Funktionaalinen yhtälö

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 3. joulukuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Funktionaalinen yhtälö on yhtälö , joka ilmaisee suhteen funktion arvon yhdessä pisteessä ja sen arvojen välillä muissa pisteissä. Monet funktioiden ominaisuudet voidaan määrittää tutkimalla funktionaalisia yhtälöitä, jotka nämä funktiot täyttävät. Termiä "funktionaalinen yhtälö" käytetään yleisesti yhtälöistä, joita ei voida pelkistää yksinkertaisilla tavoilla algebrallisiin yhtälöihin . Tämä redusoitumattomuus johtuu useimmiten siitä, että yhtälön tuntemattoman funktion argumentit eivät ole itse riippumattomia muuttujia, vaan joitain funktion tietoja niistä.

Esimerkkejä

Funktionaalinen yhtälö:

f(s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)f( 1-s)

missä on Eulerin gammafunktio , täyttää Riemannin zeta-funktion . $\Gamma(z)$ $\zeta$

Gammafunktio on ainoa ratkaisu tähän kolmen yhtälön järjestelmään:

{\displaystyle f(x)={f(x+1) \over x))

f(y)f\left(y+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {{\sqrt {\pi }}}{2^{{2y-1}}}}f( 2v)

{\displaystyle f(z)f(1-z)={\pi \over \sin(\pi z)))

( Eulerin komplementtikaava )

Funktionaalinen yhtälö:

f\left({az+b \over cz+d}\right)=(cz+d)^{k}f(z)

missä ovat kokonaisluvut , jotka täyttävät tasa-arvon , eli: $a,b,c,d$ $ad-bc=1$

{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}\,=1

määritellään modulaarisena tilausmuotona . _ $f$ $k$

Funktionaaliset Cauchyn yhtälöt:

$f(x+y)=f(x)+f(y)$ — täyttävät kaikki lineaariset homogeeniset funktiot , $f(x)=ax$
$f(x+y)=f(x)f(y)$ — täyttää kaikki eksponentiaaliset funktiot , ${\displaystyle f(x)=\exp \left(\alpha x\right)=a^{x))$
$f(xy)=f(x)+f(y)$ — täyttää kaikki logaritmiset funktiot , $f(x)=\alpha \log \left(x\right)=\log _{a}\left(x\right)$
$f(xy)=f(x)f(y)$ — täyttää kaikki tehotoiminnot . ${\displaystyle f(x)=\exp \left(\alpha \log \left(x\right)\right)=x^{a))$

Cauchy-funktionaaliset yhtälöt pelkistyvät toisiinsa. Joten yhtälö pelkistetään yhtälöön korvaamisen jälkeen (tätä varten tietysti on välttämätöntä, että se ei ole identtinen nolla). Jatkuvien funktioiden luokassa ja monotonifunktioiden luokassa annetut ratkaisut ovat ainoita, paitsi degeneroitunut ratkaisu . Laajemmissa toimintoluokissa erittäin eksoottiset ratkaisut ovat kuitenkin mahdollisia, katso artikkeli "Hamelin perusta" . $f(x_{1}x_{2})=f(x_{1})f(x_{2})$ $g(y_{1}+y_{2})=g(y_{1})+g(y_{2})$ $g(y)=\log \left|f(\exp y)\right|$ $f(x)$ $f(x) \equiv 0$

Muuta:

$f(x+y)+f(xy)=2[f(x)+f(y)]$ on toisen asteen yhtälö tai suunnikkaidentiteetti , täyttää , ${\displaystyle f(x)=kx^{2))$
$f\left({\frac {x+y}{2}}\right)={\frac {f(x)+f(y)}{2}}$ on Jensenin yhtälö, joka täyttää kaikki lineaariset funktiot , $f(x)=ax+b$
${\displaystyle f(x+y)f(xy)=f(x)^{2))$ on Lobatševskin yhtälö (Jensenin yhtälön versio), täyttää , ${\displaystyle f(x)=ac^{x))$
$f(x+y)+f(xy)=2[f(x)f(y)]$ on d'Alembertin yhtälö,
$f(h(x))=f(x)+1$ — Abelin yhtälö ,
$f(h(x))=cf(x)$ on Schroeder-yhtälö , ratkaisu on funktioon liittyvä Koenigsin funktio . $\textstyle h(x)$

Toistuvat suhteet

Erityinen funktionaalisten yhtälöiden tyyppi on rekursiivinen relaatio , joka sisältää tuntemattoman kokonaislukujen funktion ja siirtooperaattorin .

