Schwarzschildin metriikka

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 24. maaliskuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 3 muokkausta .

Schwarzschildin metriikka on ainoa pallosymmetrinen tarkka Einstein-yhtälöiden ratkaisu ilman kosmologista vakiota tyhjässä avaruudessa Birkhoffin lauseen vuoksi. Erityisesti tämä metriikka kuvaa tarkasti yksinäisen, pyörimättömän ja varautumattoman mustan aukon gravitaatiokenttää ja yksittäisen pallosymmetrisen massiivisen kappaleen ulkopuolella olevaa gravitaatiokenttää. Nimetty Karl Schwarzschildin mukaan, joka löysi sen ensimmäisen kerran vuonna 1916 .

Tämä ratkaisu on staattinen, joten pallomaiset gravitaatioaallot ovat mahdottomia.

Mittarin tyyppi

Schwarzschildin koordinaatit

Niin kutsutuissa Schwarzschildin koordinaateissa , joista viimeiset 3 ovat samanlaisia kuin pallomaiset , on Schwarzschildin avaruus-ajan fyysisesti tärkeimmän osan metrinen tensori topologialla (kaksiulotteisen euklidisen avaruuden alueen ja kaksiulotteinen pallo) on muotoa $(t,\;r,\;\theta ,\;\varphi )$ $R^{2}\ kertaa S^{2}$

g={\begin{bmatrix}\left(1-\displaystyle {\frac {r_{s}}{r}}\right)&0&0&0\\0&-\left(1-\displaystyle {\frac {r_{s }}{r}}\oikea)^{-1}&0&0\\0&0&-r^{2}&0\\0&0&0&-r^{2}\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}.

Tämän mittarin väli on kirjoitettu muodossa

ds^{2}=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2} }{\left(1-\displaystyle {\frac {r_{s}}{r}}\right)}}-r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2} \theta d\varphi ^{2}\oikea),

missä on ns. Schwarzschildin säde , tai gravitaatiosäde , on massa, joka luo gravitaatiokentän (erityisesti mustan aukon massa), on gravitaatiovakio , on valon nopeus . Tässä tapauksessa koordinaattien muutosalue pisteiden tunnistamisen kanssa ja , kuten tavallisissa pallomaisissa koordinaateissa . $r_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}}$ $M$ $G$ $c$ $-\infty <t<\infty ,\ r_{s}<r<\infty ,\ 0\leq \theta \leq \pi ,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi$ $(t,r,\theta,\varphi =0)$ $(t,r,\theta ,\varphi =2\pi )$

Koordinaatti ei ole sädevektorin pituus, vaan se syötetään siten, että pallon pinta-ala annetussa metriikassa on yhtä suuri kuin . Tässä tapauksessa "etäisyys" kahden tapahtuman välillä, joilla on erilaiset (mutta identtiset muut koordinaatit) saadaan integraalilla $r$ $t=\mathrm {const} ,\;r=r_{0}$ $4\pi r_{0}^{2}$ $r$

\int \limits _{r_{1}}^{r_{2}}{\frac {dr}{\sqrt {1-\displaystyle {\frac {r_{s}}{r}}}}>r_ {2}-r_{1},\qquad r_{2},\;r_{1}>r_{s}.

Kohdassa tai Schwarzschildin metriikka pyrkii (komponenttikohtaisesti) Minkowskin metriikkaan pallomaisissa koordinaateissa, joten kaukana massiivisesta kappaleesta aika-avaruus osoittautuu likimäärin pseudoeuklidiseksi allekirjoitukseksi . Koska klo ja kasvaa monotonisesti kasvaessa , oikea aika kehon lähellä olevissa pisteissä "virtaa hitaammin" kuin kaukana siitä, eli massiivisten kappaleiden aiheuttama gravitaatioajan hidastuminen . $M\-0$ $r\to\infty$ $M$ $(1.3)$ $g_{00}=1-{\frac {r_{s}}{r}}\leqslant 1$ $r>r_{s}$ $g_{00}$ $r$

Erotusominaisuudet

Tyhjiössä olevalle keskeisesti symmetriselle gravitaatiokentälle (ja tämä on Schwarzschildin metriikan tapaus) voimme laittaa:

g_{00}=e^{\nu },\quad g_{11}=-e^{\lambda };\quad \lambda +\nu =0,\quad e^{-\lambda }= e^{\nu }=1-{\frac {r_{s}}{r}}.

