Ratkaisut Einsteinin yhtälöihin

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 3. joulukuuta 2021 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Einstein-yhtälön ratkaiseminen tarkoittaa metrisen aika-avaruustensorin muodon löytämistä . Tehtävä asetetaan asettamalla rajaehdot , koordinaattiehdot ja kirjoittamalla energia-momenttitensori , joka voi kuvata sekä pistemäistä kappaletta, jakautunutta ainetta tai energiaa että koko maailmankaikkeutta kokonaisuutena. Energia-momenttitensorin muodosta riippuen Einsteinin yhtälön ratkaisut voidaan jakaa tyhjiö-, kenttä-, haja-, kosmologisiin ja aaltoratkaisuihin. Ratkaisuille on olemassa myös puhtaasti matemaattisia luokituksia, jotka perustuvat niiden kuvaaman aika-avaruuden topologisiin tai algebrallisiin ominaisuuksiin tai esimerkiksi tietyn avaruuden Weyl-tensorin algebralliseen symmetriaan ( Petrovin luokittelu ). $g_{\mu \nu }$ $T_{\mu \nu }$

Luokitus tilan täytön mukaan

Tämä luokittelu perustuu energia-momenttitensorin muotoon ja tästä voidaan erottaa useita ratkaisutyyppejä: $T_{{\alpha \beta }}$

Tyhjiöliuokset - tällaisia liuoksia saadaan, jos:

T_{\alpha \beta }=0.

Siten Einsteinin yhtälöt pelkistyvät seuraavasti:

G_{\alpha \beta }+\Lambda g_{\alpha \beta }=0

tai

R_{\alpha \beta }=\Lambda g_{\alpha \beta }.

Matematiikassa tällaisia ratkaisuja kutsutaan Einstein-avaruuksiksi, ja monet teokset on omistettu niiden tutkimukselle Riemannin ja pseudo-Riemannin geometrian puitteissa.

Yksinkertaisin näistä ratkaisuista on Minkowskin aika-avaruus, joka kuvaa täysin tyhjää tilaa kosmologisen vakion puuttuessa. Nämä ratkaisut voivat myös kuvata aika-avaruutta massiivisen kompaktin kohteen ympärillä (sen pintaan tai singulariteetteihin asti). Näitä ovat mm. Schwarzschildin , Schwarzschild-Desitterin [1] , Kerrin , Reissner-Nordströmin, Kerr-Newmanin, Newman-Unti-Tamburinon (NUT), Taub-NUT:n, Kottlerin, Eretz-Rosenin, Cuvedon ja muiden mittarit. $\lambda=0$

Fysikaalisesti tärkeä luokka tällaisia ratkaisuja ovat myös aaltoratkaisut, jotka kuvaavat gravitaatioaaltojen etenemistä tyhjän tilan läpi.

Kenttäratkaisut - joskus eri kenttiä pidetään gravitaatiokentän lähteinä. Massottoman kentän tapauksessa otetaan usein:

sähkömagneettinen kenttä (sähkötyhjiöratkaisut, jotka syntyvät, kuten sanotaan, Einstein-Maxwell-yhtälöillä)

T^{\alpha \beta }={\frac {1}{4\pi }}\left(F^{\alpha }{}_{\lambda }F^{\lambda \beta }+{ \frac {1}{4}}g^{\alpha \beta }F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }\right);

massaton skalaarikenttä (skalaariratkaisut)

T^{\alpha \beta }=8\pi \left(\phi ^{;\alpha }\phi ^{;\beta }+{\frac {1}{2}}\phi _{; \mu }\phi ^{;\mu }g^{\alpha \beta }\right).

Massiivisista kentistä käytetään skalaarikenttää (yleensä ei-triviaalilla itsetoiminnalla) - näin saadaan bosonisia tähtiä - tai klassista Dirac-kenttää (bispinor).

Hajautetut ratkaisut - tällaiset ratkaisut kuvaavat erityyppisiä aineita, joille yleensä käytetään "nestemäistä" approksimaatiota: pölyistä, kaasumaista tai nestemäistä ainetta. Approksimaation pätevyys johtuu siitä, että yleensä taivaanmekaniikan ja astrofysiikan gravitaatioongelmissa aine kokee hyvin suuria jännityksiä, jolloin se muuttuu nestemäiseksi ja jännitysten ei-nisotropia siinä voidaan jättää huomiotta.

