Rakentavaa matematiikkaa
Konstruktiivinen matematiikka on abstrakti tiede rakentavista ajatteluprosesseista, ihmisen kyvystä suorittaa niitä ja niiden tuloksista - rakentavista matemaattisista objekteista. Se on seurausta matematiikan rakentavan suunnan kehittämisestä - matemaattisesta maailmankuvasta, joka, toisin kuin joukkoteoreettinen suunta, pitää konstruktiivisten prosessien ja rakentavien objektien tutkimista matematiikan päätehtävänä. [yksi]
David Hilbertiä voidaan pitää rakentavan suunnan perustajana hänen epäonnistuneen yrityksensä perustella joukkoteoreettista matematiikkaa rakentavan matematiikan perusteella. Yksi varsinaisen rakentavan matematiikan perustajista on Neuvostoliiton tiedemies Andrei Markov .
Konstruktiivisen matematiikan abstraktioita
Konstruktiivisen matematiikan abstraktisuus ilmenee kahden suuren häiriötekijän systemaattisessa soveltamisessa: identifioinnin abstraktio ja potentiaalisen toteutettavuuden tai potentiaalisen äärettömyyden abstraktio.
Identifioinnin abstraktiota käytetään, kun puhutaan kahdesta identtisestä esineestä tavalla tai toisessa yhtenä ja samana kohteena.
Potentiaalisen toteutettavuuden abstraktiota (potentiaalista ääretöntä) käytetään, kun suunnittelu on irrotettu käytännön rajoituksista tilan, ajan ja materiaalin suhteen. Tämän abstraktion sallittavuus erottaa konstruktivismin ultrafinitismistä .
Konstruktiivinen matematiikka hylkää joukkoteoreettisessa matematiikassa käytetyn todellisen äärettömyyden abstraktion , joka liittyy loputtomien prosessien pitämiseen äärettömästi jatkuvina ja siten ikään kuin päättyneinä. [yksi]
Tärkeimmät tarkastelun kohteet
Konstruktiivisen prosessin ja rakentavan objektin käsitteillä ei ole yhteistä määritelmää. Useat konstruktiivisen matematiikan teoriat voivat käsitellä erilaisia konkreettisia konstruktiivisia objekteja (kokonaislukumatriisit, polynomit rationaalisilla kertoimilla jne.). Voidaan kuitenkin määritellä useita erityyppisiä rakenteita, jotka pystyvät mallintamaan mitä tahansa muita tunnettuja rakenteita (ja siten joita voidaan pitää yleisinä rakenteina jossain mielessä). Tällaisia ovat erityisesti sanat eri aakkosissa.
Rakentavan matematiikan logiikan piirteet
Rakentaville esineille on ominaista se, että ne eivät ole olemassa ikuisesti. Ne syntyvät joidenkin rakentavien prosessien käyttöönoton seurauksena ja katoavat sitten (eri syistä). Liitutaululle liidulla kirjoitettu algebrallinen lauseke ei aina ollut tällä taululla – ja tulee olemaan sillä täsmälleen siihen hetkeen asti, kun se poistetaan. Henkilökohtaisen tietokoneen kiintolevylle tallennettua taulukkoa ei myöskään ilmeisesti ollut olemassa ennen tämän levyn tekoa - ja se myös tuhoutuu ennemmin tai myöhemmin (joko uudelleenalustuksen tai levyvian seurauksena).
Sen yhteydessä, mitä on sanottu, konstruktiivisessa matematiikassa konstruktiivisen objektin "olemassaolo" ymmärretään sen mahdollisena toteutettavuutena - eli käytössämme olevan menetelmän, jonka avulla voimme toistaa tämän objektin kuinka monta kertaa tahansa. . Tällainen ymmärrys poikkeaa jyrkästi joukkoteoreettisessa matematiikassa hyväksytystä ymmärryksestä esineen olemassaolosta . Joukkoteoriassa rakentavien objektien jatkuva syntyminen ja katoaminen ei saa ilmaisua: sen näkökulmasta liikkuvat todelliset objektit ovat vain "varjoja" staattisille "ideaaliobjekteille", jotka ovat ikuisesti olemassa jossain fantasiamaailmassa (ja matematiikassa pitäisi ajatella vain näitä "ihanteellisia kohteita").
