Landau tasoilla

Landau tasoilla

Nimetty	Lev Davidovich Landau
Osavaltio	Neuvostoliitto
Löytäjä tai keksijä	Lev Davidovich Landau
avauspäivämäärä	1930
Kaava, joka kuvaa lakia tai lausetta	$E(n,k_{z})={\frac {\hbar ^{2}k_{z}^{2}}{2m}}+\hbar \omega _{c}\left(n+{ \frac {1}{2}}\right),\qquad$

Landau-tasot ovat varautuneen hiukkasen energiatasoja magneettikentässä . L. D. Landau sai ensimmäisenä ratkaisuna Schrödingerin yhtälöön elektronille magneettikentässä vuonna 1930 . Ratkaisu tähän ongelmaan on kvanttiharmonisen oskillaattorin Hamiltonin ominaisarvot ja ominaisfunktiot . Landau-tasoilla on olennainen rooli kineettisissä ja termodynaamisissa ilmiöissä vahvan magneettikentän läsnä ollessa.

Alkuhuomautukset

Kvanttimekaniikassa Kööpenhaminan tulkinnan mukaan hiukkasilla ei ole tarkkaa koordinaattia ja voidaan puhua vain todennäköisyydestä löytää hiukkanen tietyltä avaruuden alueelta. Hiukkasen tilaa kuvaa aaltofunktio , kun taas hiukkasen (tai hiukkasjärjestelmän) dynamiikkaa kuvaa ei Newtonin toinen laki, vaan paljon monimutkaisempi Schrödingerin yhtälö . (Schrodingerin yhtälö pätee vain ei-relativistisessa tapauksessa, eli kun hiukkasten nopeus on paljon pienempi kuin valon nopeus, muuten pätee vielä monimutkaisempi Dirac-yhtälö .)

Schrödinger-yhtälön ominaispiirre on, että sen ominaisarvot voivat olla diskreettejä. Esimerkiksi planeetat voivat kiertää Auringon ympäri minkä tahansa säteen kiertoradalla ja niillä voi olla jatkuva joukko energia-arvoja, ja vetyatomissa oleva elektroni puoliklassisessa approksimaatiossa "pyörii" protonin ympäri tietyn säteen kiertoradalla ja voi olla vain jotkut sallitut energiat ovat edustettuina energiaspektrissä.

Kvanttimekaniikan lakien löytämisen myötä heräsi kysymys: mitä tapahtuu hiukkasten liikkeelle magneettikentässä kvanttimekaanisessa tapauksessa? Tämän ongelman ratkaisemiseksi on tarpeen ratkaista Schrödingerin yhtälö. Neuvostoliiton fyysikko Landau teki tämän ensimmäisen kerran vuonna 1930 . [1] Kävi ilmi, että hiukkanen voi liikkua magneettikenttää pitkin millä tahansa nopeudella, mutta tietyllä nopeusprojektiolla magneettikentän poikki hiukkanen voi miehittää vain erillisiä energiatasoja. Näitä tasoja kutsuttiin Landau-tasoiksi.

Alla on puoliklassinen ratkaisu energiaspektriongelmasta, Schrödingerin yhtälö (3), (8) ja sen ratkaisu (7), lisäksi:

yhtälö (1) kuvaa hiukkasen energiatasoja magneettikentässä (Landau-tasot),
yhtälö (10) kuvaa hiukkasen energiatasoja kohtisuorassa sähkö- ja magneettikentissä.
yhtälö (11) kuvaa hiukkasen energiatasoja kaksiulotteisessa avaruudessa.

Puoliklassinen tapaus

Ulkoisessa magneettikentässä nopeudella liikkuvaan elektroniin kohdistuu Lorentzin voima , $\mathbf{v}$ $\mathbf {B}$

$\mathbf {\piste {p))={\frac {e}{c}}\left[\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right],$

missä on liikemäärävektori, on alkeissähkövaraus , on elektronin massa , on valon nopeus tyhjiössä, piste tarkoittaa erilaistumista ajan suhteen. Sen liikerata on heliksi, ja kiertoradan projektio vektoriin nähden kohtisuoraan tasoon on sädeympyrä ( Larmorin säde on liikemäärän komponentti , joka on kohtisuorassa kenttään). Elektronin liikerata liikemääräavaruudessa on ympyrä, jonka säde on . $\mathbf {p} =m\mathbf {v}$ $e$ $m$ $c$ $\mathbf {B}$ ${{r}_{L}}=c{{p}_{\bot }}/\left(eB\right)$ ${{p}_{\bot ))$ ${{p}_{\bot ))$

