Pallolause (differentiaaligeometria)

Pallolause on yleinen nimi lauseille, jotka antavat riittävät ehdot Riemannin metriikassa takaamaan, että monisto on homeomorfinen tai diffeomorfinen standardipallon kanssa .

Formulaatiot

Olkoon suljettu , yksinkertaisesti yhdistetty , n - ulotteinen Riemannin monisto jossa on jokin kaarevuusehto (katso huomautukset), silloin se on homeomorfinen / diffeomorfinen n - ulotteiselle pallolle . $M$ $M$

Muistiinpanot

Formulaatioita, joissa on homeomorfismi ja diffeomorfismi , kutsutaan vastaavasti topologisen pallon teoreemaksi ja tasaisen pallon lauseeksi .

Tunnetuin kaarevuusehto on ns. kaarevuuden neljännespintaus, mikä tarkoittaa, että kunkin pisteen poikkileikkauksen kaarevuus on . ${\näyttötyyli (1,4]}$
- Neljännespintausehto on optimaalinen, lause lakkaa olemasta totta, jos leikkauskaarevuus voi ottaa arvoja suljetulla aikavälillä . Vakiovastaesimerkki on monimutkainen projektiotila, jolla on kanoninen metriikka; metriikan kaarevuus saa arvot välillä 1 ja 4, mukaan lukien päätepisteet. Muita vastaesimerkkejä löytyy ykköstason symmetrisistä avaruuksista . ${\näyttötyyli [1,4]}$
- Yleisempi ehto on pistesuuntainen neljänneskiinnitys. Tämä tarkoittaa, että poikkileikkauksen kaarevuus on positiivinen ja jokaisessa kiinteässä pisteessä poikkileikkauksen kaarevuuden maksimi-minimisuhde kaikissa leikkaussuunnissa ei ylitä 4:ää.

Toinen hyvin tunnettu kaarevuuden ehto on kaarevuusoperaattorin positiivisuus .
- Yleisempi ehto on kaarevuusoperaattorin ns. 2-positiivisuus, eli kaarevuusoperaattorin kahden pienimmän ominaisarvon summan positiivisuus.

Historia

Topologinen lause

Rauch osoitti ensimmäisen pallolauseen vuonna 1951. Hän osoitti, että yksinkertaisesti yhdistetyt jakoputket, joiden poikkileikkauskaarevuus on [3/4,1], ovat homeomorfisia pallon suhteen.

Vuonna 1960 Marcel Berger ja Wilhelm Klingenberg osoittivat pallolauseen topologisen version neljännessnapsaukseksi.

Vuonna 1988 Micalef ja Moore osoittivat topologisen version suljetuille jakoputkille, joilla on positiivinen kompleksoitunut kaarevuus isotrooppisiin suuntiin.
- Erityisesti tämä tarkoittaa topologisen pallon lausetta positiiviselle kaarevuusoperaattorille.
  - Bochnerin kaavasta seuraa helposti, että suljetut jakoputket, joissa on positiivinen kaarevuusoperaattori, ovat rationaalisia homologiapalloja .
- Heidän todistuksessaan käytetään Singin lemman kaksiulotteista analogia .

Tasainen lause

Klassiset menetelmät tekivät mahdolliseksi todistaa sileän pallon lauseen vain erittäin jäykälle puristamiselle, optimaaliset puristukset saavutettiin Ricci-virtauksella

Vuonna 1982 Richard Hamilton todisti sileän pallon lauseen 3-ulotteisessa tapauksessa positiivisella Ricci-kaarevalla .
- Tämä oli Ricci-virran ensimmäinen sovellus, muut sileän lauseen todistukset noudattavat samaa kaavaa, mutta vaativat vakavia teknisiä parannuksia.

Vuonna 1985 Gerhard Huysken käytti Ricci-virtausta todistaakseen tasaisen pallon lauseen kaikissa ulottuvuuksissa.
- Hänen ehdottamansa prepositiivinen kaarevuusehto oli tietyssä mielessä optimaalinen. Erityisesti ympyrän ja pallon tulon kaarevuustensori on kaarevuusehdon rajalla. ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{n-1))$

Vuonna 2008 Burchard Wilking ja Christoph Böhm osoittivat sileän pallon lauseen kaarevuusoperaattorin kaksipositiivisuudelle. Erityisesti sileän pallon lause on totta sillä ehdolla, että kaarevuusoperaattori on positiivinen.

Vuonna 2009 Simon Brende ja Richard Schoen osoittivat sileän pallon lauseen neljännesjaolla. Heidän todistuksessaan hyödynnettiin merkittävästi Wilkingin ja Boehmin ideoita.

Kirjallisuus

Rauch, H.E., Avustus differentiaaligeometriaan suuressa, Ann. matematiikasta. 54 (1951), 38-55
Klingenberg, W., Contributions to riemannian Geometry in the large, Ann. matematiikasta. 69 (1959), 654-666.
Berger, M., Les variétes Riemannienes (1/4)-pincées, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, Ser. III, 14 (1960), 161-170.
Micallef, M., Moore, JD, Minimaaliset kaksipallot ja positiivisen kaarevuuden omaavien monistojen topologia täysin isotrooppisilla kaksitasoilla. Ann. matematiikasta. (2) 127 (1988), 199-227.
Huisken, G., Ricci muodonmuutos metriikassa Riemannilainen monisto. J. Differentiaaligeom. 21 (1985), 47-62.
B. Wilking, C. Böhm: Positiivisilla kaarevuusoperaattoreilla varustetut jakoputket ovat avaruusmuotoja. Ann. matematiikasta. (2) 167 (2008), nro. 3, 1079-1097.
Simon Brandle ja Richard Schoen. Jakoputket, joissa on 1/4-puristettu kaarevuus, ovat avaruusmuotoja // Journal of the American Mathematical Society : päiväkirja. - 2009. - Vol. 22 , ei. 1 . - s. 287-307 . - doi : 10.1090/s0894-0347-08-00613-9 .