P-adic-numero

p -adic luku [1] on lukuteoreettinen käsite, joka on määritelty tietylle kiinteälle alkuluvulle p rationaalisten lukujen kentän laajennuksen elementiksi. Tämä laajennus on rationaalilukujen kentän täydennys suhteessa p - adic - normiin , joka on määritelty kokonaislukujen p :llä jaettavissa olevien ominaisuuksien perusteella.

p -adic-luvut esitteli Kurt Hansel vuonna 1897 [2] .

P -adic- lukukenttä on yleensä merkitty tai . $\mathbb Q_p$ ${\mathbf Q}_{p}$

Algebrallinen rakenne

Kokonaisluku p -adic-luvut

Normaali määritelmä

Kokonaisluku p - adic luku tietylle alkuluvulle p on [3] ääretön jäännösten sarja modulo , joka täyttää ehdon: $x=\{x_{1},x_{2},\ldots \}$ $x_{n}$ $p^{{n}}$

x_{n}\equiv x_{{n+1}}{\pmod {p^{n}}}.

Kokonaislukujen p -adic-lukujen yhteen- ja kertolasku määritellään tällaisten sekvenssien termittäiseksi yhteen- ja kertolaskuksi. Heille kaikki renkaan aksioomit voidaan todentaa suoraan . Kokonaisluvun p -adic-lukujen rengas on yleensä merkitty . $\mathbb {Z} _{p}$

Määritelmä projektiivisen rajan suhteen

Projektiivisten rajojen suhteen rajaksi määritellään kokonaisluku-adic-lukujen rengas $s$

\lim _{\leftarrow }\mathbb {Z} /{p^{n}}\mathbb {Z}

jäännösrenkaat modulo luonnolliset projektiot . $\mathbb {Z} /{p^{n}}\mathbb {Z}$ $p^{n}$ $\mathbb {Z} /{p^{n+1}}\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /{p^{n}}\mathbb {Z}$

Nämä huomiot voidaan tehdä, kun kyseessä on paitsi alkuluku , myös mikä tahansa yhdistelmäluku - saat ns. adic- lukujen rengas, mutta tässä renkaassa on nollajakaja , joten alla käsitellyt lisärakenteet eivät sovellu siihen. $s$ $m$ $m$ $\mathbb {Z} _{p}$

Ominaisuudet

Tavalliset kokonaisluvut uppoavat ilmeisellä tavalla: ja ovat aliluku. $\mathbb {Z} _{p}$ $x=\{x,x,\ldots\}$

Ottamalla luvun jäännösluokan elementiksi (siis, ), voimme kirjoittaa jokaisen kokonaisluvun p -adic-luvun muotoon ainutlaatuisella tavalla. Tällaista esitystä kutsutaan kanoniseksi . Kirjoittamalla kukin p -ary - lukujärjestelmään ja, koska , on mahdollista esittää mikä tahansa p -adic-luku kanonisessa muodossa tai kirjoittaa äärettömänä numerosarjana p -ary-lukujärjestelmään . Tällaisten sekvenssien operaatiot suoritetaan p -ary-lukujärjestelmän tavallisten yhteen-, vähennys- ja "sarakkeella" kertomisen sääntöjen mukaisesti. $a_{n}=x_{n}\,{\bmod \,}{p^{n}}$ $0\leq a_{n}<p^{n}$ $x=\{a_{1},a_{2},\ldots \}$ $a_n$ $a_{n}=b_{n}\ldots b_{2}b_{1}$ $a_{n}\equiv a_{{n+1}}{\pmod {p^{n}}}$ $x=\{b_{1},b_{2}b_{1},b_{3}b_{2}b_{1},\ldots \}$ $x=\{\ldots b_{n}\ldots b_{2}b_{1}\}$

Tässä merkinnässä luonnolliset luvut ja nolla vastaavat p -adic-lukuja, joissa on äärellinen määrä nollasta poikkeavia numeroita, jotka ovat yhtäpitäviä alkuperäisen luvun numeroiden kanssa. Negatiiviset luvut vastaavat p -adic-lukuja, joissa on ääretön määrä nollasta poikkeavia numeroita, esimerkiksi kvartaaris- sa -1=…4444=(4).

p -adic numerot

Määritelmä yksityisinä kentänä

P -adic-luku on kokonaislukujen p -adic-lukujen renkaan osamääräkentän elementti. Tätä kenttää kutsutaan p -adic-lukujen kenttään. ${\mathbb {Q}}_{p}$ $\mathbb {Z} _{p}$

Ominaisuudet

P -adic-lukujen kenttä sisältää rationaalilukujen kentän .