Kvanttimekaniikan yleisten periaatteiden mukaan avaruudessa rajoitettu liikkeen energia magneettikenttää vastaan kohtisuorassa tasossa kvantisoidaan. Puoliklassisessa approksimaatiossa elektronin energiatasot voidaan löytää Lifshitz - Onsagerin kaavan [2] perusteella, mikä on seurausta Bohr-Sommerfeldin kvantisointisäännöstä : [3]

$S\left(E,{{p}_{z}}\right)={\frac {2\pi e\hbar B}{c}}\left(n+\gamma \right),$

missä on pelkistetty Planck-vakio , on vakioenergian pinnan (pallon) poikkileikkauspinta-ala tason mukaan, akseli on suunnattu magneettikenttää pitkin, . Alueen korvaaminen lausekkeella $\hbar$ $S\left(E,{{p}_{z}}\right)$ $E=const$ ${{p}_{z}}=const$ $z$ $\left|\gamma \right|\leq 1/2$

$S=\pi p_{\bot }^{2}=\pi \left(2mE-p_{z}^{2}\right)$

saamme lausekkeen Landau-tasoille, jotka ovat voimassa : $n\gg 1$

${{E}_{n}}\left({{p}_{z}}\right)=\hbar {{\omega }_{c}}\left(n+\gamma \right)+ {\frac {p_{z}^{2}}{2m}}.$

missä on syklotronitaajuus (CGS). $\omega _{c}={\frac {eB}{mc))$

3D-kotelo

Elektronin energiaspektri (energia-arvo sen tilasta riippuen) magneettikentässä kolmiulotteisessa tapauksessa on esitetty yksinkertaisessa muodossa [4]

E(n,k_{z})={\frac {\hbar ^{2}k_{z}^{2}}{2m}}+\hbar \omega _{c}\left(n+{ \frac {1}{2}}\right),\qquad (1)

missä on aaltovektori suunnassa , joka on otettu magneettikentän suunnaksi. Tässä energiaspektri on helppo tulkita. Liike magneettikenttää pitkin, jossa magneettikenttä ei vaikuta varautuneeseen hiukkaseen, esitetään tasoaaltoina, kuten vapaa hiukkanen, jolla on aaltovektori . Liike magneettikenttään nähden kohtisuorassa suunnassa on rajoitettua ja energiaspektri on täysin kvantisoitu. Vaikka hiukkasen liike tapahtuu kolmiulotteisessa avaruudessa, energiaspektri riippuu vain kahdesta kvanttiluvusta : jatkuvasta ja diskreetistä . Tämä tarkoittaa, että hiukkasen spektri on rappeutunut . Kolmiulotteisessa tapauksessa on olemassa kaksinkertainen energian rappeutuminen suhteessa aaltovektorin projektioon magneettikentän suuntaan . Tämän lisäksi Landau-tason rappeutuminen on yhtä suuri $k_{z}$ ${\overrightarrow {z))$ $(yksi)$ $k_{z}$ $k_{z}$ $n$ $\pm k_{z}$

N_{L}={\frac {eBS}{2\pi \hbar c)),\qquad (2)

Kunkin Landau-tason rappeutumiskerroin on yhtä suuri kuin näytteen poikkileikkausalan suhde magneettikenttään kohtisuorassa tasossa ympyrän pinta-alaan, jonka säde on yhtä suuri kuin magneettinen pituus $S$

l_{H}={\sqrt {\frac {\hbar c}{eB))},

joka on hiukkasen suuren todennäköisyyden alueen ominaiskoko.

Lisäksi vapaille elektroneille kolmiulotteisessa avaruudessa havaitaan suunnilleen kaksinkertainen spinin energiatasojen rappeutuminen . Tämä rappeutuminen on kuitenkin ei-triviaali, koska se edellyttää, että Landau-taso spin-alas-elektronille on täsmälleen sama kuin Landau-taso spin-up-elektronille plus elektronin magneettinen momentti magneettikentässä. Toisin sanoen elektronin g-tekijän vaaditaan olevan täsmälleen 2 (tämä, kuten kvanttielektrodynamiikka osoittaa , ei ole täysin totta). Tämä vaatimus ei täyty elektroneille, jotka ovat kvasihiukkasia kiinteissä aineissa (elektronin tehollinen massa ja sen magneettinen momentti liittyvät vain vähän). Ongelma elektronista, jonka spin ja g-kerroin on 2, on kuitenkin teoreettisesti kiinnostava, koska se voidaan esittää supersymmetrian ongelmana [5] .

