Bethe-Salpeterin yhtälö

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 24. huhtikuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

H. Bethen ja E. Salpeterin mukaan nimetty Bethe-Salpeterin yhtälö kuvaa kaksihiukkasen kvanttikenttäjärjestelmän sidotut tilat relativistisesti kovarianttimuodossa . Yhtälö julkaistiin ensimmäisen kerran vuonna 1950 Yoichiro Nambun artikkelin lopussa , mutta ilman johdannaista. [yksi]

Bethe-Salpeterin yhtälön integraalimuoto

Päämenetelmä vuorovaikutuksen ongelmien ratkaisemiseksi on epäilemättä häiriöteoria, mutta tämä ei ole kaukana ainoasta menetelmästä. On olemassa niin sanottuja ei-häiritseviä menetelmiä, ja yksi niistä johtaa Bethe-Salpeterin yhtälöön. Tarkastellaan kahden kytketyn fermionin järjestelmää . Vapaassa teoriassa, kuten tiedetään, yhden hiukkasen aaltofunktiolle (missä on spinoriindeksi ) propagaattori määritellään seuraavasti: $\psi _{a}$ $a$

\psi (x_{2})=-i\int {d\sigma {(x_{1})}S_{F}{(x_{2},x_{1})}n\!\! \!/(x_{1})\psi (x_{1})}

Tässä käytetään merkintää käyttäen "yliviivattuja matriiseja" , - ulomman normaalin 4-vektoria . Integrointi suoritetaan tilavuuden pinnalla, joka sisältää tapahtuman , . Feynmanin levittäjä. Vuorovaikuttamattomien hiukkasten tapauksessa se määritellään seuraavan yhtälön [2] ratkaisuksi : $n(x_{1})$ ${\näyttötyyli x_{2))$ $S_{F}$

(i\nabla \!\!\!/'-m_{0})S_{F}=\delta ^{4}(x'-x)\qquad (1)

Samalla tavalla kuin yhden hiukkasen aaltofunktion levittäjä , voidaan määrittää kahden hiukkasen aaltofunktion levittäjä seuraavalla lausekkeella:

\psi _{ab}(x_{3},x_{4})=\int {d\sigma {(x_{1})}d\sigma {(x_{2})}S^{ab }{(x_{3},x_{1}x_{4},x_{2})}n\!\!\!/(x_{1})n\!\!\!/(x_{2} )\psi _{ab}(x_{1},x_{2})}\qquad (2)

Tässä on spinori kahdella spinoriindeksillä . Vuorovaikuttamattomien hiukkasten tapauksessa kahden hiukkasen aaltofunktio vaimenee yksipartikkelisten hiukkasten tuotteeksi ja propagaattori levittäjien tuotteeksi: ${\displaystyle \psi _{ab))$ ${\näyttötyyli a,b}$

S^{0ab}(x_{3},x_{4};x_{1},x_{2})=iS_{F}^{a}(x_{3},x_{1})S_ {F}^{b}(x_{4},x_{2})

Tämä on kuitenkin mitä vähäpätöisin tapaus. Nyt "kytketään päälle" kahden hiukkasen välinen sähkömagneettinen vuorovaikutus . Jos seuraisimme häiriöteorian ideologiaa, Feynmania seuraten saisimme esityksen seuraavasti: ${\displaystyle S^{ab))$

S^{ab}(x_{3},x_{4};x_{1},x_{2})=iS_{F}^{a}(x_{3},x_{1})S_ {F}^{b}(x_{4},x_{2})+\Sigma

Tällä tarkoitetaan kaikkien mahdollisten häiriöteoriasta saatujen kaavioiden summaa. Yhtälöön johtava ajatus on se, että kaavioiden koko summa merkitään tietyksi ytimeksi . Kutsumme kaaviota pelkistäväksi, jos se katkeaa kahden fermionisen viivan poistamisen jälkeen. Sitten se voidaan esittää kahden kontribuution summana: pelkistyvien kaavioiden osuus ja redusoitumattomien kaavioiden osuus . Voidaan osoittaa [3] , että lauseke for voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti: $\Sigma$ $K$ $K$ ${\overline {K}}$ $S^{ab}(x_{3},x_{4};x_{1},x_{2})$

