Euler-Lagrange yhtälö

Euler-Lagrange-yhtälöt (fysiikassa myös Lagrange-Euler-yhtälöt tai Lagrange-yhtälöt ) ovat variaatiolaskelman peruskaavoja , joiden avulla etsitään funktionaalisten stationaarisia pisteitä ja ääripäitä . Erityisesti näitä yhtälöitä käytetään laajasti optimointiongelmissa, ja niitä käytetään yhdessä toiminnan stationaarisuuden periaatteen kanssa liikeratojen laskemiseen mekaniikassa. Teoreettisessa fysiikassa yleensä nämä ovat (klassisia) liikeyhtälöitä siinä yhteydessä, että ne johdetaan eksplisiittisesti kirjoitetusta toiminnan ilmaisusta ( Lagrangian ).

Euler-Lagrange-yhtälöiden käyttö funktionaalin ääripään löytämiseen on tavallaan samankaltaista kuin differentiaalilaskennan lause, jonka mukaan sileä funktio voi olla vain siinä kohdassa, jossa funktion ensimmäinen derivaatta katoaa. ääriarvo (vektoriargumentin tapauksessa funktion gradientti rinnastetaan nollaan, eli derivaatta vektoriargumentin suhteen). Tarkemmin sanottuna tämä on vastaavan kaavan suora yleistys funktionaaleihin – äärettömän ulottuvuuden argumentin funktioihin.

Yhtälöt johtivat Leonhard Euler ja Joseph-Louis Lagrange 1750 - luvulla .

Sanamuoto

Anna toimivan

J(f)=\int \limits _{a}^{b}F(x,f(x),f'(x))\,dx

tasaisten funktioiden avaruudessa , jossa tarkoittaa ensimmäistä derivaatta suhteessa . $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ $f'$ $f$ $x$

Oletetaan, että integrandilla on jatkuvat ensimmäiset osittaiset derivaatat . Funktiota kutsutaan Lagrange-funktioksi tai Lagrange -funktioksi . $F(x,f(x),f'(x))$ $F$

Jos funktio saavuttaa jonkin funktion ääripisteen , niin tavallisen differentiaaliyhtälön tulee täyttyä sille $J$ $f$

{\frac {\partial F}{\partial f))-{\frac {d}{dx)){\frac {\partial F}{\partial f'))=0,

jota kutsutaan Euler-Lagrange yhtälöksi .

Esimerkkejä

Harkitse tavallista esimerkkiä: etsi lyhin reitti kahden tason pisteen välillä. Vastaus on tietysti segmentti, joka yhdistää nämä pisteet. Yritetään saada se käyttämällä Euler-Lagrange-yhtälöä olettaen, että lyhin polku on olemassa ja on tasainen käyrä .

Olkoon yhdistettävillä pisteillä koordinaatit ja . Sitten näitä pisteitä yhdistävän polun pituus voidaan kirjoittaa seuraavasti: ${\näyttötyyli (a,c)}$ ${\näyttötyyli (b,d)}$ $y(x)$

L=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}dx.

Tämän funktion Euler-Lagrange-yhtälö on seuraavanlainen:

{\frac d{dx}}{\frac {\partial }{\partial y'}}{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}} =0,

mistä saamme sen

{\frac {dy}{dx}}=C\Rightarrow y=Cx+D.

Siten saamme suoran viivan. Ottaen huomioon, että , ts. se kulkee alkuperäisten pisteiden läpi, saamme oikean vastauksen: pisteitä yhdistävän suoran janan. $y(a)=c$ ${\näyttötyyli y(b)=d}$

Moniulotteiset muunnelmat

Euler-Lagrange-yhtälöistä on myös monia moniulotteisia versioita.

Jos on polku -ulotteisessa avaruudessa, niin se antaa funktionaalille ääripään $q(t)$ $n$

J=\int \limits _{{t1}}^{{t2}}L(t,q(t),q'(t))\,dt

vain jos se täyttää ehdon

{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial q'_{k}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}=0

\forall k=1,2,\pisteet n

Kun fysikaalisissa sovelluksissa on Lagrange (eli jonkin fyysisen järjestelmän Lagrangian; toisin sanoen, jos J on toiminta tälle järjestelmälle), nämä yhtälöt ovat (klassisia) liikeyhtälöitä tällaiselle järjestelmälle. Tämä väite voidaan suoraan yleistää äärettömän ulottuvuuden q tapaukselle . $L$

