Ultrafinitismi

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 19. elokuuta 2022 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Ultrafinitismi (tunnetaan myös nimellä ultraintuitionismi [1] , tiukka formalismi [2] , tiukka finitismi [2] , aktualismi [1] , predikativismi [2] [3] ja vahva finitismi ) [2]  on finitismin äärimuoto , joka ilmenee mm. useita matemaattisia ja filosofisia ja matemaattisia käsitteitä ja teorioita. Kaikille matemaattisen finitismin muodoille on yhteistä kieltäytyminen käyttämästä todellisen äärettömyyden intuitiivisesti kyseenalaista abstraktiota, esimerkiksi ääretöntä luonnollisten lukujen joukkoa täydellisenä , objektin rakentamisen yhteydessä valmistuneena; ultrafinitismi puolestaan ​​kieltää tai pitää potentiaalisen äärettömyyden eli mahdollisuuden rakentaa mielivaltaisen suuria rakentavia objekteja vähäsisältöisenä abstraktiona; Tämän seurauksena esimerkiksi aritmeettisten operaatioiden soveltuvuus kaikkiin luonnollisiin lukuihin kielletään.

Tausta

Ultrafinitismi jatkaa filosofisen finitismin perinteitä , jotka olivat hyvin yleisiä antiikin maailmassa ja erityisesti keskiajalla, johtuen Aristoteleen auktoriteetista , joka kielsi todellisen äärettömyyden. Nykyaikana matematiikassa näiden näkemysten muodostuminen liittyy Georg Cantorin naiivin joukkoteorian syntymiseen , joka operoi vapaasti todellisilla äärettömillä, mikä johti useiden paradoksien löytämiseen . Yritykset poistaa paradokseja ja todistaa matematiikan johdonmukaisuus johtivat vuorostaan ​​useiden uusien matemaattisten suuntausten syntymiseen ja muodostumiseen - Hilbertin finitismiin , formalismiin , logismiin , intuitionismiin ja konstruktivismiin . Aksiomaattisen joukkoteorian ilmaantumisen jälkeen , joka eliminoi joukkoteorian tärkeimmät paradoksit, joukkoteoreettinen lähestymistapa tuli hallitsevaksi matematiikan opetuksessa [4] , mutta konstruktivismi itsenäisenä matematiikan alueena säilyi ja sitä kehitettiin mielekkäästi. Ultrafinitistien matemaatikoiden näkemyksiä voidaan pitää konstruktivismin jatkona ja äärimuotona.

Argumentti

Ultrafinitismi kieltää sellaisten äärellisten matemaattisten objektien hyväksyttävyyden, joiden rakennusalgoritmi on olemassa, mutta jotka ovat niin suuria, että tätä algoritmia ei voida toteuttaa fyysisten rajoitusten vuoksi. Näin ollen myös tällaisten kohteiden kanssa suoritettavien toimintojen tarkoituksenmukaisuus kielletään. Jos Hilbertin finitismi ja konstruktivismi kieltäytyvät todellisen äärettömyyden abstraktiosta, niin ultrafinitismi kieltäytyy ottamasta huomioon esineitä, jotka ovat "käytännöllisesti katsoen" äärettömiä. Erityisesti ensimmäisen Skewes -luvun kokonaislukuosan olemassaolo kielletään :

sillä perusteella, että kukaan ei ole pystynyt laskemaan tätä luonnollista lukua, ja on epätodennäköistä, että tämä on periaatteessa mahdollista. Itse asiassa Skewes-luvun tallentamiseen tarvitaan suunnilleen desimaalilukuja, mikä on huomattavasti suurempi kuin alkuainehiukkasten lukumäärä universumin havaittavassa osassa, koska niitä ei ole enempää [5] .

Tämä argumentaatio vetoaa kuitenkin maalaisjärkeen ja on enemmän fyysistä ja filosofista kuin matemaattista. Tässä mielessä keskustelu akateemikko-fyysikon Zel'dovichin kirjasta "Korkeampi matematiikka aloittelijoille ja sen sovellukset fysiikkaan", jota akateemikko-matemaatikko Pontryagin kritisoi ankarasti ja oikeudenmukaisesti klassisen matematiikan näkökulmasta , on mielenkiintoinen . Esimerkiksi Zel'dovichin määritelmä derivaatista "riittävän pienten inkrementtien" suhteena ei ainoastaan ​​kiellä tarvetta ylittää rajaan, vaan se ei ole ollenkaan matemaattinen määritelmä. Akateeminen matemaatikko ja osittain fyysikko Arnold löysi vahvan argumentin puolustukselle [6] :

Kirja alkoi järkyttävällä määritelmällä johdannaisesta lisäysten suhteeksi "olettaen, että ne ovat tarpeeksi pieniä" [7] . Tämä "fyysisesti" ortodoksisen matematiikan kannalta jumalanpilkkaa määritelmä on tietysti täysin perusteltu, koska esimerkiksi 10–100 pienemmän fyysisen suuren lisäykset ovat puhdasta fiktiota - tilan ja ajan rakenne sellaisella. asteikot voivat osoittautua hyvin kaukana matemaattisesta jatkumosta.

