Yang-Baxterin yhtälö

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 19. heinäkuuta 2020 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Yang-Baxterin yhtälö (faktorointiyhtälö, kolmioyhtälö) on yhtälö, joka kuuluu täsmälleen ratkaistavien ongelmien luokkaan . Se on paikallisten ekvivalenssimuunnosten muodossa, joita esiintyy monenlaisissa tapauksissa, kuten sähköpiireissä , solmuteoriassa ja punosteoriassa , spin-järjestelmissä . Se on saanut nimensä C. N. Youngin vuonna 1968 ja R. D. Baxterin vuonna 1971 tekemästä itsenäisestä työstä tilastomekaniikassa .

Parametririippuvainen Yang-Baxterin yhtälö

Merkitään assosiatiivisella algebralla yksiköllä . Parametririippuvainen Yang-Baxterin yhtälö on algebran tensoritulon parametririippuvaisen käännettävän elementin yhtälö (tässä parametri , joka yleensä vaihtelee kaikkien reaalilukujen kohdalla additiivisen parametrin tapauksessa tai kaikkien positiivisten reaalilukujen osalta numerot kertovan parametrin tapauksessa). Kun kyseessä on additiivinen parametri, Yang-Baxterin yhtälö on funktionaalinen yhtälö $A$ $R(u)$ $A\otimes A$ $u$

R_{12}(u)\ R_{13}(u+v)\ R_{23}(v)=R_{23}(v)\ R_{13}(u+v)\ R_{12 }(u),

funktioon , johon kaksi muuttujaa ja korvataan määritetyllä tavalla . Joskus se voi muuttua yksiulotteiseksi projektoriksi , mikä johtaa kvanttideterminanttiin. Kertovan parametrin osalta Yang-Baxterin yhtälöllä on muoto $R$ $u$ $v$ $u$ $R(u)$

R_{12}(u)\ R_{13}(uv)\ R_{23}(v)=R_{23}(v)\ R_{13}(uv)\ R_{12}(u) ,

funktioon , jossa , , ja , kaikille parametrin arvoille ja , , ja , ovat algebran morfismit , jotka määritellään $R$ $R_{12}(w)=\phi _{12}(R(w))$ $R_{13}(w)=\phi _{13}(R(w))$ $R_{23}(w)=\phi _{23}(R(w))$ $w$ $\phi _{12}:A\otimes A\otimes A\otimes A\otimes A$ $\phi _{13}:A\otimes A\otimes A\otimes A\otimes A$ $\phi _{23}:A\otimes A\otimes A\otimes A\otimes A$

\phi _{12}(a\otimes b)=a\otimes b\otimes 1,

\phi _{13}(a\otimes b)=a\otimes 1\otimes b,

\phi _{23}(a\otimes b)=1\otimes a\otimes b.

Joissakin tapauksissa määräävä tekijä[ epäselvä ] voi mitätöidä tietyillä spektriparametrin arvoilla ja joskus jopa muuttuu yksiulotteiseksi projektoriksi. Tässä tapauksessa kvanttideterminantti voidaan määrittää. $R(u)$ $u=u_{0}$ $R(u)$

Parametrista riippumaton Yang-Baxterin yhtälö

Merkitään assosiatiivisella algebralla yksiköllä . Parametrista riippumaton Yang-Baxterin yhtälö on yhtälö algebran tensoritulon käännettävälle elementille . Yang-Baxterin yhtälöllä on muoto $A$ $R$ $A\otimes A$

R_{12}\ R_{13}\ R_{23}=R_{23}\ R_{13}\ R_{12},

missä , , ja . $R_{12}=\phi _{12}(R)$ $R_{13}=\phi _{13}(R)$ $R_{23}=\phi _{23}(R)$

Olkoon moduuli ohi . _ Olkoon lineaarinen kartta , joka tyydyttää kaikkia . Sitten punosryhmän esitys voidaan rakentaa kohtaan , missä on . Tätä esitystä voidaan käyttää punosten , solmujen , kvasi-invarianttien määrittämiseen . $V$ $A$ $T:V\otimes V\to V\otimes V$ $T(x\otimes y)=y\otimes x$ $x,y\in V$ $B_n$ ${\displaystyle V^{\otimes n))$ ${\displaystyle \sigma _{i}=1^{\otimes i-1}\otimes {\check {R))\otimes 1^{\otimes ni-1))$ $i=1,\pisteet ,n-1$ ${\check {R}}=T\circ R$ $V\otimes V$

Kirjallisuus

H.D. Doebner, J.-D. Hennig, toim., Quantum groups, Proceedings of the 8th International Workshop on Mathematical Physics, Arnold Sommerfeld Institute, Clausthal, FRG, 1989 , Springer-Verlag Berlin, ISBN 3-540-53503-9 .
Vyjayanthi Chari ja Andrew Pressley, A Guide to Quantum Groups , (1994), Cambridge University Press, Cambridge ISBN 0-521-55884-0 .
Jacques HH Perk ja Helen Au-Yang, "Yang-Baxter Equations", (2006), arXiv : math-ph/0606053 .
Manin Yu. I. Johdatus kaavioiden ja kvanttiryhmien teoriaan. - M. : MTSNMO, 2012. - 256 s. - ISBN 978-5-94057-635-8 .