On helppo todistaa, että mikä tahansa p -adic kokonaisluku, joka ei ole p:n monikerta , on käännettävä renkaassa , ja p :n kerrannainen kirjoitetaan yksiselitteisesti muodossa , jossa x ei ole p :n kerrannainen ja siksi on käännettävä, mutta . Siksi mikä tahansa kentän nollasta poikkeava elementti voidaan kirjoittaa muodossa , jossa x ei ole p :n kerrannainen , vaan mikä tahansa n ; jos n on negatiivinen, niin kokonaislukujen p -adic-lukujen esittämisen perusteella p -aarilukujärjestelmän numerosarjana voimme kirjoittaa sellaisen p -adic-luvun sekvenssiksi , eli edustaa sitä muodollisesti p - luku, jossa on äärellinen desimaalipilkun jälkeen olevien numeroiden määrä ja mahdollisesti ääretön määrä nollasta poikkeavia numeroita ennen desimaalipistettä. Tällaisten lukujen jakaminen voidaan tehdä myös samalla tavalla kuin "koulu" -säännössä, mutta aloittaen numeron alemmista numeroista. $\mathbb {Z} _{p}$ $xp^{n}$ $n>0$ ${\mathbb {Q}}_{p}$ $xp^{n}$ $x=\{\lpisteitä b_{k}\lpisteitä b_{2}b_{1},b_{0}b_{{-1}}\lpisteitä b_{{n+1}}\}$

Metrinen rakenne

Mikä tahansa rationaalinen luku voidaan esittää missä ja ovat kokonaislukuja, jotka eivät ole jaollisia luvulla , mutta ovat kokonaislukuja. Sitten -adic- normi määritellään muodossa . Jos , niin . $r$ $r=p^{n}{\frac ab}$ $a$ $b$ $s$ $n$ $|r|_{p}$ $s$ $r$ $p^{{-n}}$ $r = 0$ $|r|_{p}=0$

-adic-lukujen kenttä on rationaalilukujen kentän täydennys -adic-normin määrittelemällä metriikalla: . Tämä konstruktio on samanlainen kuin reaalilukukentän rakentaminen rationaalisten lukujen kentän täydennyksenä normin avulla, joka on tavallinen itseisarvo . $s$ $d_{p}$ $s$ $d_{p}(x,y)=|xy|_{p}$

Normi ulottuu jatkuvuuden mukaan normiin . $|r|_{p}$ ${\mathbb {Q}}_{p}$

Ominaisuudet

Jokainen p - adic- lukukentän elementti x voidaan esittää konvergenttina sarjana

x=\sum _{{i=n_{0}}}^{\infty }a_{i}p^{i}

jossa on jokin kokonaisluku ja ovat ei-negatiivisia kokonaislukuja, jotka eivät ylitä . Nimittäin numerojärjestelmän tietueen x numerot, joiden kantaluku on p , toimivat kuten tässä . Tällainen summa konvergoi aina metriikassa itseensä .

n_{0}

a_{i}

p-1

a_{i}

d_{p}

x

p -adic-normi tyydyttää vahvan kolmio-epäyhtälön $|x|_{p}$

|xz|_{p}\leq \max\{|xy|_{p},|yz|_{p}\}.

Luvut , joilla on ehto, muodostavat kokonaislukujen p -adic-lukujen renkaan, joka on normin kokonaislukujen renkaan loppu . $x\in {\mathbb Q}_{p}$ $|x|_{p}\leq 1$ $\mathbb {Z} _{p}$ $\mathbb {Z} \subset \mathbb {Q}$ $|x|_{p}$
Ehdolla varustetut luvut muodostavat kertovan ryhmän ja niitä kutsutaan p - adic -yksiköiksi. $x\in \mathbb {Q} _{p}$ $|x|_{p}=1$
Ehdolla varustettu lukujoukko on pääideaali generoivan elementin p kanssa . $x\in \mathbb {Q} _{p}$ $|x|_{p}<1$ $\mathbb {Z} _{p}$

Metrinen avaruus on homeomorfinen Cantor-sarjalle ja välilyönti on homeomorfinen Cantor-leikkausjoukolle. $(\mathbb {Z} _{p},d_{p})$ $(\mathbb {Q} _{p},d_{p})$
Eri p : ille normit ovat riippumattomia, eivätkä kentät ole isomorfisia. $|x|_{p}$ ${\mathbb {Q}}_{p}$
Kaikille elementeille , , , , , …, kuten ja , voidaan löytää sellainen rationaalilukujen sarja , että ja mille tahansa p :lle . $r_{\infty }$ $r_{2}$ $r_3$ $r_{5}$ $r_{7}$ $r_{\infty }\in \mathbb {R}$ ${\displaystyle r_{p}\in \mathbb {Q} _{p))$ $x_{n}$ $|x_{i}-r_{p}|_{p}\arvoon 0$ $|x_{i}-r_{\infty }|\arvoon 0$

Sovellukset

Jos on polynomi, jossa on kokonaislukukertoimia, niin kaikkien vertailujen ratkaistavuus $F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ $k$