Objektin olemassaolon ymmärtäminen mahdollisena toteutettavuutena johtaa siihen, että konstruktiivisessa matematiikassa toimivat loogiset lait osoittautuvat erilaisiksi kuin klassiset. Erityisesti poissuljetun keskikohdan laki menettää yleismaailmallisen sovellettavuuden . Todellakin, kaava, kun se ymmärretään rakentavasti, ilmaisee ehdotuksen
"kaavojen joukossa ja mahdollisesti toteutettavissa totta" ,
Disjunktion klassinen johtaminen ei kuitenkaan tarjoa mitään tapaa rakentaa sen oikeaa termiä. Vastaavasti sen oletuksen looginen kumoaminen, että millä tahansa tarkasteltavana olevan tyyppisellä konstruktiivisella esineellä on jokin ominaisuus – jota pidetään joukkoteoreettisessa matematiikassa riittävänä syynä ominaisuuden omaavan objektin tunnistamiselle "olemassa olevaksi" – ei sinänsä voi toimia syy tunnistaa omaisuutta sisältävä esine mahdollisesti realisoitavaksi. On kuitenkin huomattava, että tietty heuristinen arvo tunnistetaan edelleen tällaisten loogisten kumoamisten takana (koska vaikka ne eivät tarjoakaan keinoa konstruoida haluttua objektia, ne kuitenkin osoittavat tällaisen konstruktion yritysten mielekkyyden). Ei-konstruktiivisia objekteja, joiden "olemassaolo" oli mahdollista todistaa klassisen logiikan puitteissa, kutsutaan yleisesti lähes toteutettavissa oleviksi .
Potentiaalisesti realisoitavan ja kvasi-toteutettavan konstruktion käsitteiden erosta tulee erityisen tärkeä, kun tarkastellaan yleisiä olemassaololauseita. Todellakin, tuomio
"Mille tahansa tarkasteltavana olevan tyyppiselle rakentavalle objektille voimme mahdollisesti toteuttaa rakentavan objektin , joka on suhteessa kohteeseen "
tarkoittaa, että meillä on käytössämme yksi yleinen menetelmä ( algoritmi ) kohteen prosessoimiseksi sitä vastaavaksi objektiksi . Siksi tällainen tuomio voi olla tarkoituksella väärä, vaikka tuomio olisi oikea.
"Mille tahansa tarkasteltavana olevan tyyppiselle rakentavalle objektille objektiin suhteutettu rakentava objekti on näennäisesti toteutettavissa " .Joitakin erityisiä konstruktiivisen matematiikan teorioita
Konstruktiivisen matematiikan käsitteiden puitteissa kehitetyillä konkreettisilla matemaattisilla teorioilla on useita merkittäviä eroja vastaaviin joukkoteoreettisiin teorioihin.
Esimerkiksi matemaattisen analyysin pääkäsite - reaaliluvun käsite - esitellään teorian perinteisessä versiossa joukon yleiskäsityksen perusteella . Konstruktiiviselle matematiikalle, joka edellyttää harkinnan rajoittamista konstruktiivisiin objekteihin, tämä tapa määritellä reaaliluvun käsite on mahdoton hyväksyä. Siinä reaaliluvut ymmärretään yleensä algoritmien tietueina, jotka käsittelevät minkä tahansa luonnollisen luvun joksikin rationaaliluvuksi ja täyttävät ehdon
Tällaiset tietueet ovat rakentavia objekteja, ja niitä voidaan tarkastella rakentavassa matematiikassa. Kuten tavallista, kaksi reaalilukua ja katsotaan yhtäläisiksi, jos ehto
On huomattava, että kahden mielivaltaisen reaaliluvun yhtäläisyyden tunnistamisen ongelma on algoritmisesti ratkaisematon , ja siksi, kun matemaattisia päätöksiä ymmärretään rakentavasti, väite
"kaikki kaksi reaalilukua ovat joko yhtä suuria tai eivät ole yhtä suuria"osoittautuu vääräksi. Näin ollen joukkoteoreettista ideaa jatkumon atomisuudesta (sen ominaisuus toisistaan selvästi erotetuista pisteistä - todella ääretön joukko todella äärettömiä objekteja) ei siirretä rakentavaan matematiikkaan.
