Spielrainin lause

Spielrainin lause on yksi järjestysteorian keskeisistä lauseista , jonka ensimmäisen kerran muotoili ja todisti puolalainen matemaatikko Edward Spielrain vuonna 1930.

Sanamuoto

Mikä tahansa jollekin joukolle annettu osittaisjärjestyssuhde voidaan laajentaa lineaariseksi järjestyssuhteeksi . $\leqslant$ $X$

Todiste

Lauseen todistus perustuu valinnan aksiooman ( Kuratowski-Zornin lemma ) soveltamiseen.

Yleistykset ja vahvistukset

Dushnik-Millerin lause

Ben Dusnik ja B. W. Miller osoittivat, että jokainen osittaisjärjestyssuhde on sen sisältävien lineaaristen järjestysrelaatioiden leikkauspiste.

Ryhmien tapaus

Unkarilainen matemaatikko Laszlo Fuchs tarkasteli Spielrainin lauseen yleistyksiä tapaukseen, jossa osittaisjärjestyssuhteet ja niitä laajentavat lineaariset järjestyssuhteet ovat yhdenmukaisia ryhmien , renkaiden ja muiden algebrallisten järjestelmien kanssa, joilla nämä suhteet on annettu. . Erityisesti Fuchsin lause sanoo, että osittainen ryhmäjärjestys voidaan laajentaa lineaariseen ryhmäjärjestykseen , jos ja vain, jos se täyttää seuraavan ehdon: $\leqslant$ $G$ $G$

jokaiselle elementtijoukolle ( ) voidaan valita merkit ( tai ) siten, että ${\displaystyle a_{1},\;\ldots ,\;a_{n))$ $G$ $a_{i}\neq e$ ${\displaystyle \varepsilon _{1},\;\ldots ,\;\varepsilon _{n))$ $\varepsilon _{i}=1$ $\varepsilon _{i}=-1$

P\cap S(a_{1}^{\varepsilon _{1)),\;\ldots ,\;a_{n}^{\varepsilon _{n)))=\varnothing .

Tässä

S(a_{1},\;\ldots ,\;a_{n})

on elementtien luoma invariantti aliryhmä ,

{\displaystyle a_{1},\;\ldots ,\;a_{n))

{\displaystyle P=\{x\in G\mid 0\leqslant x\))

on positiivinen suhdekartio .

\leqslant

Abelin ryhmän osittaisjärjestys voidaan laajentaa lineaariseen järjestykseen silloin ja vain, jos se on vääntövapaa, eli kaikki sen elementit paitsi neutraali ääretön järjestys .

Dushnik-Millerin lause on tässä tapauksessa yleistetty seuraavasti: ryhmän osittaisjärjestys on lineaaristen järjestysten leikkauspiste, jos ja vain jos tästä seuraa, että jokaiselle elementtijoukolle ( ) on sellaisia sopivia merkkejä ( tai ), jotka $\leqslant$ $G$ $a\notin P$ ${\displaystyle a_{1},\;\ldots ,\;a_{n))$ $G$ $a_{i}\neq e$ ${\displaystyle \varepsilon _{1},\;\ldots ,\;\varepsilon _{n))$ $\varepsilon _{i}=1$ $\varepsilon _{i}=-1$

P\cap S(a,\;a_{1}^{\varepsilon _{1)),\;\ldots ,\;a_{n}^{\varepsilon _{n)))=\varnothing .

Abelin ryhmän osittaisjärjestys on lineaaristen järjestysten leikkauspiste, jos ja vain jos se on eristetty, toisin sanoen jostakin luonnollisesta luvusta seuraa . $\leqslant$ $a^{n}\geqslant e$ $n$ $a\geqslant e$

Vektoriavaruuksien tapaus

Mikä tahansa vektoriavaruudessa annettu osittaisjärjestyssuhde, joka on yhdenmukainen sen rakenteen kanssa, voidaan laajentaa johdonmukaiseksi lineaariseksi järjestyssuhteeksi.

Linkit

Spielrain, E. (1930), Sur l'extension de l'ordre partiel , Fundamenta Mathematicae T. 16: 386-389, ISSN 0016-2736 , < http://matwbn.icm.edu.pl/tresc.php? wyd=1&tom=16 > Arkistoitu 6. helmikuuta 2012 Wayback Machinessa .
Dushnik, Ben & Miller, E.W. (1941), Osittain tilatut sarjat , American Journal of Mathematics, osa 63(3): 600-610, MR : 0004862 , ISSN 0002-9327 , doi : 10.2307 / 47,7 www.jstor.org/stable/2371374 > .
Fuchs L. Osittain järjestetyt algebralliset järjestelmät. - M .: Mir, 1965. - 342 s.

Katso myös

osittain tilattu setti