Sitten nollasta poikkeavilla itsenäisillä Christoffel-symboleilla on muoto

\Gamma _{11}^{1}={\frac {\lambda _{r}^{\prime )){2)),\quad \Gamma _{10}^{0}={\frac {\ nu _{r}^{\prime }}{2}},\quad \Gamma _{33}^{2}=-\sin \theta \cos \theta ,

\Gamma _{11}^{0}={\frac {\lambda _{t}^{\prime }}{2}}e^{\lambda -\nu },\quad \Gamma _{22}^ {1}=-re^{-\lambda },\quad \Gamma _{00}^{1}={\frac {\nu _{r}^{\prime }}{2}}e^{\ nu-\lambda },

\Gamma _{12}^{2}=\Gamma _{13}^{3}={\frac {1}{r)),\quad \Gamma _{23}^{3}=\operaattorinimi {ctg } \,\theta ,\quad \Gamma _{00}^{0}={\frac {\nu _{t}^{\prime }}{2}},

\Gamma _{10}^{1}={\frac {\lambda _{t}^{\prime )){2)),\quad \Gamma _{33}^{1}=-r\sin ^ {2}\theta \,e^{-\lambda }.

Kaarevuustensorin invariantit ovat

I_{1}=\left({\frac {r_{s}}{2r^{3}}}\right)^{2},\quad I_{2}=\left({\frac {r_{s }}{2r^{3}}}\oikea)^{3}.

Kaarevuustensori on Petrov -tyyppinen . $\mathbf {D}$

Massavika

Jos "sädeaineella" on pallosymmetrinen jakauma (koordinaatteina) , niin kappaleen kokonaismassa voidaan ilmaista sen energia-momenttitensorina kaavalla $a$

m={\frac {4\pi }{c^{2}}}\int \limits _{0}^{a}T_{0}^{0}r^{2}\,dr.

Erityisesti aineen staattiselle jakautumiselle , missä on energiatiheys avaruudessa. Ottaen huomioon, että pallomaisen kerroksen tilavuus valitsemissamme koordinaateissa on yhtä suuri kuin $T_{0}^{0}=\varepsilon$ $\varepsilon$

dV=4\pi r^{2}{\sqrt {g_{11}}}\,dr>4\pi r^{2}\,dr,

saamme sen

m=\int \limits _{0}^{a}{\frac {\varepsilon }{c^{2}}}4\pi r^{2}\,dr<\int \limits _{V}{ \frac {\varepsilon }{c^{2}}}\,dV.

Tämä ero ilmaisee kehon massan gravitaatiovirheen . Voidaan sanoa, että osa järjestelmän kokonaisenergiasta sisältyy gravitaatiokentän energiaan, vaikka tätä energiaa on mahdotonta lokalisoida avaruuteen.

Singulariteetti metriikassa

Ensi silmäyksellä mittari sisältää kaksi ominaisuutta: at ja at . Todellakin, Schwarzschild-koordinaateissa kappaleen päälle putoava hiukkanen tarvitsee äärettömän pitkän ajan päästäkseen pintaan , mutta siirtyminen esimerkiksi Lemaitren koordinaatteihin muuttuvassa vertailukehyksessä osoittaa, että tapahtuman näkökulmasta havainnoitsija, tällä pinnalla ei ole aika-avaruusominaisuutta, ja sekä itse pinta että alue saavutetaan äärellisessä oikeassa ajassa . $r = 0$ $r=r_{s}$ $t$ $r=r_{s}$ $r\noin 0$

Schwarzschildin metriikan todellinen singulaarisuus havaitaan vain kohdassa , jossa kaarevuustensorin skalaariinvariantit pyrkivät äärettömyyteen . Tätä ominaisuutta ( singulariteetti ) ei voida poistaa koordinaattijärjestelmää vaihtamalla. $r\ to 0$