Monet väitteet joukkoteoreettisesta analyysistä konstruktiivisessa analyysissä kumotaan esimerkein. Tällaisia ovat erityisesti lause monotonirajoitetun sekvenssin konvergenssista ja Heine-Borel-lemma peitteen valinnasta. Useita muita joukkoteoreettisen analyysin väitteitä voidaan siirtää konstruktiiviseen matematiikkaan vain, jos halutun kohteen "olemassaolo" ymmärretään kvasi-toteutettavuudeksi (eikä mahdolliseksi toteutettavuudella). Tällaisia ovat lause reaalilukujen esittämisestä systemaattisilla murtoluvuilla ja lause etumerkkimuuttujan jatkuvan funktion nollasta.
Toisaalta konstruktiivinen analyysi todistaa joukon väitteitä, joilla ei ole joukkoteoreettisia analogeja. Yksi silmiinpistävimmistä esimerkeistä tässä on G.S. Tseitinin lause minkä tahansa kuvauksen jatkuvuudesta erotettavasta metriavaruudesta metriseen avaruuteen. Tästä lauseesta seuraa erityisesti, että mikä tahansa metristen avaruuksien kartoitus on Heinen jatkuva. On huomattava, että on esimerkkejä kartoituksista ei-erotettavissa olevista avaruuksista, jotka eivät ole jatkuvia Cauchyn . Siten konstruktiivisessa matematiikassa väite Cauchyn ja Heinen mukaisen kartoituksen jatkuvuuden vastaavuudesta, joka on todistettu klassisessa analyysissä, joka perustuu vahvojen joukkoteoreettisten keinojen käyttöön (erityisesti valinnan aksioomiin ) , voidaan kumota esimerkein.
Katso myös
- Rakentava matematiikka (artikkelissa Mathematics)
- intuitionismi
- Immuunijärjestelmä
- Lasketettavuuden teoria
Muistiinpanot
- ↑ 1 2 Matemaattinen tietosanakirja . - M . : "Pöllöt. tietosanakirja" , 1988. - S. 847 .
Kirjallisuus
- Markov A. A. Valitut teokset. —M.: MTSNMO Publishing House, 2003. — T. II. Algoritmien teoria ja konstruktiivinen matematiikka, matemaattinen logiikka, tietojenkäsittelytiede ja niihin liittyvät asiat. — 626 s. —ISBN 5-94057-113-1.
- Markov A. A. , Nagorny N. M. Algoritmien teoria. - 2. painos - M . : FAZIS, 1996.
- Nagorny N. M. Todellisen äärettömyyden abstraktio, tunnistamisen abstraktio, mahdollisen toteutettavuuden abstraktio // Mathematical Encyclopedia : [5 osassa] / Ch. toim. I. M. Vinogradov . - M . : Neuvostoliiton tietosanakirja, 1977. - T. 1: A - G. - S. 43, 44. - 1152 jne. : sairas. - 150 000 kappaletta.
- Kushner B. A. Luennot rakentavasta matemaattisesta analyysistä. -M.: Nauka, 1973. - 447 s.
- Kushner B. A. Rakentava matematiikka, Matemaattinen tietosanakirja. - M . : Neuvostoliiton tietosanakirja, 1979. - T. 2. - 1042 s.
- Kondakov N. I. Looginen sanakirja-viitekirja. - M .: Nauka, 1975. - 259 s.
- Ruzavin G. I. Matemaattisen tiedon luonteesta. - M . : Ajatus, 1968. - 302 s.
- Akimov O. E. Diskreetti matematiikka: logiikka, ryhmät, graafit. - 2. painos - M . : "Perustiedon laboratorio", 2003. - 376 s.
- HH Nepeyvoda . Rakentava suunta // Uusi filosofinen tietosanakirja : 4 nidettä / esi. tieteellinen toim. V. S. Stepinin neuvo. — 2. painos, korjattu. ja ylimääräistä - M . : Ajatus , 2010. - 2816 s.
 Sanakirjat ja tietosanakirjat | |
|---|---|
| Bibliografisissa luetteloissa |
| Logiikka | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Filosofia • Semantiikka • Syntaksi • Historia | |||||||||
| Logiikkaryhmät |
| ||||||||
| Komponentit |
| ||||||||
| Luettelo loogisista symboleista | |||||||||