Trigonometriset funktiot matriisista

Matriisin trigonometriset funktiot ovat neliömatriisien trigonometristen funktioiden yleistyksiä .

Neliömatriisien trigonometriset funktiot (etenkin usein sini ja kosini) syntyvät toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöjärjestelmien ratkaisuissa . [1] Ne määritellään saman Taylor-sarjan kautta, jonka avulla määritetään todellisen tai kompleksisen argumentin trigonometriset funktiot: [2]

{\begin{aligned}\sin X&=X-{\frac {X^{3}}{3!}}+{\frac {X^{5}}{5!)}}-{\ frac {X^{7}}{7!}}+\cdots &=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1) ! }}X^{2n+1}\\\cos X&=I-{\frac {X^{2}}{2!)}}+{\frac {X^{4}}{4!}} -{ \frac {X^{6}}{6!}}+\cdots &=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n )! }}X^{2n}\end{aligned}}

jossa X n tarkoittaa matriisia X n: n potenssiin ja I on saman ulottuvuuden identiteettimatriisi .

Myös matriisiargumentin trigonometriset funktiot voidaan määritellä matriisin eksponentin avulla ottaen huomioon Eulerin kaavan matriisin analogi e iX = cos X + i sin X :

{\begin{aligned}\sin X&={e^{iX}-e^{-iX} \over 2i}\\\cos X&={e^{iX}+e^{-iX} \ yli 2}.\end{aligned}}

Olkoon X esimerkiksi vakio Pauli-matriisi :

\sigma _{1}=\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}~,

Sitten

\sin(\theta \sigma _{1})=\sin(\theta )~\sigma _{1},\qquad \cos(\theta \sigma _{1})=\cos(\theta )~minä~,

Voit myös laskea kardinaalisinin :

\operaattorinnimi {sinc} (\theta \sigma _{1})=\operaattorin nimi {sinc} (\theta )~I.

Ominaisuudet

Päätrigonometrisen identiteetin matriisin analogi on voimassa : [2]

\sin ^{2}X+\cos ^{2}X=I

Jos X on diagonaalimatriisi , sin X ja cos X ovat myös diagonaalimatriiseja, joissa (sin X ) nn = sin( X nn ) ja (cos X ) nn = cos( X nn ) eli sini ja kosini diagonaalimatriisi voidaan laskea laskemalla vastaavasti päädiagonaalin argumentin elementtien sinit ja kosinit.

Sini- ja kosinisummakaavojen matriisianalogit ovat voimassa silloin ja vain, jos matriisit kommutevat, eli XY = YX : [2]

{\begin{aligned}\sin(X\pm Y)=\sin X\cos Y\pm \cos X\sin Y\\\cos(X\pm Y)=\cos X\cos Y\ mp \sin X\sin Y\end{aligned}}

Muut ominaisuudet

Tangentti-, käänteis-trigonometriset funktiot , hyperboliset funktiot ja käänteiset hyperboliset funktiot voidaan määritellä myös matriiseille: [3]

\arcsin X=-i\ln \left(iX+{\sqrt {IX^{2))}\right)

( Katso Käänteiset trigonometriset funktiot #Suhde luonnolliseen , Matriisilogaritmi Matriisin neliöjuuri

{\begin{aligned}\sinh X&={e^{X}-e^{-X} \over 2}\\\cosh X&={e^{X}+e^{-X} \ yli 2}\end{aligned}}

ja niin edelleen.

Muistiinpanot

↑ Gareth I. Hargreaves, Nicholas J. Higham. Tehokkaat algoritmit matriisin kosinille ja sinille (englanniksi) // Numerical Analysis Report : Journal. - Manchester Center for Computational Mathematics, 2005. - Ei. 461 .
↑ 1 2 3 Nicholas J. Higham. Matriisien funktiot: teoria ja laskenta (englanniksi) . - 2008. - s. 287f. — ISBN 9780898717778 .
↑ Scilab trigonometry Arkistoitu 9. heinäkuuta 2017 Wayback Machinessa .