdannainen suhteessa sen " paikkaan ".
Hiukkasen " kulmaliikemäärä " on johdannainen sen vaikutuksesta suhteessa sen "kulma-asemaan".
Hiukkasen "massamomentti" ( ) on sen toiminnan negatiivinen derivaatta suhteessa sen " nopeuteen ". $\mathbf {N} =t\mathbf {p} -E\mathbf {r}$
" Sähköpotentiaali " ( , sähköjännite ) tapahtumassa on negatiivinen derivaatta sähkömagneettisen kentän vaikutuksesta suhteessa (vapaan) " sähkövarauksen " tiheyteen kyseisessä tapahtumassa. $\varphi$
" Sähkömagneettisen kentän vektoripotentiaali " ("A"') tapahtumassa on sähkömagneettisen kentän toiminnan derivaatta suhteessa (vapaan) " sähkövirran " tiheyteen kyseisessä tapahtumassa.
" Sähkökenttä " ("E"') tapahtumassa on johdettu sähkömagneettisen kentän vaikutuksesta suhteessa eristeen " polarisaatioon " kyseisessä tapahtumassa.
Tapahtuman " magneettinen induktio " ("'B"') on johdannainen sähkömagneettisen kentän vaikutuksesta suhteessa tapahtuman " magnetoitumiseen ".
Newtonin " gravitaatiopotentiaali " tapahtumassa on Newtonin gravitaatiokentän toiminnan derivaatan negatiivinen arvo suhteessa " massatiheyteen " kyseisessä tapahtumassa.

Kvanttimekaniikka

Kvanttimekaniikassa konjugoidut muuttujat realisoidaan havainnoitavien pareina, joiden operaattorit eivät kommutoi. Perinteisessä terminologiassa niitä kutsutaan "yhteensopimattomiksi havaittaviksi". Tarkastellaan esimerkiksi koordinaatin ja liikemäärän antamia mitattavia suureita . Kvanttimekaanisessa formalismissa kaksi havaittavaa ja vastaavat operaattoreita ja , jotka välttämättä täyttävät kanonisen kommutointisuhteen : $\left(x\right)$ $\left(p\right)$ $x$ $s$ ${\widehat {x))$ ${\widehat {p\,))$

[ x ^ , s ^ ] = x ^ s ^ − s ^ x ^ = i ℏ {\displaystyle [{\widehat {x}},{\widehat {p\,}}]={\widehat {x}}{\widehat {p\,}}-{\widehat {p\,}}{ \widehat {x}}=i\hbar } $[{\widehat {x}},{\widehat {p\,}}]={\widehat {x}}{\widehat {p\,}}-{\widehat {p\,}}{ \widehat {x}}=i\hbar$

Jokaiselle kahden operaattorin nollasta poikkeavalle kommutaattorille on olemassa "epävarmuusperiaate", joka tässä esimerkissämme voidaan ilmaista seuraavasti:

Δ x Δ s ≥ ℏ / 2 {\displaystyle \Delta x\,\Delta p\geq \hbar /2} $\Delta x\,\Delta p\geq \hbar /2$

Tässä sumeassa merkinnässä ja merkitsee "epävarmuutta" samanaikaisessa määrittelyssä ja . Tarkempi ja tilastollisesti täydellisempi lausunto, joka sisältää keskihajonnan , kuuluu: $\Delta x$ $\Delta p$ $x$ $s$ $\sigma$

σ x σ s ≥ ℏ / 2 {\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq \hbar /2} $\sigma _{x}\sigma _{p}\geq \hbar /2$

Yleisemmin kaikille kahdelle havaittavalle, jotka vastaavat operaattoreita ja , yleinen epävarmuusperiaate saadaan seuraavasti: $A$ $B$ ${\widehat {A}}$ ${\widehat {B}}$

σ A 2 σ B 2 ≥ ( yksi 2 i ⟨ [ A ^ , B ^ ] ⟩ ) 2 {\displaystyle {\sigma _{A}}^{2}{\sigma _{B}}^{2}\geq \left({\frac {1}{2i}}\left\langle \left[{ \widehat {A)),{\widehat {B}}\right]\right\rangle \right)^{2}} ${\sigma _{A}}^{2}{\sigma _{B}}^{2}\geq \left({\frac {1}{2i}}\left\langle \left[{ \widehat {A)),{\widehat {B}}\right]\right\rangle \right)^{2}$

Sen mukaan voidaan valita kaksi operaattoria, jotka määrittävät kullekin matemaattisen muodon siten, että pari sen tyydyttää. Tämä operaattoreiden valinta heijastaa yhtä monista vastaavista (isomorfisista) esityksistä yleisestä algebrallisesta perusrakenteesta, joka kuvaa kvanttimekaniikkaa (Heisenberg Lie -algebra , vastaavaa ryhmää kutsutaan Heisenberg-ryhmäksi ). ${\mathfrak {h}}_{3}$ $H_3$

Nestemekaniikka

Hamiltonin nestemekaniikassa ja kvanttihydrodynamiikassa itse " toiminta " (tai "nopeuspotentiaali") on " tiheyden " (tai " todennäköisyystiheyden ") konjugaattimuuttuja .

Katso myös

Kanoniset koordinaatit

Muistiinpanot

↑ Heisenberg - Kvanttimekaniikka, 1925-1927: Epävarmuussuhteet . Haettu 10. toukokuuta 2022. Arkistoitu alkuperäisestä 22. joulukuuta 2015. (määrätön)
↑ Muutamia huomioita ajasta ja energiasta konjugaattimuuttujina
↑ "The Chirplet Transform", IEEE Transactions on Signal Processing, 43(11), marraskuu 1995, s. 2745–2761 . Haettu 10. toukokuuta 2022. Arkistoitu alkuperäisestä 1. huhtikuuta 2022. (määrätön)