Arnoldin argumentti on oletuksen muotoinen, mutta sitä voidaan täydentää sillä kiistattomalla tosiasialla, että esimerkiksi lämmönjohtavuuden differentiaaliyhtälö tällaisissa asteikoissa on merkityksetön, koska lämpötila on seurausta molekyylien energioiden keskiarvoistamisesta. Klassinen johdannaisen määritelmä on tässä tapauksessa kestämätön rajan puuttumisen vuoksi. Mutta yhtälö mahdollistaa erittäin tarkkoja laskelmia, koska Zel'dovichin määritelmä toimii.

Vaihtoehtoisen joukkoteorian luoja   Piotr Vopenka [8] [9] saavutti merkittävää edistystä täysin "äärellisen" matematiikan rakentamisessa . Ultrafinitismistä, toisin kuin konstruktivismista, ei kuitenkaan ole tullut täysimittaista matematiikan suuntausta, ja se on edelleen pääasiassa joidenkin matemaatikoiden filosofia. Konstruktivistinen logiikka Anne Sherp Troelstra peruskatsauksessaan "Constructivism in Mathematics (1988)" [10] totesi "tyydyttävän kehityksen puutteen" siinä mielessä, että matemaattisesta logiikasta ei yksinkertaisesti ole olemassa vastaavia teoksia.

Ultrafinitismiin liittyvät tutkijat

Yesenin-Volpin julkaisi vuonna 1962 ohjelman ultrafinitistisen matematiikan perusteiden rakentamiseksi [11] . Matemaatikkoihin, jotka ovat julkaisseet artikkeleita ultrafinitismistä tai julkisesti ilmaisseet läheisiä näkemyksiä, ovat myös Doron Zeilberger , Eduard Nelson , Rohit Jivanlal Parikh, ja Jean-Paul van Bendegem , Piotr Wopenka, Robin Gandy .

Jotkut matemaatikot eivät pidä tärkeänä ja tarpeellisena puhua julkisesti matematiikan filosofian kysymyksistä, jotka eivät ole heille perustavanlaatuisia, mutta heillä voi olla hyvin radikaaleja näkemyksiä. Esimerkiksi Neuvostoliiton akateemikko Ya. V. Uspensky luonnehtii vuonna 1926 lähettämässään yksityiskirjeessä joukkoteoriaa "Cantor-Lebesguen roskaksi". [12]

Muistiinpanot

  1. ↑ 1 2 International Workshop on Logic and Computational Complexity, Logic and Computational Complexity , Springer, 1995, s. 31.
  2. ↑ 1 2 3 4 _ Iwan (2000), " On the Untenability of Nelson's Predicativism  (ei saatavilla linkki) ", Erkenntnis 53 (1-2), s. 147-154.
  3. ↑ Ei pidä sekoittaa Russellin predikativismiin.
  4. ↑ Akateemikko V. V. Arnold luonnehtii muodollista joukkoteoreettista opetusta "maskuloituneeksi ja kuolleeksi" 1 Arkistoitu 3. marraskuuta 2019 Wayback Machinessa
  5. ↑ Universumin monet kasvot Andrey Dmitrievich Linde, Stanfordin yliopisto (USA), professori . Haettu 12. toukokuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 10. toukokuuta 2015.
  6. ↑ V. I. Arnold. YaB ja matematiikka . Haettu 8. heinäkuuta 2019. Arkistoitu alkuperäisestä 3. marraskuuta 2019.
  7. ↑ Jotta tästä määritelmästä tulisi ultrafiniittis-matemaattinen, on vielä tarpeen selventää inkrementtien kokoa.
  8. ↑ Vopěnka, P. Matematiikka vaihtoehtoisessa joukkoteoriassa. Teubner, Leipzig, 1979.
  9. ↑ Holmes, Randall M. Vaihtoehtoiset aksiomaattiset joukkoteoriat arkistoitu 7. elokuuta 2019, Wayback Machine in the Stanford Encyclopedia of Philosophy .
  10. ↑ AS Troelstra, D. van Dalen. Konstruktivismi matematiikassa
  11. ↑ Ésénine-Volpine, AS (1961), Le program ultra-intuitionniste des fondements des mathématiques, Infinitistic Methods (Proc. Sympos. Foundations of Math., Varsova, 1959) , Oxford: Pergamon, s. 201–223  Arvostellut Kreisel, G. & Ehrenfeucht, A. (1967), AS Ésénine-Volpinen katsaus Le Program Ultra-Intuitionniste des Fondements des Mathematiques , The Journal of Symbolic Logic (Association for Symbolic Logic). - T. 32 (4): 517 , DOI 10.2307/2270182 
  12. ↑ Ermolaeva N. S. Uutta materiaalia N. N. Luzinin elämäkertaan. // Historiallinen ja matemaattinen tutkimus . - M .: Nauka, 1989. - Nro 31 . - S. 193 .

Linkit