Toinen monimuuttuja yleistys saadaan ottamalla huomioon muuttujien funktio. Jos on jokin (tässä tapauksessa n -ulotteinen) pinta, niin $n$ $\Omega$

J=\int \limits _{{\Omega }}L(f,x_{1},\pisteet ,x_{n},f_{{x_{1}}},\pisteet ,f_{{x_{n} }})\,d\Omega,

missä ovat itsenäiset koordinaatit, , , $x_{i}=x_{1},x_{2},x_{3},\pisteet ,x_{n}$ $f=f(x_{1},x_{2},x_{3},\pisteet ,x_{n})$ $f_{{x_{i))}\equiv {\frac {\partial f}{\partial x_{i))}$

antaa ääripään vain, jos se täyttää osittaisen differentiaaliyhtälön $f$

{\frac {\partial L}{\partial f}}-\sum _{{i=1}}^{{n}}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\osittais L}{\osittais f_{{x_{i))))}=0.

Jos ja on energia toimiva, niin tätä ongelmaa kutsutaan "saippuakalvon pinnan minimoimiseksi". $n = 2$ $L$

Ilmeistä yhdistelmää kahdesta edellä kuvatusta tapauksesta käytetään liikeyhtälöiden saamiseksi hajautetuille järjestelmille, kuten fysikaalisille kentille, värähteleville kielille tai kalvoille ja niin edelleen.

Erityisesti edellisessä kappaleessa esimerkkinä annetun saippuakalvon staattisen tasapainoyhtälön sijasta meillä on tässä tapauksessa tällaisen kalvon dynaaminen liikeyhtälö (jos tietysti onnistuimme alunperin kirjoittamaan muistiin sen toiminta, eli kineettinen ja potentiaalinen energia).

Historia

Euler ja Lagrange saivat Euler-Lagrange-yhtälön 1750 - luvulla ratkaiseessaan isokroniongelmaa. Tämä on ongelma sen käyrän määrittämisessä, jonka raskas hiukkanen vie kiinteään pisteeseen kiinteässä ajassa, riippumatta aloituspisteestä.

Lagrange ratkaisi tämän ongelman vuonna 1755 ja lähetti ratkaisun Eulerille. Myöhemmin kehitetty Lagrangen menetelmä ja sen soveltaminen mekaniikassa johtivat Lagrangen mekaniikan muotoiluun . Tiedemiesten kirjeenvaihto johti variaatiolaskelman luomiseen (termiä ehdotti Euler vuonna 1766 ).

Todiste

Yksiulotteisen Euler-Lagrange-yhtälön johtaminen on yksi matematiikan klassisista todisteista. Se perustuu variaatiolaskelman päälemmaan .

Haluamme löytää funktion , joka täyttää reunaehdot ja toimittaa funktionaalille ääripään $f$ $f(a)=c$ $f(b)=d$

J=\int \limits _{a}^{b}F(x,f(x),f'(x))\,dx.

Oletetaan, että sillä on jatkuvat ensimmäiset derivaatat. Myös heikommat olosuhteet riittävät, mutta yleisen tapauksen näyttö on monimutkaisempi. $F$

Jos antaa funktiolle ääripään ja täyttää rajaehdot, niin minkä tahansa heikon häiriön , joka säilyttää reunaehdot, on lisättävä arvoa (jos se minimoi) tai vähennettävä sitä (jos se maksimoi sen). $f$ $f$ $J$ $f$ $J$ $f$

Antaa olla mikä tahansa differentioituva funktio, joka täyttää ehdon . Määritellään $\eta (x)$ $\eta (a)=\eta (b)=0$

J(\varepsilon )=\int \limits _{a}^{b}F(x,f(x)+\varepsilon \eta (x),f'(x)+\varepsilon \eta '(x)) \,dx.

missä on mielivaltainen parametri. $\varepsilon$

Koska se antaa ääripään , Sitten , Se on $f$ $J(0)$ $J'(0)=0$

J'(0)=\int \limits _{a}^{b}\left[\eta (x){\frac {\partial F}{\partial f))+\eta '(x){\frac {\partial F}{\partial f'}}\right]\,dx=0.

Integroimalla toinen termi osittain, huomaamme sen

0=\int \limits _{a}^{b}\left[{\frac {\partial F}{\partial f))-{\frac {d}{dx)){\frac {\partial F} {\partial f'}}\right]\eta (x)\,dx+\left[\eta (x){\frac {\partial F}{\partial f'}}\right]_{a}^{ b}.