Schrödingerin yhtälön ratkaisusta elektronille magneettikentässä

Kiinteä Schrödinger-yhtälö elektronille magneettikentässä on esitetty muodossa

{\frac {1}{2m}}\left({\hat {\mathbf {p} }}-{\frac {e}{c}}{\hat {\mathbf {A} }}\ oikea)^{2}\Psi _{n}(\mathbf {r} )=E_{n}\Psi _{n}(\mathbf {r} ),\qquad (3)

missä ja ovat elektronin liikemäärä operaattori ja magneettikentän vektoripotentiaali , vastaavasti, on elektroniaaltofunktio , on energia ja indeksi ilmaisee n :ttä Landau-tasoa. Landau-mittarissa yhtälö voidaan kirjoittaa muotoon $\hat{\mathbf{p}}$ ${\hat {\mathbf {A} ))$ $\Psi _{n}(\mathbf {r} )$ $E_{n}$ $n$ $(3)$

\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)+{\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y }}-{\frac {eB}{c}}x\oikea)^{2}\oikea]\Psi _{n}(x,y,z)=E_{n}\Psi _{n}(x ,y,z).\qquad(4)

Tämän yhtälön muuttujien erottamiseksi on kätevää etsiä ratkaisua kolmen funktion tulona

\Psi _{n}(x,y,z)={\frac {1}{\sqrt {L_{z}L_{y))))e^{ik_{z}z}e^{ ik_{y}y}\psi _{n,k_{y}}(x),\qquad (5)

missä ja ovat järjestelmän mitat ja ovat aaltovektoreita, aaltofunktion indeksi tarkoittaa , että se riippuu siitä parametrina. Korvaamalla , saamme yksiulotteisen yhtälön $L_{z}$ ${\displaystyle L_{y))$ $k_{z}$ ${\displaystyle k_{y))$ ${\displaystyle k_{y))$ $\psi _{n,k_{y))(x)$ ${\näyttötyyli (5)}$ $(neljä)$ $\psi _{n,k_{y))(x)$

\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {m\omega _{ c}^{2}}{2}}(x-k_{y}l_{H}^{2})^{2}\oikea]\psi _{n,k_{y}}(x)=E_ {n}\psi_{n,k_{y}}(x).\qquad(6)

Tämä yhtälö ei ole mitään muuta kuin Schrödingerin yhtälö kvanttiharmoniselle oskillaattorille , jossa on potentiaalin minimisiirtymä. Siten ratkaisut voidaan kirjoittaa muodossa [4]

\psi _{n,k_{y}}(x)={\frac {1}{\sqrt {2^{n}n!\pi ^{1/2}l_{H)))) e^{-{\frac {(x-k_{y}l_{H}^{2})^{2}}{2l_{H}^{2}}}}H_{n}\left({\ frac {(x-k_{y}l_{H}^{2})}{l_{H}}}\right),\qquad (7)

missä on järjestyksen Hermite-polynomi . $H_n(x)$ $n$

Sähkökentän vaikutuksesta

Tarkastellaan nyt magneettikenttää vastaan kohtisuoran sähkökentän vaikutusta elektronin energiaspektriin. Kirjoitetaan yhtälö uudelleen ottaen huomioon pitkin suunnattu sähkökenttä : [6] ${\näyttötyyli (6)}$ $\varepsilon$ $x$

\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {m\omega _{ c}^{2}}{2}}(x-k_{y}l_{H}^{2})^{2}+e\varepsilon x\right]\psi _{n,k_{y}} (x)=E_{n,k_{y}}\psi _{n,k_{y}}(x),\qquad (8)

joka koko neliön valinnan jälkeen esitetään muodossa

\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {m\omega _{ c}^{2}}{2}}(x-X_{k_{y}})^{2}+e\varepsilon k_{y}l_{H}^{2}-{\frac {m}{ 2}}v_{d}^{2}\right]\psi _{n,k_{y}}(x)=E_{n,k_{y}}\psi _{n,k_{y}}( x),\qquad(9)

missä ja . Hamiltonista näemme, että sähkökenttä yksinkertaisesti siirtää aaltofunktion keskustaa. Energiaspektri saadaan seuraavalla lausekkeella: $X_{k_{y}}=k_{y}l_{H}^{2}-v_{d}/\omega _{c}$ $v_{d}=c\varepsilon /B$

