Pickin lause (monimutkainen analyysi)

Pickin lause tai Schwarz -Pickin lause on Schwarzin lemman muuttumaton muotoilu ja yleistys .

Sanamuoto

Antaa olla säännöllinen analyyttinen funktio yksikköympyrästä yksikköympyrään $w=f(z)$

Q=\left\{z\in \mathbb {C} :|z|<1\right\};\;f:Q\to Q.

Sitten minkä tahansa pisteen ja ympyrän kohdalla niiden kuvien välinen etäisyys Lobatševskin tason konformisessa euklidisessa mallissa ei ylitä niiden välistä etäisyyttä: $z_{1}$ $z_{2}$ $K$

d(w_{1},\;w_{2})\leq d(z_{1},\;z_{2}),\ \ w_{1}=f(z_{1}),\ w_{2}=f(z_{2})

Lisäksi tasa-arvo saavutetaan vain, kun on olemassa lineaarinen murto-osafunktio , joka kuvaa ympyrän itseensä. $w=f(z)$ $K$

Koska

\mathop {\rm {th}} [{\tfrac {1}{2}}\cdot d(z,\;w)]={\frac {\left|zw\right|}{\left |1-{\overline {z}}\cdot w\right|}},

kunto

d(w_{1},\;w_{2})\leqslant d(z_{1},\;z_{2})

vastaa seuraavaa epätasa-arvoa:

\left|{\frac {f(z_{1})-f(z_{2})}{1-{\overline {f(z_{1)))))f(z_{2}) } }\right|\leqslant {\frac {\left|z_{1}-z_{2}\right|}{\left|1-{\overline {z_{1))}z_{2}\right| } }.

Jos ja ovat äärettömän lähellä, se muuttuu $z_{1}$ $z_{2}$

{\frac {\left|f'(z)\right|}{1-\left|f(z)\right|^{2))}\leqslant {\frac {1}{1-\left|z \right|^{2}}}.

Valitse G. Mathematische Annalen. - 1916. - Bd 77. - S. 1-6.
Goluzin GM Geometrinen teoria kompleksisen muuttujan funktioista . - 2. painos - M., 1966.