Pokhozhaevin henkilöllisyys

Pokhozhaevin identiteetti on integraalinen relaatio, joka tyydytetään epälineaarisen Schrödinger-yhtälön tai epälineaarisen Klein-Gordon-yhtälön paikallaan olevilla ratkaisuilla . Sen vastaanotti S.I. Pokhozhaev [1] ja samoin kuin viriaalilause . Tämä suhde tunnetaan myös nimellä DG . Derrick . Samanlaiset identiteetit voidaan saada muille matemaattisen fysiikan yhtälöille.

Pokhozhaevin identiteetti stationääriselle epälineaariselle Schrödingerin yhtälölle

Esittelemme A. Berestitskyn [ ja P.-L. Lyon [2] .

Asetetaan jatkuvana reaalifunktiona, jossa . Määritellään . Päästää $g(s)$ $g(0)=0$ $G(s)=\int _{0}^{s}g(t)\,dt$

u\in L_{\mathrm {loc} }^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}),\qquad \nabla u\in L^{2}(\mathbb {R} ^ {n}),\qquad G(u)\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n}),\qquad n\in \mathbb {N} ,

tulee olemaan yhtälön ratkaisu

-\nabla ^{2}u=g(u)

jakaumien suhteen . Sitten se tyydyttää suhteen $u$

{\frac {n-2}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u(x)|^{2}\,dx=n\int _{ \mathbb {R} ^{n}}G(u(x))\,dx.

Pokhozhaevin identiteetti stationääriselle epälineaariselle Dirac-yhtälölle

Kiinteälle epälineaariselle Dirac-yhtälölle on viriaalinen identiteetti kolmessa avaruudellisessa ulottuvuudessa (sekä Maxwell-Dirac-yhtälössä [3] ) ja mielivaltaisessa avaruudellisessa ulottuvuudessa [4] . Olkoon ja anna ja olla itseliittyviä Dirac-matriiseja , joiden koko on : $n\in \mathbb {N} ,\,N\in \mathbb {N}$ $\alpha ^{i},\,1\leq i\leq n$ $\beeta$ $N\times N$

\alpha ^{i}\alpha ^{j}+\alpha ^{j}\alpha ^{i}=2\delta _{ij}I_{N},\quad \beta ^{2}= I_{N},\quad \alpha ^{i}\beta +\beta \alpha ^{i}=0,\quad 1\leq i,j\leq n.

Antaa olla massaton Dirac-operaattori . Asetetaan jatkuvana reaalifunktiona, jossa . Määritellään . Olkoon spinoriratkaisu , joka täyttää epälineaarisen Dirac-yhtälön stationaarisen muodon, ${\displaystyle D_{0}=-\mathrm {i} \alpha \cdot \nabla =-\mathrm {i} \sum _{i=1}^{n}\alpha ^{i}{\frac {\ osittainen }{\osittainen x^{i))))$ $g(s)$ $g(0)=0$ $G(s)=\int _{0}^{s}g(t)\,dt$ $\phi \in L_{\mathrm {loc} }^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} ^{N})$

\omega \phi =D_{0}\phi +g(\phi ^{\ast }\beta \phi )\beta \phi ,

jakaumien suhteen , joidenkin kanssa . Teeskennetäänpä sitä $\omega \in \mathbb {R}$

\phi \in H^{1}(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} ^{N}),\qquad G(\phi ^{\ast }\beta \phi ) \in L^{1}(\mathbb {R} ^{n}).

Sitten tyydyttää $\phi$

\omega \int _{\mathbb {R} ^{n}}\phi (x)^{\ast }\phi (x)\,dx={\frac {n-1}{n}} \int _{\mathbb {R} ^{n}}\phi (x)^{\ast }D_{0}\phi (x)\,dx+\int _{\mathbb {R} ^{n}} G(\phi (x)^{\ast }\beta \phi (x))\,dx.

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Pokhozhaev, S.I. Yhtälön ominaisfunktioista $\Delta u+\lambda f(u)=0$ // Dokl. Acad. Neuvostoliiton tieteet. - 1965. - T. 165 . - S. 36-39 .
↑ Berestitsky, A. ja Lyons, P.-L. (1983). "Epälineaariset skalaarikenttäyhtälöt, I. Perustilan olemassaolo." Kaari. Rational Mech. Anaali. [ englanti ] ]. 82 (4): 313-345. DOI : 10.1007/BF00250555 .
↑ Esteban M., Sere E. Epälineaarisen Dirac-yhtälön stationaariset tilat: Vaihteleva lähestymistapa // Communications in Mathematical Physics. - 1995-08. — Voi. 171 , iss. 2 . — s. 323–350 . — ISSN 1432-0916 0010-3616, 1432-0916 . - doi : 10.1007/BF02099273 .
↑ Bussaid, N. ja Komich, A. Epälineaarinen Dirac-yhtälö. Yksinäisten aaltojen spektraalinen stabiilisuus: [ eng. ] . - American Mathematical Society, 2019. - Vol. 244. - ISBN 978-1-4704-4395-5 . - doi : 10.1090/surv/244 .