Gnomon-lause

Gnomon-lause [1] on geometrinen lause . Hän toteaa, että kahdella suunnikkaalla gnomonissa on sama pinta-ala.

Sanamuoto

Suunnikkapiirros on annettu, piste on merkitty diagonaaliin . Suora, yhdensuuntainen ja kulkee pisteen läpi , leikkaa sivun pisteessä ja sivun pisteessä . Suora, yhdensuuntainen ja kulkee pisteen läpi , leikkaa sivun pisteessä ja sivun pisteessä . Gnomon-lause sanoo, että suunnikkaat ja niillä on yhtä suuri pinta-ala [2] . $ABCD$ ${\textstyle AC}$ ${\textstyle P}$ ${\textstyle AB}$ ${\textstyle P}$ ${\textstyle AD}$ ${\textstyle I}$ ${\textstyle B.C.}$ ${\textstyle F}$ ${\textstyle B.C.}$ ${\textstyle P}$ ${\textstyle AB}$ ${\textstyle H}$ ${\textstyle CD}$ ${\textstyle G}$ ${\textstyle HBFP}$ ${\textstyle ipgd}$

Gnomon on L-muotoisen hahmon nimi, tässä esimerkissä hahmo on gnomon . Samanpintaisia rinnakkaissuuntia kutsutaan lauseen mukaan gnomonin "lisäyksiksi" ( englanniksi komplementiksi ). ${\textstyle ADGPFB}$

Todiste

Lauseen todistamiseksi otetaan huomioon suurimman suunnikkaan ( ) pinta-ala ja kaksi sisäistä suunnikkaa, joiden sisällä on lävistäjä (nämä ovat suunnikkaat ja ). Ensinnäkin suunnikkaan ominaisuuden perusteella lävistäjät jakavat suunnikkaan kahdeksi kolmioksi, joiden pinta-ala on yhtä suuri. Toiseksi ero suurimman suunnikkaan alueen ja kahden suunnikkaan välillä, joiden sisällä lävistäjä sijaitsee, on gnomonin kahden komplementin alue (kuvassa gnomonin komplementit on korostettu vihreällä ja punainen) [3] . Tämä tarkoittaa: $ABCD$ $AC$ $AIPH$ $PGCF$

$|IPGD|={\frac {|ABCD|}{2}}-{\frac {|AHPI|}{2}}-{\frac {|PFCG|}{2}}=|HBFP|$

Aiheeseen liittyvät väitteet ja yleistykset

Gnomon-lausetta käytetään uuden samanpintaisen suunnikkaan tai suorakulmion rakentamiseen kompassin ja suoraviivan avulla . Sen avulla voit myös antaa geometrisen tulkinnan jaosta, jonka avulla voit kääntää geometriset ongelmat algebrallisiksi. Joten jos kahden janan pituudet on annettu, on mahdollista rakentaa kolmas, joka on yhtä suuri kuin annettujen segmenttien osamäärä. Toinen tapa soveltaa lausetta on jakaa jana pisteellä täsmälleen samassa suhteessa kuin annettu jana jaetaan (katso piirustus) [2] .

Samanlainen lausunto voidaan tehdä avaruudessa. Tässä tapauksessa suuntaissärmiön avaruudellisella lävistäjällä on piste, ja kahden yhdensuuntaisen suoran sijaan ilmestyy kolme tasoa. Kolme tasoa jakaa laatikon kahdeksaan pienempään laatikkoon, kaksi tasoa on diagonaalin vieressä. Kolme suuntaissärmiötä toimii tässä lisäyksenä, niillä on sama tilavuus [4] .

Historia

Gnomon-lause on kuvattu Eukleideen (noin 300 eKr.) " Periaatteissa " ja sen avulla kirjassa todistetaan muita lauseita. Lause on kuvattu ensimmäisessä Alkukirjassa numerossa 43, eikä Eukleides käyttänyt termiä "gnomon" kuvaamaan piirustusta, vaan se esitellään toisessa Alkukirjassa. Eukleides todistaa gnomonin avulla muita lauseita, esimerkiksi II kirjan nro 6, kirjan VI nro 29 ja kirjan XIII lauseet 1, 2, 3 ja 4 [3] [5] [6] .

Kirjallisuus

Lorenz Halbeisen, Norbert Hungerbühler, Juan Läuchli. Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten: Perlen der klassischen Geometrie . - Springer-Verlag, 2016-09-02. — 219 s. — ISBN 9783662530344 .
GEORGE W. EVANS. JOITAKIN EUCLIDIN ALGEBRISTA // Matematiikan opettaja. - 1927. - T. 20 , no. 3 . — S. 127–141 . — ISSN 0025-5769 .
William J. Hazard. Pythagoraan lauseen ja Eukleideen Gnomonin lauseen yleistykset // The American Mathematical Monthly. - 1929. - T. 36 , no. 1 . - S. 32-34 . — ISSN 0002-9890 . - doi : 10.2307/2300175 .
Vittorio Capecchi, Massimo Buscema, Pierluigi Contucci, Bruno D'Amore. Matematiikan sovellukset malleissa, keinotekoisissa hermoverkoissa ja taiteissa: matematiikka ja yhteiskunta . — Springer Science & Business Media, 2010-08-03. — 616 s. — ISBN 9789048185818 .

Linkit

David E. Joyce Gnomon- lause mathcs.clarku.edu
David E. Joyce Euklidesin elementtien gnomonin määritelmä mathcs.clarku.edu

Muistiinpanot

↑ Zeiten I. G. Matematiikan historia antiikin ja keskiajan aikana . — Directmedia, 22.12.2014. — 228 s. — ISBN 9785445815303 .
↑ 1 2 Lorenz Halbeisen, Norbert Hungerbühler, Juan Läuchli. Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten: Perlen der klassischen Geometrie . - Springer-Verlag, 2016-09-02. — 219 s. — ISBN 9783662530344 .
↑ 1 2 Roger Herz-Fischler. Kultaisen luvun matemaattinen historia . — Courier Corporation, 31.12.2013. — 228 s. — ISBN 9780486152325 .
↑ William J. Hazard. Pythagoraan lauseen ja Eukleideen Gnomonin lauseen yleistykset // The American Mathematical Monthly. - 1929. - T. 36 , no. 1 . - S. 32-34 . — ISSN 0002-9890 . - doi : 10.2307/2300175 . Arkistoitu alkuperäisestä 28. marraskuuta 2018.
↑ Vittorio Capecchi, Massimo Buscema, Pierluigi Contucci, Bruno D'Amore. Matematiikan sovellukset malleissa, keinotekoisissa hermoverkoissa ja taiteissa: matematiikka ja yhteiskunta . — Springer Science & Business Media, 2010-08-03. — 616 s. — ISBN 9789048185818 .
↑ GEORGE W. EVANS. JOITAKIN EUCLIDIN ALGEBRISTA // Matematiikan opettaja. - 1927. - T. 20 , no. 3 . — S. 127–141 . — ISSN 0025-5769 . Arkistoitu alkuperäisestä 26. tammikuuta 2019.