F(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})\equiv 0{\pmod {p^{k))}

on sama kuin yhtälön ratkaistavuus

F(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})=0

kokonaislukuina -adic-luvuissa. Välttämätön ehto tämän yhtälön ratkaistavuudelle kokonaislukuina tai rationaalilukuina on sen ratkaistavuus renkaissa tai vastaavasti -adic-lukukentissä kaikille sekä reaalilukujen alalla. Joillekin polynomiluokille (esimerkiksi toisen asteen muodoille) tämä ehto on myös riittävä.

s

s

s

Käytännössä yhtälön ratkaistavuuden tarkistamiseksi kokonaisluku -adic-luvuilla riittää, että tarkistetaan esitetyn vertailun ratkaistavuus tietylle äärelliselle määrälle arvoja . Esimerkiksi Hanselin lemman mukaan, jos kaikkien luonnollisten lukujen vertailun ratkeavuuden riittävä ehto on yksinkertaisen ratkaisun olemassaolo vertailumoduulille (eli vastaavan yhtälön yksinkertainen juuri jäännösten kentässä modulo ) . Toisin sanoen, jotta voidaan tarkistaa, onko yhtälöllä juuret kokonaisluku -adic-luvuissa, riittää yleensä vastaavan vertailun ratkaiseminen arvolle .

s

k

n = 1

k

s

s

n = 1

s

k = 1

$s$ -adic-lukuja käytetään laajalti teoreettisessa fysiikassa [4] . Tunnettuja ovat -adic -yleisfunktiot [5] , differentiaatiooperaattorin p-adic-analogi (Vladimirov-operaattori) [6] , p-adic-kvanttimekaniikka [7] [8] , p-adic-spektriteoria [9] , p-adic-merkkijono teoria [10] [11] $s$

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Äännettynä: pa-adic ; vastaavasti: kaksi-adic , tri-adic jne.
↑ Kurt Hensel. Über eine neue Begründung der Theorie der algebraischen Zahlen // Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung . - 1897. - V. 6 , nro 3 . - S. 83-88 . (Saksan kieli)
↑ Borevich Z. I., Shafarevich I. R. Numeroteoria, 1985 , s. 25-28..
↑ Vladimiriv VS , Volovich IV, Zelenov EI P-adic analyysi ja matemaattinen fysiikka // Singapure: World Sci., 1993
↑ Vladimirov V. S. "Yleiset funktiot p-adic-lukujen kentässä" // Uspekhi Mat . Nauk , 1988, osa 43 (5), s. 17-53
↑ Vladimirov V.S. Schrödinger-tyyppisten p-adisten pseudodifferentiaalioperaattoreiden spektriominaisuuksista // Izv. RAS, Ser. mat., 1992, v. 56, s. 770-789
↑ Vladimiriv VS , Volovich IV P-adic kvanttimekaniikka // Commun. Matematiikka. Phys., 1989, voi. 123, s. 659-676
↑ Vladimiriv VS , Volovich IV P-adic Schrodinger-tyyppinen yhtälö // Lett. Matematiikka. Phys., 1989, voi. 18, s. 43-53
↑ Vladimirov V.S. , Volovich I.V., Zelenov E.I. Spektriteoria p-adisessa kvanttimekaniikassa ja esitysteoriassa // Izv. Neuvostoliiton tiedeakatemia, osa 54 (2), s. 275-302, (1990)
↑ Volovich IV P-adic merkkijono // Luokka. määrä. Grav., 1987, voi. 4, P.L83-L84
↑ Frampton PH Retrospective on p-adic string theory // Proceedings of the Steklov Mathematical Institute. Kokoelma, nro 203 - M .: Nauka, 1994. - isbn 5-02-007023-8 - S. 287-291.

Kirjallisuus

Borevich Z.I., Shafarevich I.R. Numeroteoria . - M .: Nauka, 1985.
Koblitz N. p-adic-luvut, p-adic-analyysi ja zeta-funktiot, - M .: Mir, 1982.
Serre J.-P. Aritmeettinen kurssi, - M . : Mir, 1972.
Bekker B., Vostokov S., Ionin Yu. 2-adic-luvut // Kvant . - 1979. - Nro 2 . - S. 26-31 .
Konrad K. Johdatus p-adic-lukuihin Summer School "Modern Mathematics", 2014 Dubna

Numeeriset järjestelmät
Laskettavat sarjat	Luonnolliset luvut ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ Kokonaisluvut ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Järkevä ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ Algebrallinen ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Jaksot Laskettavissa Aritmeettinen
Reaaliluvut ja niiden laajennukset	Todellinen ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Monimutkainen ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Quaternions ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Cayleyn numerot (oktaavit, oktoniot) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenions ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Vaihtoehdot Kaksinkertainen Hyperkompleksi Superrealistinen Hypermateriaali surrealistinen
Numeeriset laajennustyökalut	Cayley-Dixonin menettely Frobenius-lause Hurwitzin lause
Muut numerojärjestelmät	kardinaaliluvut Järjestysluvut (transfinite, ordinaals) p-adic Yliluonnollisia lukuja intervallinumerot
Katso myös	kaksoisnumerot Irrationaalisia lukuja transsendenttiset numerot numerosäde Biquaternion