Orr-Sommerfeld yhtälö

Orr-Sommerfeld- yhtälö on yhtälö hydrodynaamisesta ominaisarvoongelmasta , joka kuvaa viskoosin kokoonpuristumattoman nesteen tasosuuntaisen virtauksen stabiilisuutta mielivaltaisilla reunaehdoilla ja nopeusprofiililla. Se on yksi hydrodynaamisen stabiiliuden teorian perusyhtälöistä .

Yhtälö julkaistiin ensimmäisen kerran William McFadden Orrin ja Arnold Sommerfeldin teoksissa vuosina 1907-1908.

Ongelman kuvaus

Orr-Sommerfeld-yhtälö saadaan Navier-Stokes-yhtälöistä liikkumattoman virtauksen pienille häiriöille. Olettaen, että virtausnopeus voidaan esittää muodossa

{\vec {v}}=U(z){\vec {e}}_{x}+{\vec {v}}'(x,z),

missä on stationaarinen virtausprofiili, voidaan siirtyä häiriöille linearisoituihin Navier-Stokes-yhtälöihin, jotka sallivat ratkaisut liikkuvien aaltojen muodossa , missä on häiriöaaltojen lukumäärä akselilla ja niiden etenemisnopeus. $U(z)$ ${\vec {v))'\sim \exp(ik(x-ct))$ $k$ $x$ $c$

Jättämällä peräkkäin paineen ja häiriönopeuden vaakakomponentin pois yhtälöistä suoraan tai siirtymällä virtafunktioon , voimme saada järjestelmän yhteen yhtälöön pystykomponentille, nopeuspotentiaalille tai virtausfunktiolle valitusta riippumatta. muunnokset:

(Uc)\left({\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2))}-k^{2}\varphi \right)-{\frac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}\varphi ={\frac {1}{ik\mathrm {Re} }}\left({\frac {\partial ^{4}\varphi } {\partial z^{4))}-2k^{2}{\frac {\osittinen ^{2}\varphi }{\partial z^{2))}+k^{4}\varphi \right) ,

missä on dimensioton Reynoldsin luku . $\mathrm{Re}$

Kun kirjoitetaan häiriöt muodossa , jossa on häiriötekijöiden inkrementti (kasvunopeus), voidaan saada hieman erilainen yhtälön muoto: ${\vec {v))'\sim \exp(ikx+\lambda t)$ $\lambda$

(\lambda +ikU)\left({\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2))}-k^{2}\varphi \right)-ik{\ frac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2))}\varphi ={\frac {1}{\mathrm {Re} }}\left({\frac {\partial ^{4} \varphi }{\partial z^{4))}-2k^{2}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2))}+k^{4}\varphi \oikea).

Yhtälöä on täydennetty ongelmaa vastaavien häiriöiden reunaehdoilla. Esimerkiksi virtaukselle kanavassa, jossa on kaksi kiinteää seinää, niille suoritetaan seuraava:

\varphi =0,{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}=0,

jos tarkoitamme häiriönopeuden pystykomponenttia tai nopeuskentän potentiaalia, tai $\varphi$

\varphi =0,{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}=0,

if on virran funktio. $\varphi$

Tuloksena olevan raja-arvoongelman ominaisarvo on häiriön etenemisnopeus , joka riippuu aaltoluvusta ja Reynoldsin luvusta. Yleisessä tapauksessa se on kompleksiluku , ja jos nopeuden kuvitteellinen osa osoittautuu positiiviseksi, tämä johtaa häiriötekijöiden eksponentiaaliseen kasvuun ajassa ja vastaavasti stationaarisen virtauksen ja siirtymän stabiilisuuden menettämiseen. laminaarisesta turbulenttiseen virtaukseen . _ $c$

Ratkaisut yhtälöön

Yleisesti ottaen edes yksinkertaisimmille nopeusprofiileille, kuten Poiseuille-virtaukselle , tätä yhtälöä ei voida ratkaista analyyttisesti. Tarkka ratkaisu voidaan saada vain Couette-virtaukselle (katso alla). Satunnaisille virtauksille asymptoottisia menetelmiä, spektrimenetelmiä ( kollokaatiomenetelmä , Galerkin-menetelmä jne.), erikoisalgoritmeja raja- arvoongelmien numeeriseen ratkaisemiseen, kuten ammuntamenetelmä tai differentiaalinen pyyhkäisymenetelmä tai suora numeerinen simulointi virtauksen epävakautta käytetään.

Couette-virtauksen vakauden analyysi

Katso myös

Kirjallisuus

Orr, W. M'F. (1907). "Nesteen tasaisten liikkeiden stabiilisuus tai epävakaus. Osa I". Irlannin kuninkaallisen akatemian julkaisut. A27:9-68
Orr, W. M'F. (1907). "Nesteen tasaisten liikkeiden stabiilisuus tai epävakaus. Osa II". Irlannin kuninkaallisen akatemian julkaisut. A27:69-138
Sommerfeld, A. (1908). "Ein Beitrag zur hydrodynamische Erklärung der turbulenten Flüssigkeitsbewegungen". 4. kansainvälisen matemaatikoiden kongressin julkaisut III. Rooma. s. 116-124
Lin Chia Chiao . Hydrodynaamisen stabiilisuuden teoria. Moskova: Ulkomainen kirjallisuus, 1958.

Sanakirjat ja tietosanakirjat	iso kiinalainen