Muokatut Besselin toiminnot

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 1. lokakuuta 2021 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Muokatut Bessel -funktiot ovat puhtaasti imaginaarisen argumentin Besselin funktioita .

Jos Besselin differentiaaliyhtälössä

z^{2}{\frac {d^{2}\omega }{dz^{2}}}+z{\frac {d\omega }{dz}}+(z^{2}- \nu ^{2})\omega =0

korvaa tunnuksella , se ottaa muodon $\z$ $\iz$

z^{2}{\frac {d^{2}\omega }{dz^{2}}}+z{\frac {d\omega }{dz}}-(z^{2}+ \nu ^{2})\omega =0.\qquad (1)

Tätä yhtälöä kutsutaan muunnetuksi Besselin yhtälöksi .

Jos ei ole kokonaisluku, niin Bessel-funktiot ja ovat yhtälön kaksi lineaarisesti riippumatonta ratkaisua . Toiminnot ovat kuitenkin yleisempiä $\nu$ $J_{\nu }(iz)$ $J_{-\nu }(iz)$ $(yksi)$

I_{\nu }(z)=e^{-{\frac {i\nu \pi }{2}}}J_{\nu }\left(ze^{\frac {i\pi }{ 2}}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\left({\dfrac {z}{2}}\right)^{2k+\nu }}{k! \Gamma(k+\nu+1)}}

I_{-\nu }(z).

Niitä kutsutaan ensimmäisen tyyppisiksi muunnetuiksi Bessel-funktioiksi tai Infeld-funktioiksi . Jos on reaaliluku ja z ei ole negatiivinen, nämä funktiot ottavat todellisia arvoja. $\nu$

$\nu$ kutsutaan funktion järjestykseksi.

Toiminto

K_{\nu }(z)={\frac {\pi }{2\sin \nu \pi }}{\biggl [}I_{-\nu }(z)-I_{\nu }( z){\biggr ]}

on myös ratkaisu yhtälöön . Sitä kutsutaan toisen tyypin muunnetuksi Bessel-funktioksi tai Macdonald - funktioksi . Se on selvää $(yksi)$

K_{\nu }(z)=K_{-\nu }(z)

ja ottaa todelliset arvot, jos on reaaliluku, ja on positiivinen. $\nu$ $z$

Kokonaislukujärjestyksen funktiot

Koska kokonaisuutena yhtälön ratkaisujen perustavanlaatuisena järjestelmänä valitsemme ja missä $I_{-\nu }(z)=I_{\nu }(z)$ $\nu$ $(yksi)$ $I_{n}(z)$ $K_{n}(z),$

K_{n}(z)=\lim \limits _{\nu \to n}K_{\nu }(z).

Toistuvat relaatiot ja differentiaatiokaavat

Ensimmäisen tyyppiset muokatut Bessel-funktiot

\left({\frac {d}{zdz}}\right)^{m}{\Bigl [}z^{\nu }I_{\nu }(z){\Bigr ]}=z^ {\nu -m}I_{\nu -m}(z).

\left({\frac {d}{zdz}}\right)^{m}{\Bigl [}z^{-\nu }I_{\nu }(z){\Bigr ]}=z ^{-\nu -m}I_{\nu +m}(z).

I_{\nu -1}(z)-I_{\nu +1}(z)=2\nu z^{-1}I_{\nu }(z).

I_{\nu -1}(z)+I_{\nu +1}(z)=2I'_{\nu }(z).

Toisen tyypin muunnetut Bessel-funktiot

\left({\frac {d}{zdz}}\right)^{m}{\Bigl [}z^{\nu }K_{\nu }(z){\Bigr ]}=(- 1)^{m}z^{\nu -m}K_{\nu -m}(z).

\left({\frac {d}{zdz}}\right)^{m}{\Bigl [}z^{-\nu }K_{\nu }(z){\Bigr ]}=( -1)^{m}z^{-\nu -m}K_{\nu +m}(z).

K_{\nu -1}(z)-K_{\nu +1}(z)=-2\nu z^{-1}K_{\nu }(z).

K_{\nu -1}(z)+K_{\nu +1}(z)=-2K'_{\nu }(z).

Modifioitujen Besselin funktioiden Wronskin järjestelmä

W\left[I_{\nu }(z),I_{-\nu }(z)\right]=-{\frac {2\sin(\nu \pi )}{\pi z)) .

W\left[I_{\nu }(z),K_{\nu }(z)\right]=-z^{-1}.

