Suora kuvafunktio

Suora kuvafunktio on yleistys lyhteen osan käsitteestä suhteelliseen tapaukseen.

Määritelmä

Olkoon f : X → Y jatkuva topologisten avaruuksien kartta ja olkoon Sh (-) topologisen avaruuden Abelin ryhmien lyhteiden luokka . Suora kuvafunktio

f_{*}:Sh(X)\to Sh(Y)

vie nipun F X : ssä esirippuun

f_{*}F(U):=F(f^{-1}(U)),

joka osoittautuu nipuksi Y :ssä .

Tämä operaatio on funktionaalinen siinä mielessä, että lyhteen morfismi φ: F → G X generoi lyhteen morfismin f ∗ (φ): f ∗ ( F ) → f ∗ ( G ) Y : llä .

Esimerkki

Jos Y on piste, suora kuvafunktio on sama kuin globaali leikkausfunktio.

Korkeammat suorat kuvat

Suora kuvafunktio on vasen-tarkka, mutta ei yleensä oikea-tarkka. Siksi voimme harkita suoran kuvafunktion oikeita derivaattafunktioita . Niitä kutsutaan korkeammiksi suoriksi kuviksi ja niitä merkitään R q f ∗ .

Korkeammille suorille kuville voidaan antaa lauseke, joka on samanlainen kuin suorien kuvien lauseke: lyhteen F tapauksessa X , R q f ∗ ( F ) on esirippuun liittyvä nippu.

U\mapsto H^{q}(f^{-1}(U,F).

Ominaisuudet

Suora kuvafunktiontori on konjugoitu suoraan käänteiseen kuvafunktioon , eli missä tahansa jatkuvassa kartassa ja vastaavasti X , Y :ssä on luonnollinen isomorfismi $f:X\Y:ksi$ ${\mathcal {F}},{\mathcal {G}}$

\mathrm {Hom} _{\mathbf {Sh} (X)}(f^{-1}{\mathcal {G)),{\mathcal {F)))=\mathrm {Hom} _{ \mathbf {Sh} (Y)}({\mathcal {G}), f_{*}{\mathcal {F)))

Jos f on suljetun aliavaruuden X ⊂ Y upotus, niin f ∗ on tarkka. Lisäksi tässä tapauksessa f * on luokkaekvivalenssi X :ssä olevien pyöreiden ja X :ssä tuettujen pyöreiden Y välillä . Tämä seuraa siitä tosiasiasta, että kuitu on yhtä suuri jos ja yhtä suuri kuin nolla muuten (tässä käytetään X : n sulkeutumista Y :ssä ). $(f_{*}{\mathcal {F}})_{y}$ ${\mathcal {F}}_{y}$ $y\in X$

Kirjallisuus

Iversen, Birger , Cohomology of sheaves, Universitext, Berliini, New York: Springer-Verlag, 1986, ISBN 978-3-540-16389-3 .