Tapahtumahorisontti

Pintaa kutsutaan tapahtumahorisonttiksi . Paremmalla koordinaattivalinnalla, esimerkiksi Lemaitre- tai Kruskal-koordinaateilla, voidaan osoittaa, että mikään signaali ei pääse poistumaan mustasta aukosta tapahtumahorisontin läpi. Tässä mielessä ei ole yllättävää, että Schwarzschildin mustan aukon ulkopuolella oleva kenttä riippuu vain yhdestä parametrista - kehon kokonaismassasta. $r=r_{s}$

Kruskalin koordinaatit

Voidaan yrittää ottaa käyttöön koordinaatteja, jotka eivät anna singulaarisuutta kohdassa . Tällaisia koordinaattijärjestelmiä tunnetaan monia, ja yleisin niistä on Kruskal-koordinaatisto, joka kattaa yhdellä kartalla koko Einsteinin tyhjiöyhtälöt tyydyttävän maksimaalisesti laajennetun moniston (ilman kosmologista vakiota). Tätä suurempaa aika -aikaa kutsutaan yleensä (maksimilaajennetuksi) Schwarzschild-avaruudeksi tai (harvemmin) Kruskal-avaruudeksi ( Kruskal-Szekeres-kaavio ). Kruskal-koordinaattien metriikassa on muoto $r=r_{s}$ ${\tilde {\mathcal {M}}}$

ds^{2}=-F(u,v)^{2}\,du\,dv+r^{2}(u,v)(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\ theta \,d\varphi ^{2}),\qquad \qquad (2)

jossa , ja funktio määritellään (implisiittisesti) yhtälöllä . $F={\frac {4r_{s}^{3}}{r}}e^{-r/r_{s}}$ $r(u,v)$ $(1-r/r_{s})e^{r/r_{s}}=uv$

Avaruus on maksimaalinen eli sitä ei voi enää isometrisesti upottaa suurempaan aika-avaruuteen, ja Schwarzschildin koordinaateissa ( ) oleva alue on vain osa (tämä on alue - kuvassa alue I). Valoa hitaammin liikkuva kappale - sellaisen kappaleen maailmanviiva on käyrä, jonka kaltevuuskulma pystysuoraan nähden on pienempi kuin , katso käyrä kuvassa - voi lähteä . Tässä tapauksessa se kuuluu alueelle II, jossa . Kuten kuvasta voidaan nähdä, se ei voi enää poistua tältä alueelta ja palata sinne (tätä varten pitäisi poiketa enemmän kuin yksi pystysuorasta, eli ylittää valon nopeus). Alue II on siis musta aukko. Sen raja (polyline, ) on vastaavasti tapahtumahorisontti. ${\tilde {\mathcal {M}}}$ $r>r_{s}$ ${\mathcal {M}}$ ${\tilde {\mathcal {M}}}$ $v>0,\ r>r_{s}$ $45^{\circ }$ $\gamma$ ${\mathcal {M}}$ ${\displaystyle r<r_{s))$ $r>r_{s}$ $45^{\circ }$ $v\geqslant 0,\ r=r_{s}$

On vielä yksi asymptoottisesti tasainen alue III, johon voidaan myös ottaa käyttöön Schwarzschildin koordinaatit. Tämä alue ei kuitenkaan kausaalisesti liity alueeseen I, minkä vuoksi siitä on mahdotonta saada mitään tietoa tapahtumahorisontin ulkopuolella. Tähtitieteellisen kohteen todellisen romahduksen tapauksessa alueita IV ja III ei yksinkertaisesti synny, koska esitetyn kaavion vasen puoli on korvattava ei-tyhjällä aika-avaruudella, joka on täynnä romahtavaa ainetta. ${\tilde {\mathcal {M}}}$

Panemme merkille useita merkittäviä ominaisuuksia maksimaalisesti laajennetusta Schwarzschild-avaruudesta : ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M))))$

