Desarguesin involuutiolause

Desarguesin involuutioteoreema (TDI) on projektiiivisen geometrian lause

Projektiivisen involuution määritelmä ja ominaisuudet

Määritelmä

Kuvausta kutsutaan projektiiviseksi involuutioksi, jos ja säilyttää kaksois- (tai kompleksiset) suhteet. $f$ $f\circ f=Id$ $f$

Ominaisuudet

Projektiivinen involuutio voidaan palauttaa yksiselitteisesti kolmesta pisteestä.
If on suoran projektiivinen kuvaus itseensä ja projektiiivinen involuutio. $f$ $f(X)=X',f(X')=X$ $\Pitkä oikea nuoli$ $f$
Jos - projektiivinen involuutio - inversio jossain keskipisteessä + mahdollinen symmetria suhteessa . $f$ $\Pitkä oikea nuoli$ $f$ $K$ $K$
If on kartion projektiivinen involuutio , se on keskeinen projektio. $f$ $\Pitkä oikea nuoli$ $f$

Lausunto Desarguesin involuutiolauseesta

Annettu neljä pistettä yleisasemassa (ei 3 pistettä ole samalla viivalla) ja viiva, joka ei kulje niiden läpi. Leikkaa pisteissä olevat suorat ja pisteissä läpi kulkeva kartio . Sitten linjalla on projektiivinen involuutio $A, B, C, D$ $L$ $L$ $AB,CD,BC,AD,AC,BD$ $X,X',Y,Y',Z,Z'$ $c$ $A, B, C, D$ $W,W'$ $L$ $f:X\leftrightarrow X',Y\leftrightarrow Y',Z\leftrightarrow Z',W\leftrightarrow W'$

Todistus Desarguesin involuutiolauseesta

Tarkastellaan projektiivista muunnosa siten, että (sellainen muunnos on olemassa, koska suoran projektiivinen muunnos määräytyy määrittämällä kolme kuvausta vastaavaa pisteparia. Tätä väitettä kutsutaan usein projektitiivisen geometrian peruslauseeksi). Sitten ominaisuudesta 1 seuraa, että se on projektiivinen involuutio . Todistakaamme se . Projisoimme pisteestä neljä pistettä kartiolle , saamme kaksoissuhteiden yhtäläisyyden , sitten projisoimme nämä pisteet takaapäin suoralle viivalle , saamme . Käytä nyt muunnosa kaksoisrelaatioon , Siis , eli . Saavutetusta yhtäläisyydestä seuraa, että . $f$ $f(W)=W',f(W')=W,f(X)=X'$ $f$ $\Longrightarrow f(X)=X'$ $f(Z')=Z$ $A$ ${\näyttötyyli W,X,Z,W'}$ $c$ $[W,W';X,Z]=[W,W';B,C]$ $D$ $L$ $[W,W';X,Z]=[W,W';B,C]=[W,W';Z',X']$ $f$ $[W,W';Z',X']$ $[W,W';Z',X']=[W',W,f(Z'),X]=[W,W';X,f(Z')]$ $[W,W';X,Z]=[W,W';X,f(Z')]$ $f(Z')=Z$

Väite todistetaan samalla tavalla. Siten lause on todistettu. $f(Y')=Y$

TDI kolmiolle

Harkitse kaikkia kartioita, jotka kulkevat kolmen pisteen läpi yleisasemassa, tangenttia pisteessä ja mielivaltaista suoraa, joka ei kulje näiden pisteiden läpi. Olkoon sen leikkaava pisteissä , vastaavasti, ja kartiomainen pisteissä , silloin on olemassa projektiivinen involuutio $A, B, C$ $t$ $A$ $e$ $e$ $AB,AC,t,BC$ ${\näyttötyyli X,X',Y,Y'}$ $Z,Z'$ $f:X\leftrightarrow X',Y\leftrightarrow Y',Z\leftrightarrow Z'$

TDI, kaksi

Kartio on kaiverrettu nelikulmioon , . Piste valitaan kartion ulkopuolelta eikä suorilta viivoilta . Sitten on olemassa projektiivinen involuutio , joka vaihtaa suoraparien ja tangenttien välillä kartioksi . Tämän lauseen pätevyys seuraa kaksinaisuuden projektiivisestä periaatteesta . $c$ $ABCD$ $AB\cap CD=P,BC\cap AD=Q$ $c$ $AB,BC,CD,DA$ $N$ $f:N\longrightarrow N$ $NA\leftrightarrow NC,NB\leftrightarrow ND,NP\leftrightarrow NQ$ $N$ $c$