Toiminto, jolla on antiderivaatti

Funktio, jolla on antideriivatiivinen funktio, on funktio, joka voidaan saada jonkin funktion erottamisen seurauksena. Yleensä termiä käytetään suhteessa yhden reaalimuuttujan reaaliarvoisiin funktioihin, jotka on määritelty välillä . Näitä toimintoja käsitellään myöhemmin artikkelissa.

Määritelmä

Olkoon , jossa on ei-triviaali väli (eli ei tyhjä joukko eikä piste). Funktiota kutsutaan antiderivaatiiviseksi , jos . Jos tällainen funktio on olemassa, sanomme, että sillä on antiderivaata. $f:X\rightarrow \mathbb {R}$ $X\in \mathbb {R}$ $F:X\rightarrow \mathbb {R}$ $f$ $F' = f$ $F$ $f$

Esimerkkejä

Kaikilla jatkuvilla toiminnoilla on antiderivaatti. Tämä seuraa Riemmannin integraalin ominaisuuksista ylemmällä muuttujan rajalla . Sen avulla voit helposti palauttaa primitiivisen. Kaikki antiderivatiiviset toiminnot eivät kuitenkaan ole jatkuvia. Juuri nämä toiminnot kiinnostavat.

Esimerkki 1. Rajoitettu toiminto yhdellä aukolla

Tunnetuin esimerkki epäjatkuvasti differentioituvasta funktiosta on seuraava:

G(x)={\begin{cases}x^{2}\sin {\dfrac {1}{x)),&x\neq 0;\\0,&x=0.\end{cases} }

Tämän funktion derivaatta kaikissa pisteissä nollaa lukuun ottamatta voidaan laskea tavanomaisten differentiaatiosääntöjen mukaisesti . Derivaata nollassa on laskettava määritelmän mukaan:

g(0)=\lim _{x\to 0}{\dfrac {x^{2}\sin {\dfrac {1}{x}}-0}{x}}=\lim _{ x\to 0}x\sin {\dfrac {1}{x}}=0

Sen johdannainen on:

g(x)={\begin{cases}2x\sin {\dfrac {1}{x}}-\cos {\dfrac {1}{x}}),&x\neq 0;\\0 , &x=0.\end{cases}}

[yksi]

Voidaan helposti tarkistaa, että tällä funktiolla ei ole rajaa nollassa. Todellakin, me muodostamme kaksi sekvenssiä, jotka pyrkivät nollaan ja niin, että ne mitätöivät sinin, mutta , ja . Sitten: $\{y_{n}\}$ $\{x_n\}$ $\cos y_{n}=1$ $\cos z_{n}=-1$

\lim _{n\to \infty }g(y_{n})=\lim _{n\to \infty }\left(2y_{n}\sin {\dfrac {1}{y_{n ))}-\cos {\dfrac {1}{y_{n}}}\right)=\lim _{n\to \infty }(0-1)=-1

\lim _{n\to \infty }g(z_{n})=\lim _{n\to \infty }\left(2z_{n}\sin {\dfrac {1}{z_{n ))}-\cos {\dfrac {1}{z_{n}}}\right)=\lim _{n\to \infty }(0+1)=1

Siten rajaa in ei ole olemassa ja funktio rikkoutuu siinä. $0$

Todistakaamme nyt rajallisuus. Anna . Sitten: $x\in (-1;1)$

\left|2x\sin {\dfrac {1}{x}}-\cos {\dfrac {1}{x}}\right|\leq 2|x|\left|\sin {\dfrac { 1}{x}}\right|+\left|\cos {\dfrac {1}{x}}\right|\leq 2+1=3

Siksi toiminto on rajoitettu. Etsitään raja, koska argumentti pyrkii äärettömyyteen. $[-1;1]$

\lim _{x\to \infty }\left(2x\sin {\dfrac {1}{x}}-\cos {\dfrac {1}{x}}\right)=\lim _{ x\to \infty }\left(2x\sin {\dfrac {1}{x}}\right)-\lim _{x\to \infty }\cos {\dfrac {1}{x}}=2 -1=1

