Rokhlinin tunnuslause

Rokhlinin allekirjoituslause on neliulotteinen topologialause . Todisti Vladimir Abramovitš Rokhlin vuonna 1952.

Sanamuoto

Oletetaan, että sileä, suljettu, yksinkertaisesti kytketty 4 - jakotukki täyttää yhden seuraavista vastaavista ehdoista: $M$

$M$ on spinorirakenne .
$w_{2}(M)=0$ ; eli toinen Stiefel-Whitney-luokka on nolla.
Risteysten muoto on tasainen. $M$

Sitten sen leikkausmuodon allekirjoitus on jaollinen 16:lla.

Muistiinpanot

Jahit Arfin lauseen mukaan millä tahansa parillisella unimodulaarisella hilalla on allekirjoitus, joka on 8:n kerrannainen, joten Rokhlinin lause edellyttää vain yhden lisäkaksin jakamista signatuurista. Tästä syystä lausetta kutsutaan joskus "Rokhlin 2" -lauseeksi.

Pinta K3 on kompakti, neliulotteinen ja , ja sen signatuuri on 16. Etenkin Rokhlinin lauseen jaettavuutta ei voida parantaa. $w_{2}(M)=0$

Monimutkaisella astepinnalla on allekirjoitus , kuten Friedrich Hirzebruchin lauseesta monistojen suvusta nähdään . Saat K3 -pinnan . $\mathbb {CP} ^{3}$ $d$ $(4-d^{2})d/3$ $d = 4$

Michael Friedmanin jakoputkisto E8 on yksinkertaisesti yhdistetty kompakti topologinen monisto , jossa on ja leikkauspiste muodostaa allekirjoituksen 8. Rokhlinin lauseesta seuraa, että tällä jakosarjalla ei ole tasaista rakennetta. Erityisesti Rokhlinin lause epäonnistuu topologisille (ei sileille) monille. $w_{2}(M)=0$ $E_8$

Jos jakoputki on yksinkertaisesti yhdistetty (tai yleisemmin, jos ensimmäisellä homologiaryhmällä ei ole 2-torsiota), se vastaa leikkausmuodon pariteettia. Tämä ei koske ei-yksinkertaisesti kytkettyjä jakotukia: Enriques-pinta on kompakti sileä 4-jakotukki ja sillä on tasainen leikkausmuoto, mutta . $M$ $w_{2}(M)=0$ $w_{2}(M)\neq 0$

Tietoja todisteista

Rokhlinin lause voidaan johtaa siitä tosiasiasta, että pallojen kolmas stabiili homotopiaryhmä on 24-kertainen syklinen; tämä on Rokhlinin alkuperäinen lähestymistapa. ${\displaystyle \pi _{3}^{S))$

Se voidaan johtaa Atiyah-Singerin indeksilauseesta .

Robion Kirby antoi toisen todisteen.

Linkit

Alexander Aleksandrovich Gaifullin , Rokhlinskaya Deuce , oppitunnit (osa 1) + (osa 2) + (osa 3) YouTubessa .