S^{ab}(x_{3},x_{4};x_{1},x_{2})=iS_{F}^{a}(x_{3},x_{1})S_ {F}^{b}(x_{4},x_{2})+\int {d^{4}x_{5}d^{4}x_{6}d^{4}x_{7}p ^{4}x_{8}\cdot iS_{F}^{a}(x_{3},x_{5})iS_{F}^{b}(x_{4},x_{6}){\ yliviivaus {K}}^{ab}(x_{5},x_{6};x_{7},x_{8})S^{ab}(x_{7},x_{8};x_{1} ,x_{2})}

Korvaamalla tämän lausekkeen saamme Bethe-Salpeterin yhtälön: ${\näyttötyyli (2)}$

\psi _{ab}(x_{1},x_{2})=\varphi _{ab}(x_{1},x_{2})+\int {d^{4}x_{3 }d^{4}x_{4}d^{4}x_{5}d^{4}x_{6}\cdot iS_{F}^{a}(x_{1},x_{5})iS_ {F}^{b}(x_{2},x_{6}){\overline {K}}^{ab}(x_{5},x_{6};x_{3},x_{4}) \psi _{ab}(x_{3},x_{4})}\qquad (3)

Tässä lausekkeessa , on vapaa kahden hiukkasen aaltofunktio, eli aaltofunktio, kun hiukkasten välillä ei ole vuorovaikutusta. Siten olemme saaneet toisen tyyppisen Fredholmin integraaliyhtälön . ${\displaystyle \varphi _{ab))$

Bethe-Salpeterin yhtälön integro-differentiaalimuoto. Kirjoittaminen p-avaruudessa

Toimitaan nyt operaattorien Bethe-Salpeter yhtälön mukaan , voimassa saamme seuraavan lausekkeen: $(i\nabla \!\!\!/_{1}-m_{a}),(i\nabla \!\!\!/_{2}-m_{b})$ ${\näyttötyyli (1)}$

(i\nabla \!\!\!/_{1}-m_{a})(i\nabla \!\!\!/_{2}-m_{b})\psi _{ab }(x_{1},x_{2})=-\int {d^{4}x_{3}d^{4}x_{4}{\overline {K))^{ab}(x_{1 },x_{2};x_{3},x_{4})\psi _{ab}(x_{3},x_{4})}

Näin ollen Fredholm-tyyppisen integraaliyhtälön sijasta saamme integro-differentiaaliyhtälön kahden hiukkasen aaltofunktiolle . Toinen mahdollinen tapa kirjoittaa Bethe-Salpeter-yhtälö on kirjoittaa se liikemääräavaruuteen, eli määrittelemme kaksihiukkasen aaltofunktion Fourier -muunnoksen seuraavasti: $\psi _{ab}(x_{1},x_{2})$ $\psi _{ab}(x_{1},x_{2})$

\chi _{ab}(p_{1},p_{2})={\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int {d^{4}x_{1 }d^{4}x_{2}\cdot e^{i(p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2})}\psi _{ab}{(x_{1},x_ {2})}}

Itse Bethe-Salpeter-yhtälön Fourier-muunnos kirjoitetaan seuraavasti:

{\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int {d^{4}x_{1}d^{4}x_{2}e^{i(p_{1 }x_{1}+p_{2}x_{2})}(i\nabla \!\!\!/_{1}-m_{a})(i\nabla \!\!\!/_{ 2}-m_{b})\psi _{ab}(x_{1},x_{2})}=-{\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int {d ^{4}x_{1}d^{4}x_{2}d^{4}x_{3}d^{4}x_{4}e^{i(p_{1}x_{1}+p_ {2}x_{2})}{\overline {K}}^{ab}(x_{1},x_{2};x_{3},x_{4})\psi _{ab}(x_{ 3},x_{4})}

Vasemmalla puolella voit viedä gradientit eksponenttiin käyttämällä integrointia osien mukaan . Lisäämme myös kaksi delta-funktiota oikealle puolelle. Saamme:

{\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int {d^{4}x_{1}d^{4}x_{2}\left[(i\nabla \ !\!\!/_{1}-m_{a})(i\nabla \!\!\!/_{2}-m_{b})e^{i(p_{1}x_{1} +p_{2}x_{2})}\oikea]\psi _{ab}(x_{1},x_{2})}=