Se on singulaarinen: horisontin alapuolelle putoavan tarkkailijan koordinaatti pienenee ja pyrkii nollaan, kun hänen oikea aikansa pyrkii johonkin äärelliseen arvoon . Sen maailmanlinjaa ei kuitenkaan voida laajentaa alueelle , koska tässä tilassa ei ole pisteitä . Näin ollen tarkkailijan kohtalo on meille tiedossa vain tiettyyn pisteeseen asti hänen (omassa) ajassaan. $r$ $\tau$ $\tau_{0}$ $\tau \geqslant \tau_{0}$ $r = 0$
Vaikka avaruus on staattista (on selvää, että metriikka (1) ei riipu ajasta), avaruus ei ole. Tämä on muotoiltu tiukemmin seuraavasti: Tappamisvektori , joka on aikakaltainen vuonna , muuttuu avaruuden kaltaiseksi laajennetun avaruuden alueilla II ja IV . ${\mathcal {M}}$ ${\tilde {\mathcal {M}}}$ ${\mathcal {M}}$ ${\tilde {\mathcal {M}}}$
Alue III on myös isometrinen . Siten maksimaalisesti laajennettu Schwarzschild-avaruus sisältää kaksi "universumia" - "meidän" (tämä ) ja toisen samanlaisen. Aluetta II niitä yhdistävän mustan aukon sisällä kutsutaan Einstein-Rosenin sillaksi . I:stä lähtevä ja valoa hitaammin liikkuva tarkkailija ei pääse toiseen universumiin (ks. kuva 1), mutta horisontin ylittämisen ja singulaarisuuden osumisen välisenä aikana hän pystyy näkemään sen. Tämä aika-avaruuden rakenne, joka säilyy ja muuttuu jopa monimutkaisemmaksi, kun tarkastellaan monimutkaisempia mustia aukkoja, on synnyttänyt lukuisia spekulaatioita mahdollisista "muista" universumeista ja niiden mustien aukkojen läpi kulkemisesta sekä tieteellisessä kirjallisuudessa että tieteiskirjallisuudessa (katso Molecules ). kaivoja ). ${\mathcal {M}}$ ${\mathcal {M}}$

Orbitaaliliike

Hankinnan ja tulkinnan historia

Merkittävän teoreettisena kohteena toimiva Schwarzschild-metriikka on myös eräänlainen teoreetikkojen työkalu, joka näyttää yksinkertaiselta, mutta johtaa kuitenkin välittömästi vaikeisiin kysymyksiin.

Vuoden 1915 puolivälissä Einstein julkaisi painovoimateorian alustavat yhtälöt . Nämä eivät vielä olleet Einsteinin yhtälöitä, mutta ne osuivat jo yhteen tyhjiötapauksen lopullisten yhtälöiden kanssa . Schwarzschild integroi pallosymmetriset tyhjiöyhtälöt ajanjaksolle 18. marraskuuta 1915 vuoden loppuun. Tammikuun 9. päivänä 1916 Einstein, jota Schwarzschild lähestyi artikkelinsa julkaisemisesta Berliner Berichte -lehdessä, kirjoitti hänelle, että hän "luki hänen töitään suurella intohimolla" ja "oli hämmästynyt siitä, että tämän ongelman todellinen ratkaisu voidaan ilmaista niin." helposti" - Einstein epäili aluksi, oliko tällaisiin monimutkaisiin yhtälöihin edes mahdollista saada ratkaisu. $R_{{ij}}=T_{{ij}}$ $T_{{ij}}=0$

Schwarzschild sai työnsä valmiiksi maaliskuussa ja sai myös pallosymmetrisen staattisen sisäisen ratkaisun vakiotiheyksiselle nesteelle. Tällä hetkellä hänen ylleen iski sairaus ( pemfigus ), joka toi hänet hautaan toukokuussa. Toukokuusta 1916 lähtien G. A. Lorentzin opiskelija I. Droste, joka on tehnyt tutkimusta lopullisten Einstein-kenttäyhtälöiden puitteissa, sai ratkaisun samaan ongelmaan yksinkertaisemmalla menetelmällä kuin Schwarzschild. Hän omistaa myös ensimmäisen yrityksen analysoida ratkaisun erilaisuutta sen suuntautuessa Schwarzschildin sfääriin.