E_{n,k_{y}}=\hbar \omega _{c}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)+e\varepsilon X_{k_{y}}- {\frac {m}{2}}v_{d}^{2}.\qquad (10)

Kaksiulotteinen tapaus

Kvanttiulotteisissa rakenteissa , joissa varauksenkuljettajien liike on rajoitettu johonkin suuntaan (esimerkiksi kvanttikuivon lähellä heteroristeyksen rajaa ), energiaspektri muuttuu diskreetiksi liikkumiselle vastaavaa koordinaattia pitkin (esim. akseli ). Jos potentiaalikaivoon täytetään vain yksi kvanttitaso, jolla on pienin energia , kantoaineet käyttäytyvät kuin kaksiulotteinen kaasu , ts. ulkoisten kenttien vaikutuksesta liikemäärän ei kolme, vaan kaksi komponenttia voi jo muuttua. [7] $z$ $E_{0}$

Tässä tapauksessa elektronispektri koostuu tasaetäisyydellä olevista tasoista (tasojen välisen etäisyyden kanssa , missä määritetään magneettikentän komponentilla akselia pitkin ). Elektronin energia on $\hbar \omega _{c}$ $\omega_{c}$ $z$

E(n)=E_{0}+\hbar \omega _{c}\left(n+{\frac {1}{2}}\right),\qquad (11)

Jos valitsemme energian alkuperäksi, kaava (11) saa muotoa: [7] $E_{0}$

E(n)=\hbar \omega _{c}\left(n+{\frac {1}{2}}\right).\qquad (12)

Muistiinpanot

↑ Landau LD Diamagnetismus der Metalle (saksa) // Z. Phys .. - 1930. - Bd. 64 . — S. 629 .
↑ A. E. Meyerovich. Lifshitz-Onsager-kvantisointi . Fysiikan ja tekniikan tietosanakirja . Haettu 15. tammikuuta 2022. Arkistoitu alkuperäisestä 2. kesäkuuta 2022. (Venäjän kieli)
↑ Abrikosov A.A. Metallien teorian perusteet / Toim. LA. Falkovski. - Moskova: FIZMATLIT, 2010. - S. 182. - 600 s. - ISBN 978-5-9221-1097-6 .
↑ 1 2 Landau L. D., Lifshits E. M. Kvanttimekaniikka (ei-relativistinen teoria). — 3. painos, tarkistettu ja laajennettu. - M .: Nauka , 1974 . — 752 s. - ("Teoreettinen fysiikka", osa III).
↑ Gendenshtein L. E. , Krive I. V. Supersymmetria kvanttimekaniikassa // UFN. - 1985. - T. 146 , no. 4 . - S. 553-590 . - doi : 10.3367/UFNr.0146.198508a.0553 . Arkistoitu alkuperäisestä 13. heinäkuuta 2021.
↑ FI ADAMS ja TD HOLSTEIN. POIKKIAUTOGALVANON KVANTTEORIA - MAGNEETTISET ILMIÖT // J. Phys. Chem. kiinteät aineet. - Pergamon Press, 1959. - Voi. 10 . — s. 254-276 . - doi : 10.1016/0022-3697(59)90002-2 .
↑ 1 2 A. Ya. Shik, L. G. Bakueva, S. F. Musikhin, S. A. Rykov. MATALAMITTAISTEN JÄRJESTELMÄN FYSIIKKA / Toimittaneet V. I. Ilyin ja A. Ya. Shik. - Pietari: "Nauka", 2001. - 160 s. — ISBN 5-02-024966-1 . (Venäjän kieli)

Kirjallisuus

Landau-tasot // Physical Encyclopedia : [5 osana] / Ch. toim. A. M. Prokhorov . - M .: Neuvostoliiton Encyclopedia (osa 1-2); Great Russian Encyclopedia (vols. 3-5), 1988-1999. — ISBN 5-85270-034-7 .