Pallomainen segmentti

Pallomainen segmentti on pinta , osa pallosta , joka on leikattu siitä pois tietyllä tasolla . Taso leikkaa kaksi segmenttiä: pienempää segmenttiä kutsutaan myös pallomaiseksi ympyräksi [1] . Jos leikkaustaso kulkee pallon keskustan läpi, molempien segmenttien korkeus on yhtä suuri kuin pallon säde, ja kutakin näistä pallomaisista segmenteistä kutsutaan puolipalloksi .

Pallomainen segmentti on geometrinen kappale , pallon osa, joka on leikattu siitä pois tietyllä tasolla. Pallomaisen segmentin pinta on pallomaisen segmentin ja ympyrän (pallomaisen segmentin kanta) liitto, jonka rajat yhtyvät.

Tilavuus ja pinta-ala

Jos janan kannan säde on , janan korkeus on , niin pallomaisen segmentin tilavuus on [2] $a$ $h$

V={\frac {\pi h}{6}}(3a^{2}+h^{2}),

segmentin pinta-ala on

A=2\pi rh

tai

A=2\pi r^{2}(1-\cos \theta ).

Parametrit , ja ne liittyvät suhteiden kautta $a$ $h$ $r$

r^{2}=(rh)^{2}+a^{2}=r^{2}+h^{2}-2rh+a^{2},

r={\frac {a^{2}+h^{2}}{2h}}.

Viimeisen lausekkeen korvaaminen ensimmäiseen pinta-alan laskentakaavaan johtaa tasa-arvoon

A=2\pi {\frac {(a^{2}+h^{2})}{2h}}h=\pi (a^{2}+h^{2}).

Huomaa, että pallon yläosassa (kuvassa sininen segmentti) pallon alaosassa , joten lauseke pätee molemmille segmenteille ja tilavuudelle voidaan antaa toinen lauseke: $h=r-{\sqrt {r^{2}-a^{2))},$ $h=r+{\sqrt {r^{2}-a^{2))},$ $a={\sqrt {h(2r-h)))$

V={\frac {\pi h^{2}}{3}}(3r-t).

Kaava tilavuuden määrittämiseksi voidaan saada myös integroimalla kierrospinta:

V=\int _{x}^{r}\pi \left(r^{2}-x^{2}\right)dx=\pi \left({\frac {2}{3} }r^{3}-r^{2}x+{\frac {1}{3}}x^{3}\right)={\frac {\pi }{3}}r^{3}(\ cos \theta +2)(\cos \theta -1)^{2}.

Sovellus

Kahden leikkaavan pallon liitoksen ja leikkauspisteen tilavuus

Kahden säteen r 1 ja r 2 pallon liitostilavuus on [3]

{\displaystyle V=V^{(1)}-V^{(2)))

missä

V^{(1)}={\frac {4\pi }{3}}r_{1}^{3}+{\frac {4\pi }{3}}r_{2}^{ 3}

on kahden pallon tilavuuksien summa erikseen, ja

V^{(2)}={\frac {\pi h_{1}^{2}}{3}}(3r_{1}-h_{1})+{\frac {\pi h_{ 2}^{2}}{3}}(3r_{2}-t_{2})

on kahden pallomaisen segmentin tilavuuksien summa, jotka muodostavat näiden pallojen leikkauskohdan. Olkoon d < r 1 + r 2 pallojen keskipisteiden välinen etäisyys, jolloin arvojen h 1 ja h 2 eliminointi johtaa lausekkeeseen [4] [5]

V^{(2)}={\frac {\pi }{12d))(r_{1}+r_{2}-d)^{2}\left(d^{2}+2d( r_{1}+r_{2})-3(r_{1}-r_{2})^{2}\oikea).

Eri leveysasteilla olevien ympyröiden rajaama pinta-ala

Eri leveysasteilla olevien ympyröiden rajaama pinta-ala on kahden vastaavan pallomaisen segmentin pinta-alojen erotus. Pallolle, jonka säde on r ja leveysaste φ 1 ja φ 2 , tämä alue on [6]

A=2\pi r^{2}|\sin \varphi _{1}-\sin \varphi _{2}|.

Pallon pinnan neliön pinta-ala

Jana, joka on leikattu palloon, jonka säde on r neljällä suurympyrän kaarella, joilla on sama kulmapituus θ ja jotka ovat pareittain kohtisuorassa (pallomainen neliö, joka on analoginen tason neliön kanssa), on pinta-ala

A=8r^{2}(1-\cos \theta /2).

Jos kulma θ on pieni (verrattuna 1 radiaaniin ), niin likimääräinen yhtälö on voimassa, perustuen likiarvoon $\cos x\to 1-x^{2}/2$ $x\to 0:$

A\noin 8r^{2}{\frac {\theta ^{2}}{8}}=r^{2}\theta ^{2}.

Esimerkiksi maanpinnan neliön pinta-ala ( R ⊕ = 6378 km) , jonka sivut ovat 1 astetta, on

A(1^{\circ })=8\cdot R_{\oplus }^{2}(1-\cos 0{,}5^{\circ })\noin R_{\oplus }^{ 2}\cdot \left({\frac {\pi }{180}}\right)^{2}\noin 12\,391\,{\text{km}}^{2}.

1 neliösekunti maapallon pinnasta on 3600 2 kertaa pienempi: A (1 ′′) ≈ 12 391 km 2 / (60 60) 2 ≈ 956 m 2 .