Drosten jälkeen useimmat tutkijat alkoivat olla tyytyväisiä erilaisiin näkökohtiin, joiden tarkoituksena oli todistaa Schwarzschild-pallon läpäisemättömyys. Samaan aikaan teoreettisia pohdintoja tuki fysikaalinen argumentti, jonka mukaan "tätä ei ole luonnossa", koska ei ole kappaleita, atomeja, tähtiä, joiden säde olisi pienempi kuin Schwarzschildin säde .

K. Lanczosille, samoin kuin D. Gilbertille, Schwarzschildin sfääristä tuli tilaisuus pohtia "singulaarisuuden" käsitettä, P. Painlevelle ja ranskalaiselle koulukunnalle se oli kiistan kohteena, johon Einstein liittyi.

Einsteinin vierailun yhteydessä järjestetyssä Pariisin kollokviumissa vuonna 1922 ei ollut vain ajatus siitä, että Schwarzschildin säde ei olisi yksittäinen, vaan myös hypoteesi, joka ennakoi niin sanottua gravitaatioromua .

Schwarzschildin taitava kehittäminen oli vain suhteellinen menestys. Hänen menetelmäänsä tai tulkintaansa ei hyväksytty. Hänen työstään ei ole säilynyt melkein mitään, paitsi metriikan "paljas" tulos, johon sen luojan nimi yhdistettiin. Mutta tulkintakysymykset ja ennen kaikkea kysymys "Schwarzschildin singulaarisuudesta" eivät olleet vielä ratkaistu. Alkoi kiteytyä näkökulma, että tällä singulaaruudella ei ole väliä. Tähän näkökulmaan johti kaksi tietä: toisaalta teoreettinen, jonka mukaan "Schwarzschildin singulaarisuus" on läpäisemätön, ja toisaalta empiirinen, joka koostuu siitä, että "tätä ei ole olemassa luonto." Tämä näkökulma levisi ja tuli vallitsevaksi kaikessa tuon ajan erikoiskirjallisuudessa.

Seuraava vaihe liittyy painovoiman intensiiviseen tutkimukseen suhteellisuusteorian "kulta-ajan" alussa.

Kirjallisuus

K. Schwarzschild Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie // Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften 1. - 1916. - 189-196.
Rus. käännös: Schwarzschild K. Pistemassan gravitaatiokentästä Einsteinin teoriassa // Albert Einstein ja gravitaatioteoria. M.: Mir, 1979. S. 199-207.
Landau L.D. , Lifshits E.M. Kenttäteoria. - 7. painos, tarkistettu. — M .: Nauka , 1988. — 512 s. - (" Teoreettinen fysiikka ", osa II). — ISBN 5-02-014420-7 .
Droste J. Het van een enkel centrum in Einstein s theorie der zwaartekracht en de beweging van een stoffelijk punt in dat veld // Versl. gev Vergad. Akad. Amsterdam. - 1916. - D.25. - Biz.163-180.
Einstein A. Karl Schwarzschildin muistolle // Einstein A. Kokoelma tieteellisiä artikkeleita. M.: Nauka, 1967. T. 4. S. 33-34.
SM Blinder . Yleisen suhteellisuusteorian satavuotisjuhla (1915-2015); Schwarzschildin ratkaisu ja mustat aukot . - 2015. - arXiv : 1512.02061 .

Katso myös

Linkit

Suhteellisuusteorian tärkeimmät johtopäätökset

Sanakirjat ja tietosanakirjat	iso kiinalainen

Mustat aukot

Tyypit

Mitat

koulutus

Ominaisuudet

Mallit

teorioita

Penrose-Hawkingin singulaarisuuslause
Ei hiuslausetta
Tietojen paradoksi
Kosmisen sensuurin periaate
Ei-singulaariset mustien aukkojen mallit
Holografinen periaate
Mustien aukkojen täydentävyys

Tarkat ratkaisut yleisessä suhteellisuusteoriassa

Schwarzschild
Kerra
Reisner-Nordström
Kerr-Newman
Tarkka mustan aukon ratkaisu

liittyvät aiheet

Luettelo mustista aukoista
- Luettelo kvasaareista
Mustan aukon fysiikan kronikka
RXTE
Hyperkompakti tähtijärjestelmä
singulariteettireaktori
Numeerinen suhteellisuusteoria
Gravitaatioaallot

Luokka: Mustat aukot