Perustavallinen syrjintä

Perusdiskriminantti D on kokonaislukuinvariantti kahden muuttujan (binäärineliömuodot) integraalisten neliömuotojen teoriassa . Jos on neliömuoto, jossa on kokonaislukukertoimia, niin on muodon Q ( x , y ) diskriminantti . ${\displaystyle Q(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2))$ $D=b^{2}-4ac$

On olemassa nimenomaisia yhteensopivuusehtoja , jotka antavat monia perustavanlaatuisia syrjiviä tekijöitä. Konkreettisesti − D on perusdiskriminantti, jos ja vain, jos seuraavat ehdot täyttyvät

D ≡ 1 (mod 4) ja ilman neliöitä ,
D = 4 m , missä m ≡ 2 tai 3 (mod 4) ja m ja on neliötön .

Ensimmäiset kymmenen positiivista perussyrjintää ovat:

1 , 5 , 8 , 12 , 13 , 17 , 21 , 24 , 28 , 29 , 33 ( OEIS - sekvenssi A003658 ).

Ensimmäiset kymmenen negatiivista perussyrjintää ovat:

−3, −4, −7, −8, −11, −15, −19, −20, −23, −24, −31 (sekvenssi A003657 OEIS : ssä ).

Yhteys neliöjuurilla

Integraalien binääristen toisen asteen muotojen teorian ja toisen asteen lukukenttien aritmeettisen välillä on yhteys . Tämän yhteyden pääominaisuus on, että Do on perusdiskriminantti silloin ja vain jos tai D 0 on toisen asteen lukukentän diskriminantti . Jokaiselle perusdiskriminantille on olemassa täsmälleen yksi, isomorfismiin asti , neliökenttä . $D_{0}=1$ $D_{0}\neq 1$

Varoitus : On syy, miksi jotkut kirjoittajat eivät pidä 1:tä perustavanlaatuisena syrjivänä tekijänä - sitä voidaan pitää rappeutuneena "neliöllisenä" kenttänä Q ( rationaaliset luvut ). $D_{0}=1$

Hajoaminen

Fundamentaaliset diskriminantit voidaan kuvata niiden jakautumisella positiivisiin ja negatiivisiin alkulukuihin . Määritellään joukko

{\displaystyle S=\{-8,-4,8,-3,5,-7,-11,13,17,-19,\;\ldots \))

jossa alkuluvut ≡ 1 (mod 4) otetaan positiivisina ja luvut, jotka ovat verrattavissa 3:een, otetaan negatiivisiksi. Silloin luku on perustavanlaatuinen diskriminantti silloin ja vain, jos se on S:n koprime - termien tulos . $D_{0}\neq 1$

Muistiinpanot

Kirjallisuus

Henri Cohen. Laskennallisen algebrallisen lukuteorian kurssi. - Berliini, New York: Springer-Verlag , 1993. - V. 138. - (Matematiikan tutkinnon tekstit). — ISBN 3-540-55640-0 .
Duncan Buell. Binaariset neliömuodot: klassinen teoria ja modernit laskennat . - Springer-Verlag , 1989. - S. 69 . - ISBN 0-387-97037-1 .
Don Zagier. Zetafunktionen und quadratische Körper. - Berliini, New York: Springer-Verlag , 1981. - ISBN 978-3-540-10603-6 .