Newton-Cotesin kaavat

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 18. lokakuuta 2022 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Newton-Cotesin (Cotes) kaavat , joita kutsutaan myös Newton-Cotes-kvadratuurisäännöiksi tai yksinkertaisesti Newton-Cotesin säännöiksi, on joukko numeerisen integroinnin kaavoja (kutsutaan myös kvadratuureiksi ), jotka perustuvat integroitavan funktion laskentaan tasaisin välein olevissa pisteissä. Kaavat on nimetty Isaac Newtonin ja Roger Cotesin mukaan .

Newton-Kots-kaavat ovat hyödyllisiä, kun integroitavan funktion arvot annetaan pisteissä, jotka ovat samalla etäisyydellä toisistaan. Jos pisteiden sijaintia on mahdollista muuttaa, muut menetelmät, kuten Gauss-menetelmä ja Clenshaw-Curtis-kvadratuurimenetelmä , voivat olla sopivampia

Kuvaus

Oletetaan, että funktion f arvot on määritelty janalla ja ne tunnetaan pisteessä , joka sijaitsee yhtä etäisyydellä toisistaan. Jos ja eli funktion arvoja käytetään intervallin rajoilla, niin funktiota kutsutaan "suljetun" tyypin kvadratuuriksi ja jos ja eli funktion arvoiksi intervallin ääripisteissä ei käytetä, sitten "avoin" tyyppi [1] . Pisteitä käyttävät Newton-Cotesin kaavat voidaan määritellä (molemmissa tapauksissa) muodossa [2] $[a,b]$ $n+1$ $a\leqslant x_{0}<x_{1}<\dots <x_{n}\leqslant b$ $x_{0}=a$ $x_{n}=b$ $x_{0}>a$ $x_{n}<b$ $n+1$

\int _{a}^{b}f(x)\,dx\noin \sum _{i=0}^{n}A_{i}\,f(x_{i})

missä

suljetun tyypin kaavalle , jossa , $x_{i}=a+ih$ $h={\frac {ba}{n}}$
avoimen tyypin kaavalle , jossa . $x_{i}=a+(i+1)h$ $h={\frac {ba}{n+2))$

Lukua h kutsutaan askelkooksi ja kvadratuurikertoimeksi [ 3 ] . $A_{i}$

$A_{i}$ voidaan laskea Lagrangen kantapolynomien integraaleina , jotka riippuvat vain funktiosta f , mutta eivät siitä . Antaa olla interpolaatiopolynomi Lagrange-muodossa tietyille pisteille , sitten $x_{i}$ $L(x)$ $(x_{0},f(x_{0})),\dots ,(x_{n},f(x_{n}))$

\int _{a}^{b}f(x)\,dx\noin \int _{a}^{b}L(x)\,dx=\int _{a}^{b} \left(\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})\,l_{i}(x)\right)\,dx=\sum _{i=0}^{n} f(x_{i})\alaviiva {\int _{a}^{b}l_{i}(x)\,dx} _{A_{i}}.

Epävakautta suurille tehoille

Voidaan rakentaa minkä tahansa asteen n Newton-Cotes-kaavat . Kuitenkin suurelle n :lle Newton-Cotesin sääntö voi joskus kärsiä Rungen ilmiöstä [4] , jossa virhe kasvaa eksponentiaalisesti suurella n :llä . Menetelmät, kuten Gauss-kvadratuuri tai Clenshaw-Curtis-kvadratuuri - joissa pisteiden väliset etäisyydet ovat epätasaiset (joilla on suurempi tiheys integrointivälin päissä ) - ovat stabiileja ja tarkempia, ja siksi yleensä edullisempia kuin Newton-Cotes-kvadratuuri. Jos näitä menetelmiä ei voida käyttää, ts. jos integroitavan lausekkeen arvot annetaan vain kiinteässä ruudukossa, jonka etäisyydet ovat yhtä suuret, Runge-ilmiö voidaan välttää käyttämällä intervalliosiointia, kuten alla on selitetty.

Myös stabiileja Newton-Cotes-kaavoja voidaan rakentaa, jos interpolointi korvataan pienimmän neliösumman menetelmällä. Tämä mahdollistaa numeerisesti stabiilien kaavojen kirjoittamisen jopa suurille tehoille [5] [6] .

Suljetun tyypin Newton-Cotesin kaavat

Seuraavassa taulukossa on lueteltu joitakin suljetun tyyppisiä Newton-Cotesin kaavoja. For let , ja merkintä on lyhenne sanoista . $0\leqslant i\leqslant n$ $x_{i}=a+i{\tfrac {ba}{n}}=a+ih$ $f_{i}$ $f(x_{i})$

Suljetut Newton-Cotesin kaavat

n	Askelkoko h	Yleinen nimi	Kaava	Virhe
yksi	$ba$	Puolisuunnikkaan muotoinen menetelmä	${\frac {h}{2}}(f_{0}+f_{1})$	$-{\frac {1}{12}}h^{3}f^{(2)}(\xi )$
2	${\frac {ba}{2))$	Simpsonin kaava	${\frac {h}{3}}(f_{0}+4f_{1}+f_{2})$	$-{\frac {1}{90}}h^{5}f^{(4)}(\xi )$
3	${\frac {ba}{3))$	Simpsonin kaava 3/8	${\frac {3h}{8}}(f_{0}+3f_{1}+3f_{2}+f_{3})$	$-{\frac {3}{80}}h^{5}f^{(4)}(\xi )$
neljä	${\frac {ba}{4))$	Boolen sääntö	${\frac {2h}{45}}(7f_{0}+32f_{1}+12f_{2}+32f_{3}+7f_{4})$	$-{\frac {8}{945}}h^{7}f^{(6)}(\xi )$

Boolen sääntöä kutsutaan joskus virheellisesti Boden säännöksi, mikä johtuu Abramovitzin ja Steeganin kirjassa olevasta typografisesta virheestä [7] [8] .