Käyttämällä reunaehtoja , saamme $\eta$

0=\int \limits _{a}^{b}\left[{\frac {\partial F}{\partial f))-{\frac {d}{dx)){\frac {\partial F} {\osittais f'}}\oikea]\eta (x)\,dx.

Tästä eteenpäin, koska - mikä tahansa, seuraa Euler-Lagrange-yhtälö: $\eta (x)$

{\frac {\partial F}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial F}{\partial f'}}=0.

Jos emme ota käyttöön reunaehtoja , vaaditaan myös poikittaisehdot: $f(x)$

{\frac {\partial F}{\partial f'}}(a,f(a),f'(a))=0

{\frac {\partial F}{\partial f'}}(b,f(b),f'(b))=0

Yleistys tapaukseen, jossa on korkeammat derivaatat

Lagrangian voi myös riippua johdannaisista, joiden kertaluokka on korkeampi kuin ensimmäinen. $f$

Olkoon funktionaali, jonka ääripää löytyy, muodossa:

J=\int \limits _{a}^{b}F(x,f(x),f'(x),f''(x),...,f^{{(n)}}( x))\,dx.

Jos asetamme sen derivaateille ja niiden derivaateille rajaehdot kertalukua mukaan lukien ja oletamme myös, että sillä on jatkuvia osittaisderivaataita järjestyksessä [1] , niin käyttämällä osien integrointia useita kertoja, voimme johtaa Eulerin analogin. -Lagrangen yhtälö myös tähän tapaukseen: $f$ $n-1$ $F$ $2n$

{\frac {\partial F}{\partial f))-{\frac {d}{dx)){\frac {\partial F}{\partial f'))+{\frac {d^{2} }{dx^{2))}{\frac {\partial F}{\partial f''}}-\cdots +(-1)^{n}{\frac {d^{n}}{dx^ {n}}}{\frac {\partial F}{\partial f^{{(n))))))=0.

Tätä yhtälöä kutsutaan usein Euler-Poisson-yhtälöksi .

Kaksi lagrangialaista, jotka eroavat kokonaisderivaatalla, antavat saman differentiaaliyhtälön, mutta derivaattojen maksimijärjestys näissä Lagrangioissa voi olla erilainen. Esimerkiksi . Differentiaaliyhtälön saamiseksi ääripäälle riittää soveltaa "tavallista" Euler-Lagrange-yhtälöä kohtaan , ja :lle , koska se riippuu toisesta derivaatta, on käytettävä Euler-Poisson-yhtälöä vastaavan termin kanssa: $L_{1}=(f^{\alkuluku }(x))^{2}~,~L_{2}=-f(x)f^{{\prime \prime }}(x)~,~L_ {1}-L_{2}={\frac {d}{dx}}(f(x)f^{\prime }(x))$ $L_{1}$ $L_{2}$

{\frac {\partial L_{1}}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L_{1}}{\partial f'}}=-2f^ {{\prime \prime ))(x),

{\frac {\partial L_{2}}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L_{2}}{\partial f'}}+{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}{\frac {\partial L_{2}}{\partial f^({\prime \prime }}}}=-2f^{{\prime \ alkuluku}}(x),

ja molemmissa tapauksissa saadaan sama differentiaaliyhtälö . $-2f^{{\prime \prime }}(x)=0$

Muistiinpanot

↑ A. M. Denisov, A. V. Razgulin. Tavalliset differentiaaliyhtälöt (venäjäksi) ? . Haettu 11. kesäkuuta 2021. Arkistoitu alkuperäisestä 11. kesäkuuta 2021. (määrätön)

Kirjallisuus

Alekseev V. M., Tikhomirov V. M., Fomin S. V. Optimaalinen ohjaus. - M.: Nauka, 1979
Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Moderni geometria: menetelmät ja sovellukset. - M.: Nauka, 1979
Elsgolin LE -differentiaaliyhtälöt ja variaatiolaskenta. - M.: Nauka, 1969.
Zelikin M. I. Homogeeniset avaruudet ja Riccatin yhtälö variaatiolaskelmassa, - Factorial, Moskova, 1998.
Zelikin M. I. Optimaalinen säätö ja variaatioiden laskenta, - URSS, Moskova, 2004.

Linkit

Weisstein, Eric W. Euler-Lagrange (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
Calculus of Variations (englanniksi) PlanetMath- verkkosivustolla .
Yhteenveto historiallisilla tiedoilla
Esimerkkejä - ongelmia variaatiolaskelmasta.