Tässä tensori on rakennettu jakautuneelle massalle (energia-massakenttä) ja voidaan erottaa kaksi pääasiallista käytettyä jakautuneen aineen esitystä: $T_{\mu \nu }$

ihanteellinen neste (nesteliuokset)

T_{\alpha \beta }=(\rho +p)u_{\alpha }u_{\beta }+pg_{\alpha \beta },

jossa tulkitaan nesteen nopeuden 4-vektoriksi tietyssä pisteessä, , on nesteen energiatiheys ja on sen paine, jonka pitäisi olla yhteydessä tilayhtälöön ( on nesteen lämpötila); $u^{{\alpha ))$ $u^{\alpha }u_{\alpha }=-1$ $\rho$ $s$ $p=f(\rho ,T)$ $T$

ei-vuorovaikutteinen pöly (pölyliuokset) on edellisen tapauksen erikoistapaus $p\equiv 0$

T_{\alpha \beta }=\rho u_{\alpha }u_{\beta }.

Voidaan osoittaa, että pölyn liikkuessa jokainen sen elementti liikkuu generoidun metriikan geodeettista linjaa pitkin.

Yleensä voidaan tehdä täydellinen algebrallinen luokittelu toisen valenssin mahdollisista tensoreista - esimerkiksi Einsteinin tensori tai energiamomentti. Tällaisten luokittelujen muunnelmia: A. Z. Petrovin neliulotteisen aika-avaruuden tapaukselle kehittämä Segren tensoriluokitus (virheellä - yksi mahdollisista tyypeistä jätetty pois - johdettu myös Landaun ja Lifshitzin kenttäteoriasta) ja R. Penrosen spinori luokitus. Kaikki yllä luetellut energia-momenttitensorit ovat näiden luokittelujen mukaan algebrallisesti erityisiä.

Kosmologisen vakion suuruuden mukaan

Ratkaisut kanssa ovat ratkaisuja Einsteinin yhtälöihin ilman lambda-termiä. $\Lambda \,=0$

Ratkaisut kanssa ovat Einstein-yhtälöiden ratkaisuja, joissa on lambda-termi, jonka läsnäolo monimutkaistaa ratkaisua, mutta mahdollistaa stationääristen mittareiden saamisen. Yksinkertaisin näistä ratkaisuista on de Sitter -metriikka. $\Lambda \,\neq 0$

Tarkat ja likimääräiset ratkaisut

Tarkkoja ratkaisuja

Likimääräiset ratkaisut - saadaan esimerkiksi joidenkin Einsteinin yhtälöiden parametrien ei-relativistisella approksimaatiolla - post-Newtonin formalismi , tai laajentamalla pieniä parametreja.

Luokitus ajan mukaan

Kiinteät ratkaisut - sinulla on ajanmukainen Killing- vektorikenttä . Heille on olemassa inertiaalinen viitekehys , jossa metrinen tensori ei riipu ajasta.

Staattiset ratkaisut – niiden tappamiskenttä on aikakaltainen ja kohtisuorassa jatkuvan aika-avaruuden kaltaisten pintojen perheeseen nähden. Tällaisia ratkaisuja ovat muun muassa Schwarzschildin metriikka .
Ei-staattiset ratkaisut - kuvaavat muuttuvaa gravitaatiokenttää, mutta niille voit löytää ryhmän tarkkailijoita, jotka eivät huomaa muutoksia gravitaatiokentässä. Näitä ovat Kerr-mittari.

Ei-kiinteät ratkaisut

Aaltoratkaisut - kuvaa gravitaatioaaltoja.

Luokittelu avaruussymmetrian mukaan

Isotrooppiset ratkaisut - niiden kaarevuus muuttuu tasaisesti millä tahansa tietystä pisteestä vedettyä akselia pitkin.

Homogeeniset ratkaisut ovat ratkaisuja, jotka ovat isotrooppisia minkä tahansa pisteensä suhteen, eli niillä on sama kaarevuus missä tahansa avaruuden pisteessä.
Pallosymmetriset ratkaisut - kaarevuus on vakio pinnoilla, joilla on kaksiulotteisten pallojen geometria. Tällaisten pallojen symmetriakeskusta todellisena aika-avaruustapahtumana ei välttämättä ole ollenkaan, kuten madonreikien tapauksessa . Näitä ratkaisuja käytetään kuvaamaan staattisten mustien aukkojen , madonreikien ja pyörimättömien tähtien ympärillä olevaa tilaa.

Anisotrooppiset liuokset.

Aksiaalisesti symmetriset ratkaisut - kaarevuus on vakio viivoilla, joilla on toistensa suuntaisten ympyröiden geometria. Kun otetaan huomioon itse symmetria-akselin tapahtumien olemassaolo, voidaan valita sille piste ja sanoa, että kaarevuus riippuu sekä etäisyydestä tähän pisteeseen että napakulmasta (pallokoordinaateissa). Näitä ratkaisuja voidaan verrata pyöriviin mustiin aukkoihin, tähtiin, galaksiin .
Peilisymmetriset ratkaisut - niiden metriikka on symmetrinen kolmiulotteisen tason suhteen.
Epäsymmetriset ratkaisut.