Segmentin koon h aste virheessä osoittaa nopeuden, jolla approksimaatiovirhe pienenee . F : n derivaatan järjestys virheessä antaa polynomin pienimmän asteen, jota ei voida laskea tarkasti (eli nollavirheellä) tällä säännöllä. Numero on otettava väliltä (a, b). $\xi$

Newton-Cotesin avoimen tyypin kaavat

Taulukossa on joitakin avoimen tyypin Newton-Cotes-kaavoja. Jälleen lyhenne sanalle , missä . $f_{i}$ $f(x_{i})$ $x_{i}=a+i{\frac {ba}{n+2}}$

Newton-Cotesin avoimet kaavat

n	Askelkoko h	Yleinen nimi	Kaava	Virhe
0	${\frac {ba}{2))$	Riemannin summa tai Riemann tarkoittaa summaa	$2hf_{1}\,$	${\frac {1}{3}}h^{3}f^{(2)}(\xi )$
yksi	${\frac {ba}{3))$		${\frac {3}{2}}h(f_{1}+f_{2})$	${\frac {3}{4}}h^{3}f^{(2)}(\xi )$
2	${\frac {ba}{4))$	Milnen kaava	${\frac {4}{3}}h(2f_{1}-f_{2}+2f_{3})$	${\frac {14}{45}}h^{5}f^{(4)}(\xi )$
3	${\frac {ba}{5}}$		${\frac {5}{24}}h(11f_{1}+f_{2}+f_{3}+11f_{4})$	${\frac {95}{144}}h^{5}f^{(4)}(\xi )$

Välin jakaminen

Jotta Newton-Cotesin kaava olisi tarkempi, pituuden h on oltava pieni. Tämä tarkoittaa, että itse integrointivälin on oltava pieni, mikä ei useimmissa tapauksissa pidä paikkaansa. Tästä syystä numeerinen integrointi suoritetaan yleensä jakamalla intervalli pienempiin osaväliin, joista kuhunkin sovelletaan Newton-Cotesin kaavaa, jonka jälkeen tulokset lasketaan yhteen. Katso numeerista integrointia käsittelevä artikkeli . $[a,b]$ $[a,b]$

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Berezin, Zhidkov, 1962 , s. 240.
↑ Quarteroni, Sacco, Saleri, 2006 , s. 386-387.
↑ Kalashnikov, Fedotkin, Fokina, 2016 , s. 5.8.
↑ Quarteroni, Sacco, Saleri, 2006 , s. 390-391.
↑ Pavel Holoborodko. Vakaat Newton-Cotesin kaavat (24. maaliskuuta 2011). Haettu 17. elokuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 31. joulukuuta 2017. (määrätön)
↑ Pavel Holoborodko. Vakaat Newton-Cotesin kaavat (avoin tyyppi) (20. toukokuuta 2012). Haettu 18. elokuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 20. joulukuuta 2017. (määrätön)
↑ Abramowitz, Stegun, 1972 .
↑ Booles Rule Wolfram Mathworld -sivustolla kirjoiti väärin vuoden "1960" (eikä "1860") . Haettu 13. tammikuuta 2022. Arkistoitu alkuperäisestä 24. tammikuuta 2018. (määrätön)

Kirjallisuus

Ohjeita numeerisen integroinnin ongelmien ratkaisemiseen / comp. A. L. Kalashnikov, A. M. Fedotkin, V. N. Fokina. - Nižni Novgorod, 2016.
Quarteroni. Numeerinen matematiikka. – 2. - Springer, 2006. - ISBN 978-3-540-34658-6 .
Osa 25.4 // Matemaattisten funktioiden käsikirja kaavoilla, kaavioilla ja matemaattisilla taulukoilla / M. Abramowitz, I.A. Stegun, toim. - New York: Dover, 1972.
Abramovitz M., Stigan I. Erikoisfunktioiden käsikirja, Kaavoilla, kaavioilla ja matemaattisilla taulukoilla. - Moskova: "Nauka", 1979.
George E. Forsythe, Michael A. Malcolm, Cleve B. Moler. Kohta 5.1. // Tietokonemenetelmät matemaattisiin laskelmiin . - Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1977.
Press WH, Teukolsky SA, Vetterling WT, Flannery BP Osa 4.1. Klassiset kaavat tasavälisille abskissoille // Numeeriset reseptit: Tieteellisen laskennan taide. – 3. - New York: Cambridge University Press, 2007. - ISBN 978-0-521-88068-8 .
Josef Stoer, Roland Bulirsch. Osa 3.1 // Johdatus numeeriseen analyysiin . - New York: Springer-Verlag, 1980.
Berezin, I. S. , Zhidkov N. P. Laskennalliset menetelmät. - 2. painos -M .:Fizmatlit, 1962. - T. I. (Venäjän kieli)

Linkit

Hazewinkel, Michiel, toim. (2001), Newton–Cotesin kvadratuurikaava , Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Newton-Cotesin kaavat osoitteessa www.math-linux.com
Weisstein, Eric W. Newton–Cotes Formulas (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
Newton-Cotes Integration , numericalmathematics.com