Integraaliesitykset

Ensimmäisen tyyppiset muokatut Bessel-funktiot

I_{\nu }(z)={\frac {2^{-\nu }z^{\nu }}({\sqrt {\pi }}\Gamma (\nu +{\frac {1 }{2))))}}\int _{0}^{\pi }e^{z\cos t}\left(\sin t\right)^{2\nu }dt,\qquad Re(\ nu )>-{\frac {1}{2)),\Gamma (z)

on gammafunktio .

I_{\nu }(z)={\frac {2^{1-\nu }z^{\nu }}({\sqrt {\pi }}\Gamma (\nu +{\frac { 1}{2)))))\int _{0}^{1}(1-t^{2})^{\nu -{\frac {1}{2))}\cosh(zt)dt ,\qquad Re(\nu )>-{\frac {1}{2}}.

I_{\nu }(z)={\frac {2^{-\nu }z^{\nu }}({\sqrt {\pi }}\Gamma (\nu +{\frac {1 }{2)))))\int _{-1}^{1}(1-t^{2})^{\nu -{\frac {1}{2))}e^{-zt} dt,\qquad Re(\nu )>-{\frac {1}{2}}.

I_{n}(z)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }e^{z\cos t}\cos(nt)dt,\qquad n\in \mathbb {Z} ,Re(z)>0.

Toisen tyypin muunnetut Bessel-funktiot

{{K}_{\nu }}(z)=\int _{0}^{\infty }{{e}^{-z\cosh t}}\cosh(\nu t)dt, \qquad |Arg(z)|<{\frac {\pi }{2)).

{{K}_{\nu }}(z)={\frac {{\sqrt {\pi }}({\left({\frac {z}{2}}\right)}^{ \nu ))}{\Gamma (\nu +{\frac {1}{2))))}}\int _{1}^{\infty }{{({{t}^{2}}- 1 )}^{\nu -{\frac {1}{2}}}}{{e}^{-zt}}dt,\qquad Re(\nu )>-{\frac {1}{2} } ,|Arg(z)|<{\frac {\pi }{2)).

{{K}_{\nu }}(z)={\frac {{\sqrt {\pi }}({\left({\frac {z}{2}}\right)}^{ \nu ))}{\Gamma (\nu +{\frac {1}{2))))}}\int _{0}^{\infty }{{e}^{-z\cosh t}} { {\left(\sinh t\right)}^{2\nu }}dt,\qquad Re(\nu )>-{\frac {1}{2)),|Arg(z)|<{\ frac {\pi }{2}}.

Asymptoottinen käyttäytyminen

I_{\nu }(z)\varpropto {\frac {e^{z}}{\sqrt {2\pi z}}}\left(1+O\left({\frac {1}{) z}}\oikea)\oikea),\qquad \left|Arg(z)\oikea|<{\frac {\pi }{2)),\left|z\right|\to \infty .

K_{\nu }(z)\varpropto {\sqrt {\frac {\pi }{2))}{\frac {e^{-z)){\sqrt {z))}\left( 1+O\left({\frac {1}{z}}\right)\right),\qquad \left|z\oikea|\to \infty .

Erikoistapaus:

K_{0}(z)={\sqrt {\frac {\pi }{2z))}e^{-z}\sum \limits _{m=0}^{\infty }{\frac {\left[\left({2m-1}\right)!!\right]^{2}}{m!\left(-{8z}\right)^{m}}},\qquad \left| z\right|\to \infty ,\quad |\arg z|<2\pi

Huomautus

Besselin j-funktioissa on klassinen Schlömilch - sarja [1] [2]

Katso myös

Sylinterimäiset toiminnot

Kirjallisuus

Watson G. Besselin funktioiden teoria. T. 1, 2. - M .: IL , 1949.
Bateman G., Erdeyi A. Korkeammat transsendenttiset toiminnot. Besselin funktiot, paraboliset sylinterifunktiot, ortogonaaliset polynomit: matemaattinen viitekirjasto. — M.: Fizmatgiz , 1966. — 296 s.

Muistiinpanot

↑ Lyakhov L.N. Schlemilchin j-sarjassa. Tieteelliset lausunnot. Sarja "Matematiikka. Fysiikka". 2013. nro 12 (155). Ongelma. 31.// https://cyberleninka.ru/article/n/oj-ryadah-shlemilha
↑ J.N. Watson. Besselin funktioiden teoria. (Kirja). Luku XIX. Schlemilchin rivit

Linkit

Weisstein, Eric W. Modified Bessel Function of the First Kind (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
Weisstein, Eric W. Modifioitu Besselin toisen tyyppinen funktio Wolfram MathWorldissa .