Asymptoottinen luokitus

Tämä luokittelu perustuu liuoksen käyttäytymiseen valon kaltaisessa äärettömässä.

Asymptoottisesti litteät ratkaisut - tällaiset ratkaisut syntyvät yleensä nollakosmologisella vakiolla ja energia-momenttitensorin kompaktilla kantajalla . Valon kaltaisilla äärettömyyksillä (tai ainakin niiden osilla) tällainen aika-avaruus taipuu melko nopeasti tasaiseen Minkowski-avaruuteen. Nämä ratkaisut ovat erittäin tärkeitä fysikaalisesta näkökulmasta, koska ne kuvaavat hyvällä approksimaatiolla saarijärjestelmiä - yksinäisiä tähtitieteellisten kappaleiden järjestelmiä, kuten mustia aukkoja, planeettajärjestelmiä, useita tähtiä ja jopa galakseja.

Tällaisia ratkaisuja varten asymptoottisten aika-avaruussymmetrioiden ryhmä (Bondi-Metzner-Sachs-ryhmä) mahdollistaa säilyneen energian liikemäärän 4-vektorin määrittämisen ja järjestelmän energian siirtymisen gravitaatiosäteilyksi.

Kosmologiset ratkaisut ovat fyysisen kosmologian perusta . Ne kuvaavat universumin rakennetta ja evoluutiota, jonka oletetaan olevan suurin piirtein homogeeninen ja isotrooppinen . Tällaiset ratkaisut luokitellaan hajautetuiksi , koska yleensä pölyhiukkasista-galakseista peräisin olevan pölyisen aineen katsotaan asettavan ne universumin evoluution nykyiseen vaiheeseen.

Nyt yleisesti tunnustettu kosmologinen perusratkaisu, joka kuvaa maailmankaikkeuden kehitystä "kokonaisuutena", on Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker-ratkaisu [2] [3] [4] . Aikaisemmin harkittiin myös muita ratkaisuja - Einsteinin, Lemaitren, Eddingtonin mittareita.

Suljetut ratkaisut - periaatteessa Einsteinin yhtälöt paikallisina yhtälöinä rajoittavat heikosti ratkaisun globaalia topologiaa, jonka alkuehdot antavat. Siten on mahdollista rakentaa yhtälöiden ratkaisuja jopa erittäin patologisille topologiatapauksille. Yksinkertaisin esimerkki olisi Minkowski-avaruus, joka on taitettu torukseksi tunnistamalla hypertasoja ja missä tahansa määrässä ulottuvuuksia, jopa ajallisesti. $x^{\alpha }=0$ $x^{\alpha }=x_{0}^{\alpha }$

Siitä huolimatta jotkut Einstein-yhtälön rajoitukset vaativat edelleen, esimerkiksi jatkuvan positiivisen skalaarikaarevuuden avaruuden on välttämättä oltava suljettu.

Luokittelu isotrooppisten kongruenssien mukaan (Petrovin luokitus)

Novikovin itsejohdonmukaisuusperiaate

Novikov-itsekonsistenssin periaate on periaate, joka on suunniteltu ratkaisemaan aikamatkustukseen liittyviä paradokseja , joiden teoreettisesti sallivat jotkut Einsteinin yhtälöiden ratkaisut, mikä mahdollistaa suljettujen aikamaisten linjojen olemassaolon .

Katso myös

Yleisen suhteellisuusteorian matemaattinen muotoilu
Yleinen suhteellisuusteoria
Projekti:Fysiikka/Listat/Luettelo kuuluisista relativistisista tiedemiehistä
Einsteinin yhtälöt

Muistiinpanot

↑ Wikipediassa on artikkeli Schwarzschild-ratkaisu tai Schwarzschild-metriikka
↑ Friedman-Lemaitre-Robertson-Walker-metriikka .
↑ Georges Lemaitre .
↑ Fridman, Aleksandr Aleksandrovitš .

Kirjallisuus

Einsteinin yhtälöiden tarkat ratkaisut. Ed. E. Schmutzer M.: Energoizdat, 1982. - 416 s.
Hawking , Ellis Laajamittainen aika-avaruusrakenne.
JA Wheeler. Gravitaatio / JA Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne. - W.H. Freeman & Co, 1973. - ISBN 0-7167-0344-0 .
JA Wheeler. Gravitaatio ja inertia / JA Wheeler, I. Ciufolini. - Princeton University Press , 1995. - ISBN 978-0-691-03323-5 .
RJA Lambourne. Suhteellisuusteoria, gravitaatio ja kosmologia. - The Open University, Cambridge University Press, 2010. - ISBN 978-0-521-13138-4 .