Kubo Formula

Kubo-kaava on yhtälö, joka ilmaisee havaitun suuren lineaarisen vasteen ei-stationaarisen häiriön funktiona . Nimetty Ryogo Kubon mukaan, joka esitteli kaavan ensimmäisen kerran vuonna 1957 [1] [2] .

Kubo-kaavan avulla voidaan laskea elektronijärjestelmien varaus- ja spin-suskeptiteetit vasteena kohdistetuille sähkö- ja magneettikentille. On myös mahdollista laskea vaste ulkoisiin mekaanisiin voimiin ja värähtelyihin.

Kubon yleinen kaava

Tarkastellaan (ajasta riippumattoman) Hamiltonin kuvaamaa kvanttijärjestelmää . Operaattorin kuvaaman fyysisen suuren keskiarvo voidaan arvioida seuraavasti: $H_{0}$ ${\hattu {A}}$

\langle {\hat {A}}\rangle ={1 \over Z_{0}}\operaattorinimi {Tr} \,[{\hat {\rho _{0}}}{\hat {A} }]={1 \over Z_{0}}\sum _{n}\langle n|{\hat {A}}|n\rangle e^{-\beta E_{n}}

{\hat {\rho _{0}}}=e^{-\beta {\hat {H}}_{0}}=\sum _{n}|n\rangle \langle n|e ^{-\beta E_{n}}

missä on osiofunktio . Oletetaan nyt, että sillä hetkellä, kun ulkoinen häiriö alkaa vaikuttaa järjestelmään. Tätä häiriötä kuvaa Hamiltonin lisäaikariippuvuus: missä on Heavisiden funktio , joka on yhtä kuin 1 positiivisilla ajoilla ja 0 muussa tapauksessa ja on hermiittinen ja on määritelty kaikille t : lle siten , että positiiviselle funktiolle on täysi joukko todellisia ominaisarvoja , mutta nämä ominaisarvot voivat muuttua ajan myötä. $Z_{0}=\operaattorinimi {Tr} \,[{\hat {\rho }}_{0}]$ $t=t_{0}$ ${\hat {H}}(t)={\hat {H}}_{0}+{\hat {V}}(t)\theta (t-t_{0}),$ ${\näyttötyyli \theta (t)}$ ${\näyttötyyli {\hattu {V}}(t)}$ $t-t_{0}$ ${\hattu H}(t)$ $E_{n}(t)\,,$

Nyt voimme kuitenkin löytää tiheysmatriisin aikakehityksen osiofunktion lausekkeen oikealta puolelta ja arvioida matemaattisen odotuksen mm. ${\näyttötyyli {\hattu {\rho }}(t)}$ $Z(t)=\operaattorinimi {Tr} \,[{\hat {\rho }}(t)],$ $\langle {\hat {A}}\rangle =\operaattorinimi {Tr} \,[\rho (t)\,{\hat {A}}]/\operaattorinimi {Tr} \,[{\hat {\rho }}(t)].$

Tilojen aikariippuvuus määräytyy täysin Schrödingerin yhtälön avulla, joka vastaa Schrödingerin kuvaa . Mutta koska sitä pidetään pienenä häiriönä, on kätevää käyttää vuorovaikutuskuvan esitystapaa alimmassa ei-triviaalijärjestyksessä. Aikariippuvuus tässä esityksessä annetaan missä määritelmän mukaan kaikille t ja , $|n(t)\rangle$ $i\partial _{t}|n(t)\rangle ={\hat {H))(t)|n(t)\rangle ,$ ${\näyttötyyli {\hattu {V}}(t)}$ $|{\hattu {n}}(t)\rangle ,$ $|n(t)\rangle =e^{-i{\hat {H}}_{0}t}|{\hattu {n}}(t)\rangle =e^{-i{\ hattu {H}}_{0}t}{\hattu {U}}(t,t_{0})|{\hattu {n}}(t_{0})\rangle ,$ $t_0$ $|{\hattu {n}}(t_{0})\rangle =e^{i{\hat {H}}_{0}t_{0}}|n(t_{0})\rangle$

Lineaarisessa järjestyksessä saamme . Siten keskiarvo jopa lineaariseen järjestykseen häiriön suhteen on yhtä suuri kuin ${\näyttötyyli {\hattu {V}}(t)}$ ${\hat {U}}(t,t_{0})=1-i\int _{t_{0}}^{t}dt'{\hat {V}}(t')$ ${\näyttötyyli {\hattu {A}}(t)}$

{\begin{array}{rcl}\langle {\hat {A}}(t)\rangle &=&\langle {\hat {A}}\rangle _{0}-i\int _{ t_{0}}^{t}dt'{1 \over Z_{0}}\sum _{n}e^{-\beta E_{n}}\langle n(t_{0})|{\hat {A}}(t){\hattu {V}}(t')-{\hattu {V}}(t'){\hattu {A}}(t)|n(t_{0})\rangle \\&=&\langle {\hat {A}}\rangle _{0}-i\int _{t_{0}}^{t}dt'\langle [{\hat {A}}(t) ,{\hattu {V}}(t')]\rangle _{0}\end{array}}

Kulmasulut tarkoittavat tasapainokeskiarvoa häiriöttömän Hamiltonin yli , joten ensimmäisen asteen häiriöteoriassa keskiarvo sisältää vain nollan kertaluvun ominaisfunktiot, mikä yleensä tapahtuu häiriöteoriassa. Tämä poistaa kaikki monimutkaiset, joita muutoin voisi syntyä ajankohtien osalta . ${\displaystyle \langle \rangle _{0))$ $H_{0}.$ ${\displaystyle t>t_{0))$

Yllä oleva lauseke pätee kaikille operaattoreille. (katso myös Toinen kvantisointi ) [3] .

Muistiinpanot

↑ Kubo, Ryogo (1957). "Peruuttamattomien prosessien tilastomekaaninen teoria. I. Yleinen teoria ja yksinkertaiset sovellukset magneetti- ja johtavuusongelmiin”. J Phys. soc. Jpn . 12 :570–586. DOI : 10.1143/JPSJ.12.570 .
↑ Kubo, Ryogo (1957). "Peruuttamattomien prosessien tilastomekaaninen teoria. II. Reaktio lämpöhäiriöihin." J Phys. soc. Jpn . 12 : 1203–1211. DOI : 10.1143/JPSJ.12.1203 .
↑ Mahan, GD. monia hiukkasfysiikkaa. - New York: springer, 1981. - ISBN 0306463385 .