Lause neliön leikkaamisesta samankokoisiksi kolmioksi

Lause neliön leikkaamisesta samanpinta-alaisiksi kolmioiksi sanoo, että neliötä ei voida leikata parittomaan määrään samanpintaisia kolmioita [1] .

Lause on kuuluisa odottamattomasta todistuksestaan käyttämällä 2-adic-normia .

Historia

Ongelman esitti Fred Richman American Mathematical Monthly -julkaisussa vuonna 1965 ja Paul Monsky ratkaisi sen vuonna 1970 [2] .

Käyttämällä 2-adic-lukuja yksikköneliön pisteiden tietty kolmivärinen väritys muodostetaan.

Värityksen tärkeimmät ominaisuudet ovat seuraavat:

Minkä tahansa kolmion, jossa on erivärisiä kärkipisteitä, pinta-alaa ei voida ilmaista murto-osana parittomalla osoittajalla ja nimittäjällä.
- Erityisesti, jos neliö olisi jaettu parittomaksi määräksi samankokoisia kolmioita, yhdessäkään kolmiosta ei olisi kaikkien kolmen värin kärkipisteitä.
Mikä tahansa suora viiva maalataan täsmälleen kahdella värillä.

Tämä ja jotkut muut tämän värityksen ominaisuudet johtavat ristiriitaan Spernerin lemman kanssa .

$N$ -Ulottuva kuutio voidaan jakaa saman tilavuuden yksinkertaisiksi vain, jos yksinkertaisten lukumäärä on [3] [4] :n kerrannainen . $N!$
Lauseen todistus viittaa myös nelikulmioiden olemassaoloon, joita ei voida leikata samanpinta-alaisiksi kolmioksi.
Kokonaisluvulle säännöllinen kulmio voidaan leikata kolmioiksi, joiden pinta-ala on yhtä suuri, jos ja vain, jos se on jaollinen [5] :llä . $n\geqslant 5$ $n$ $m$ $m$ $n$
Yhtään zonogonia ei voida leikata parittomaan määrään samanpintaisia kolmioita . Tämän tosiasian todisti sama Paul Monsky päälauseen [6] [7] jälkeen .

↑ Martin Aigner, Günter M. Ziegler. Yksi neliö ja pariton määrä kolmioita // Todistuksia kirjasta . – 4. - Berliini, 2010. - S. 131-138 . - ISBN 978-3-642-00856-6 . - doi : 10.1007/978-3-642-00856-6_20 .
↑ P. Monsky. Neliön jakamisesta kolmioksi // The American Mathematical Monthly : Journal. - 1970. - Voi. 77 , nro. 2 . - s. 161-164 . - doi : 10.2307/2317329 . MR : 0252233_ _
↑ Mead, David G. (syyskuu 1979), Hyperkuution dissection in simplexes , Proceedings of the American Mathematical Society , osa 76: 302–304 , DOI 10.1090/S0002-9939-1979-0537093
↑ Sperner's Lemma Arkistoitu 19. huhtikuuta 2016 Wayback Machinessa , Moor Xu
↑ EA Kasimatis, Säännöllisten monikulmioiden dissektiot tasa-alan kolmioksi, Discrete & Computational Geometry, elokuu 1989, osa 4, numero 4, s. 375-381
↑ Monsky, Paul (1990), Steinin olettamus tasodissektioista , Mathematische Zeitschrift T. 205 (4): 583–592 , DOI 10.1007/BF02571264
↑ Stein, Sherman & Szabó, Sandor (1994), Algebra and Tiling: Homomorphisms in the Service of Geometry , voi. 25, Carus Mathematical Monographs, Cambridge University Press, s. 130 , ISBN 9780883850282

B. Becker, S. Vostokov, Yu. Ionin. 2-adic-luvut // Kvant . - 1979. - T. 2 . - S. 26-31 .