Yleistykset

Muiden elinten osat

Pallomainen segmentti saadaan leikkaamalla irti pallosta siten, että sillä on ympyräsymmetria (sillä on pyörimisakseli). Ellipsoidinen segmentti määritellään samalla tavalla.

Hypersphere Segment

Hyperpallon -ulotteisen segmentin tilavuus , jonka korkeus ja säde on -ulotteisessa euklidisessa avaruudessa, määritetään kaavalla [7] $n$ $h$ $r$ $n$

V={\frac {\pi ^{\frac {n-1}{2}}\,r^{n}}{\,\Gamma \left({\frac {n+1}{2 }}\right)}}\int \limits _{0}^{\arccos \left({\frac {rh}{r}}\right)}\sin ^{n}t\,\mathrm {d} t,

jossa ( gammafunktio ) on annettu $\Gamma$ $\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\mathrm {e} ^{-t}\,\mathrm {d} t.$

Tilavuuden lauseke voidaan kirjoittaa uudelleen yksikköulotteisen pallon tilavuuden ja hypergeometrisen funktion tai regularisoidun epätäydellisen beetafunktion tilavuudeksi . $V$ $n$ $C_{n}={\pi ^{n/2}/\Gamma \left[1+{\frac {n}{2}}\right]}$ ${}_{2}F_{1}$ $I_{x}(a,b)$

V=C_{n}\,r^{n}\left({\frac {1}{2}}\,-\,{\frac {rh}{r}}\,{\frac { \Gamma [1+{\frac {n}{2}}]}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma [{\frac {n+1}{2}}]}}{\,\ ,}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2)),{\tfrac {1-n}{2));{\tfrac {3}{2));\left ({\tfrac {rh}{r}}\right)^{2}\right)\right)={\frac {1}{2}}C_{n}\,r^{n}I_{(2rh) -h^{2})/r^{2}}\left({\frac {n+1}{2}},{\frac {1}{2}}\right).

Pinta-alan kaava voidaan kirjoittaa yksikköulotteisen pallon pinta- alana $A$ $n$ $A_{n}={2\pi ^{n/2}/\Gamma \left[{\frac {n}{2}}\right]}$

A={\frac {1}{2}}A_{n}\,r^{n-1}I_{(2rh-h^{2})/r^{2}}\left({ \frac {n-1}{2)),{\frac {1}{2}}\right),

missä $0\leq h\leq r.$

Myös seuraavat kaavat pätevät [8] : missä $A=A_{n}p_{n-2}(q),\quad V=V_{n}p_{n}(q),$ $q=1-h/r(0\leq q\leq 1),\quad p_{n}(q)={\frac {1-G_{n}(q)/G_{n}(1 )}{2}},$

G_{n}(q)=\int \limits _{0}^{q}(1-t^{2})^{(n-1)/2}dt.

klo $n=2k+1:$

G_{n}(q)=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}{\binom {k}{i}}{\frac {q^{2i+ 1 }}{2i+1}}.

Osoitettiin [9] , että for ja missä on standardi normaalijakauma . $n\to \infty$ $q{\sqrt {n}}={\text{const }}$ $p_{n}(q)\to 1-F({q{\sqrt {n}}}),$ $F()$

Kirjallisuus

A. I. Markushevich, A. Ya. Khinchin, P. S. Aleksandrov. Pallogeometrian peruskäsitteet // Alkeismatematiikan tietosanakirja. Kirja 4 - Geometria . - Moskova: GIFML, 1963.

Muistiinpanot

↑ Encyclopedia of Elementary Mathematics, 1963 , s. 519-520.
↑ Polyanin AD, Manzhirov AV Matematiikan käsikirja insinööreille ja tutkijoille (englanniksi) . - Chapman & Hall/CRC, 2007. - S. 69. - ISBN 9781584885023 . Arkistoitu 2. helmikuuta 2017 Wayback Machineen
↑ Connolly ML Molekyylitilavuuden laskeminen // J. Am. Chem. soc. - 1985. - Voi. 107 . - s. 1118-1124 . - doi : 10.1021/ja00291a006 .
↑ Pavani R., Ranghino G. Menetelmä molekyylin tilavuuden laskemiseksi // Laske . Chem. - 1982. - Voi. 6 . - s. 133-135 . - doi : 10.1016/0097-8485(82)80006-5 .
↑ Bondi A. Van der Waalsin tilavuudet ja säteet // J. Phys . Chem.. - 1964. - Voi. 68 . - s. 441-451 . - doi : 10.1021/j100785a001 .
↑ Donaldson SE, Siegel SG onnistunut ohjelmistokehitys . - 2. painos .. - Upper Saddle River: Prentice Hall, Inc., 2001. - S. 354. - ISBN 0-13-086826-4 .
↑ Li S. Lyhyet kaavat hyperpallomaisen korkin pinta-alalle ja tilavuudelle // Asian J. Math. stat. - 2011. - Voi. 4 , ei. 1 . - s. 66-70 . - doi : 10.3923/ajms.2011.66.70 .
↑ Chudnov A. M. Minimax-algoritmeista signaalien generoimiseksi ja vastaanottamiseksi // Probl. tiedon siirto - 1986. - T. 22 . - S. 49-54 . (Venäjän kieli)
↑ Chudnov A. M. Signaalien generointi- ja vastaanottamisalgoritmien synteesin peliteoreettiset ongelmat // Probl. tiedon siirto - 1991. - T. 27 . - S. 57-65 . (Venäjän kieli)