=-{\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int {d^{4}x_{1}d^{4}x_{2}d^{4}x_ {3}d^{4}x_{4}d^{4}x'_{3}d^{4}x'_{4}e^{i(p_{1}x_{1}+p_{ 2}x_{2})}\delta ^{4}(x'_{3}-x_{3})\delta ^{4}(x'_{4}-x_{4}){\overline { K}}^{ab}(x_{1},x_{2};x'_{3},x'_{4})\psi _{ab}(x_{3},x_{4})}

Käyttämällä delta-funktioiden impulssiesitystä alukkeilla varustettujen muuttujien kanssa, voimme kirjoittaa ytimen uudelleen impulssiesitykseen, nimittäin: ${\overline {K}}^{ab}$

{\overline {K}}^{ab}(p_{1},p_{2};p_{3},p_{4})={\frac {1}{(2\pi )^{ 8}}}\int {d^{4}x_{1}d^{4}x_{2}d^{4}x_{3}d^{4}x_{4}e^{i(p_{ 1}x_{1}+p_{2}x_{2}-p_{3}x_{3}-p_{4}x_{4})}{\overline {K}}^{ab}(x_{1 },x_{2};x_{3},x_{4})}

Tätä käyttämällä saamme Bethe-Salpeterin yhtälön liikemäärämuodossa:

({\cancel {p}}_{1}-m_{a})({\cancel {p}}_{2}-m_{b})\chi _{ab}(p_{1} ,p_{2})=-\int {d^{4}p'_{1}d^{4}p'_{2}{\overline {K}}^{ab}(p_{1}, p_{2};p'_{1},p'_{2})\chi _{ab}(p'_{1},p'_{2})}

Muut esitykset

Johtuen yleisyydestään ja siitä, että sitä käytetään monilla teoreettisen fysiikan aloilla , Bethe-Salpeterin yhtälö voidaan löytää eri muodoissa. Yksi korkean energian fysiikassa usein käytetty muoto on:

\Gamma (P,p)=\int \!{\frac {d^{4}k}{(2\pi )^{4))}\;K(P,p,k)\, S(k-{\tfrac {P}{2}})\,\Gamma (P,k)\,S(k+{\tfrac {P}{2}})

missä on Bethe-Salpeterin amplitudi , kuvaa kahden hiukkasen vuorovaikutusta ja on niiden levittäjä . ${\näyttötyyli \gamma }$ $K$ $S$

Koska tämä yhtälö voidaan saada identifioimalla sidotut tilat S-matriisin navoilla , se voidaan yhdistää sirontaprosessien kvanttikuvaukseen ja Greenin funktioihin .

Edes yksinkertaisille järjestelmille, kuten positroniumille , yhtälöä ei voida ratkaista tarkasti, vaikka se periaatteessa sanotaan tarkasti. Onneksi tilojen luokittelu voidaan tehdä ilman tarkkaa ratkaisua. Jos yksi hiukkanen on paljon massiivisempi kuin toinen, niin tehtävä yksinkertaistuu huomattavasti, ja tässä tapauksessa Dirac-yhtälö ratkaistaan kevyelle hiukkaselle, joka sijaitsee raskaan hiukkasen luomassa ulkoisessa potentiaalissa .

Muistiinpanot

↑ Y. Nambu. Voimapotentiaalit kvanttikenttäteoriassa // Teoreettisen fysiikan edistyminen. - 1950. - Voi. 5 , ei. 4 . - doi : 10.1143/PTP.5.614 .
↑ Walter Greiner, Joachim Reinhardt. Kvanttikromodynamiikka . – 3. - Springer, 2007. - S. 46 -47. — 475 s.
↑ Walter Greiner, Joachim Reinhardt. Kvanttikromodynamiikka. - Springer. - S. 347-348. — 475 s.

Kirjallisuus

W. Greiner , J. Reinhardt. Kvanttielektrodynamiikka. – 3. - Springer (kustantaja), 2003. - ISBN 978-3-540-44029-1 .
N. Nakanishi. Yleiskatsaus Bethe-Salpeterin yhtälön teoriasta (englanniksi) // Teoreettisen fysiikan edistyminen. - 1969. - Voi. 43 . - s. 1-81 . - doi : 10.1143/PTPS.43.1 .
N.N. Bogolyubov, D.V. Shirkov, Johdatus kvantisoitujen kenttien teoriaan, 1973