Lineaariset toistuvuussuhteet:

a(n)=\sum _{i=1,k}c_{i}\cdot a(ni)

(jossa ovat vakiot riippumattomia ) on teoria, joka on analoginen lineaaristen differentiaaliyhtälöiden teorialle. Esimerkiksi lineaariselle toistuvuussuhteelle: ${\displaystyle c_{1},c_{2},\dots ,c_{k))$ $n$

a(n)=3a(n-1)+4a(n-2)

riittää löytää kaksi lineaarisesti riippumatonta ratkaisua, kaikki muut ratkaisut ovat niiden lineaarisia yhdistelmiä.

Näiden ratkaisujen löytämiseksi on välttämätöntä korvata toistumisrelaatioon testifunktio epämääräisellä parametrilla ja yrittää löytää ne , joille tämä toistuvuussuhde täyttyy. Annetussa esimerkissä saamme asteen yhtälön kahdella eri juurilla , ja siksi tämän toistuvuussuhteen yleinen ratkaisu on kaava (vakiot ja valitaan siten, että ja kaava antaa halutut arvot suureille ja ). Jos polynomilla on useita juuria, funktiot ja niin edelleen toimivat lisäkoeratkaisuina . ${\displaystyle a(n)=\lambda ^{n))$ $\lambda$ $\lambda$ $\lambda ^{2}=3\lambda +4$ $\lambda =-1$ $\lambda =4;$ ${\displaystyle a(n)=d_{1}4^{n}+d_{2}(-1)^{n))$ $d_{1}$ $d_{2}$ $n = 1$ $n = 2$ $a(1)$ $a(2)$ $n\lambda ^{n},$ $n^{2}\lambda ^{n}$

Yksi tunnetuista toistuvuusrelaatioista on , joka määrittelee Fibonacci-sekvenssin . $a(n)=a(n-1)+a(n-2)$

Funktionaalisten yhtälöiden ratkaisu

On olemassa joitakin yleisiä menetelmiä funktionaalisten yhtälöiden ratkaisemiseksi.

Erityisesti voi olla hyödyllistä soveltaa käsitettä involuutio , eli sellaisten funktioiden ominaisuuksien käyttö, joille ; yksinkertaisimmat involuutiot: $f(f(x)) = x$

f(x) = -x

, , , .

f(x)={\frac {1}{x}}

f(x)={\frac {1}{1-x}}+1

f(x)=1-x

Esimerkki . Yhtälön ratkaisemiseksi:

{\displaystyle f(x+y)^{2}=f(x)^{2}+f(y)^{2))

kaikille ja laitamme : . Sitten ja . Laitetaan seuraavaksi : $x,y\in \mathbb {R}$ $f:\mathbb {R} \to R$ $x=y=0$ ${\displaystyle f(0)^{2}=f(0)^{2}+f(0)^{2))$ $f(0)^{2}=0$ $f(0) = 0$ $y=-x$

{\displaystyle f(xx)^{2}=f(x)^{2}+f(-x)^{2))

{\displaystyle f(0)^{2}=f(x)^{2}+f(-x)^{2))

{\displaystyle 0=f(x)^{2}+f(-x)^{2))

Reaaliluvun neliö on ei-negatiivinen, ja ei-negatiivisten lukujen summa on nolla, jos ja vain jos molemmat luvut ovat yhtä suuria kuin 0. Näin ollen , kaikille ja on tämän yhtälön ainoa ratkaisu. $f(x)^{2}=0$ $x$ $f(x)\equiv 0$

Kirjallisuus

Golovinskiy IA Analyyttisten iteraatioiden ja funktionaalisten yhtälöiden varhainen historia. // Historiallinen ja matemaattinen tutkimus. Moskova: Nauka, voi. XXV, 1980, s. 25-51.
Kuczma M. Funktionaalisesta yhtälöstä φn(x) = g(x). Ann. Polon. Matematiikka. 11 (1961) 161-175 .
Kuczma M. Johdatus funktionaalisten yhtälöiden ja epäyhtälöiden teoriaan. Warszawa-Krakow-Katowice: Polish Scientific Publishers & Silesian University, 1985.
Likhtarnikov LM Perusjohdanto funktionaalisiin yhtälöihin. Pietari: Lan, 1997.

Linkit

Funktionaaliset yhtälöt: Tarkat ratkaisut EqWorldissa: Matemaattisten yhtälöiden maailma.
Funktionaaliset yhtälöt: EqWorldin indeksi: Matemaattisten yhtälöiden maailma.
IMO Compendium teksti funktionaalisista yhtälöistä ongelmanratkaisussa.