Reebin pallolause

Reebin pallolause : Olkoon foliaatio, jossa on singulaaritteita , suljetussa , orientoituvassa yhdistetyssä monistossa , jonka kaikki singulaaripisteet ovat eristettyjä ja ovat keskuksia. Silloin se on homeomorfinen pallon suhteen ja foliaatiossa on täsmälleen kaksi yksittäistä pistettä. $M^{n}$ $M^{n}$ $S^{n}$

Lauseen todisti vuonna 1946 ranskalainen matemaatikko Georges Ribe .

Morse foliation

Foliation F eristettyä singulaaripistettä kutsutaan Morse-tyyppiseksi pisteeksi , jos sen pienessä ympäristössä kaikki kerrokset ovat jonkin Morse-funktion tasoja , ja se on itse tämän funktion kriittinen piste .

Morse-tyyppistä singulaaripistettä kutsutaan keskipisteeksi, jos se on funktion paikallinen ääripiste ; muuten sitä kutsutaan satulaksi .

Merkitään ind p = min( k , n − k ), singulaarisuusindeksiä , missä k on Morse-funktion vastaavan kriittisen pisteen indeksi . Erityisesti keskellä on indeksi 0, satulan indeksi on vähintään 1. $s$

Morse-foliaatio F jakoputkessa M on erityinen poikittaissuuntainen foliaatio , joka on luokan C 2 koodiulottuvuus 1 , ja jossa on eristettyjä singulariteetteja, ja:

kaikki Morse-tyypin singulaarit F ,
jokainen singulaarikuitu L sisältää vain yhden singulaaripisteen p ; Lisäksi jos ind p = 1, se on irti. $L\setminus p$

Olkoon c Morsen foliation F keskipisteiden lukumäärä ja sen satuloiden lukumäärä, niin käy ilmi, että ero c − s liittyy läheisesti moniston topologiaan . $s$ $M$

Reebin pallolause

Tarkastellaan tapausta c > s = 0, eli kaikki singulariteetit ovat keskuksia, satuloja ei ole.

Lause: [1] Oletetaan, että suljetussa orientoituneessa kytketyssä dimensiojoukossa on olemassa -poikittainen suuntautunut koodiulottuvuuden 1 foliaatio, jossa on ei-tyhjä joukko eristettyjä singulaaripisteitä, jotka kaikki ovat keskuksia. Silloin foliaatiossa on täsmälleen kaksi yksikköpistettä, ja monisto $M^{n}$ $n\geq 2$ $C^1$ $F$ $F$ on homeomorfinen pallon suhteen . $M^{n}$ $S^{n}$

Tämä tosiasia on seurausta Reebin vakauslauseesta .

Muunnelmia ja yleistyksiä

Asia on yleisempi $c>s\geq 0.$

Vuonna 1978 E. Wagneur yleisti Reebin pallolauseen Morsen foliaatioiksi satuloiden kanssa. Hän osoitti, että keskusten lukumäärä ei voi olla liian suuri verrattuna satuloiden määrään, nimittäin . On siis tarkalleen kaksi tapausta, joissa : $c\leq s+2$ $c>s$

(yksi)

c=s+2,

(2)

c=s+1.

Wagner kuvasi myös jakoputkia, joissa on foliaatioita, jotka tyydyttävät tapauksen (1).

Lause [2] : Olkoon Morse-foliaatio , jossa on keskipisteet ja satulat kompaktissa yhdistetyssä jakoputkessa. Sitten . Jos , niin $M^{n}$ $F$ $c$ $s$ $c\leq s+2$ $c=s+2$

$M^{n}$ homeomorfinen pallon suhteen $S^{n}$

kaikilla satuloilla on indeksi 1,

jokainen ei-yksikkökuitu on diffeomorfinen pallon kanssa . $S^{{n-1}}$

Lopulta vuonna 2008 Camacho ja Scardua (C. Camacho, B. Scardua) käsittelivät asiaa (2), . Mielenkiintoista on, että tämä tapaus on mahdollista vain joissakin ulottuvuuksissa. $c=s+1$

Lause [3] : Olkoon kompakti yhdistetty monisto ja Morse-foliaatio . Jos , niin $M^{n}$ $F$ $M^{n}$ $s=c+1$

$n = 2,4,8$ tai , $16$

$M^{n}$ on Eales-Kuiper-jakotukki .

Linkit

↑ G. Reeb , Sur les points singuliers d'une forme de Pfaff complétement intégrable ou d'une fonction numérique. — CRAS Paris 222, 1946, s. 847-849. [1] Arkistoitu 9. maaliskuuta 2016 Wayback Machinessa
↑ E. Wagneur , Formes de Pfaff à singularités non dégénérées - Annales de l'institut Fourier, 28, N3, 1978, s. 165-176 [2] Arkistoitu 5. kesäkuuta 2011 Wayback Machinessa
↑ C. Camacho, B. Scardua , foliaatioissa, joissa on morse-singulaarisuus. — Pros. amer. Matematiikka. Soc., 136, 2008, s. 4065-4073 [3]