Äärettömän raja on äärellinen, mikä tarkoittaa, että funktio on rajoitettu jossain äärettömän naapurustossa ( ota enemmän ). Segmenteillä ja funktio on jatkuva, kun taas segmentillä jatkuva funktio on rajoitettu siihen. Kaikkien näiden joukkojen liitto muodostaa kokonaisen lukujonon, ja todistimme, että funktio on rajoitettu jokaiseen niistä erikseen, ja koska niitä on äärellinen määrä, se on rajoitettu kokonaislukuviivalle (maksimi kunkin sarjan majorantit antavat majorantin koko rivillä ). $(-\infty ;-a)\cup (a;+\infty )$ $a$ $yksi$ $[-a;-1]$ $[a;1]$

Esimerkki 2. Funktio, jossa on yksi aukko, rajaton sen naapurustossa

Muokataan edellistä esimerkkiä saadaksesi rajoittamattoman funktion.

H(x)={\begin{cases}x^{2}\sin {\dfrac {1}{x^{2}}},&x\neq 0;\\0,&x=0.\ lopeta{tapaukset}}

Samoin sen johdannaista tarkastellaan.

h(0)=\lim _{x\to 0}{\dfrac {x^{2}\sin {\dfrac {1}{x^{2}}}-0}{x}}= \lim _{x\to 0}x\sin {\dfrac {1}{x^{2))}=0

h(x)={\begin{cases}2x\sin {\dfrac {1}{x^{2}}}-{\dfrac {2}{x}}\cos {\dfrac {1} {x^{2}}},&x\neq 0;\\0,&x=0.\end{cases}}

[2]

Todistamme epäjatkuvuuden nollassa eri tavalla. Otetaan nollaan pyrkivä sekvenssi niin, että se mitätöi sinin, mutta . Sitten: $\{y_{n}\}$ $\cos y_{n}=1$

\lim _{n\to \infty }h(y_{n})=\lim _{n\to \infty }\left(2y_{n}\sin {\dfrac {1}{y_{n }^{2}}}-{\dfrac {2}{y_{n}}}\cos {\dfrac {1}{y_{n}^{2}}}\right)=\lim _{n\ to \infty }\left(0-{\frac {2}{y_{n))}\right)=\infty

Tämä todistaa automaattisesti, että funktio on rajaton nollan alueella.

On myös mielenkiintoista, että funktiolla on tässä kohdassa merkittävä epäjatkuvuus, ei ääretön. Tämän tarkistamiseksi riittää, kun otetaan sellainen sekvenssi, että se mitätöi kosinin ja muuttaa sinin yhdeksi. On helppo laskea, että funktion raja tässä tapauksessa on . Nämä kaksi sekvenssiä antoivat erilaisen rajan, mikä tarkoittaa, että rajaa ei ole. $0$ $0$

Esimerkki 3. Funktio, jossa on laskettava joukko epäjatkuvuuspisteitä

Ei ole vaikeaa rakentaa funktiota, jossa on kaksi, kolme, neljä, viisi, millä tahansa rajallisella määrällä keskeytyskohtia: lisää vain tarvittava määrä funktioita yhdellä keskeytyspisteellä. Niiden antijohdannainen on silloin heidän antijohdannaistensa summa. Esimerkiksi funktio, jossa on kolme keskeytyspistettä:

{\näyttötyyli g(x)+g(x-1)+g(x-2)}

, missä on esimerkin 1 funktio.

g

On loogista olettaa, että funktion saamiseksi, jolla on laskettava joukko epäjatkuvuuspisteitä, on tarpeen lisätä sarja tällaisia funktioita. Tässä syntyy kuitenkin vaikeus: sarja ei ehkä lähentyisi. Vaaditun funktion saamiseksi on jotenkin varmistettava tämän sarjan konvergenssi. Lisäksi ei ole tosiasia, että tämän jälkeen tämän sarjan summa on johdannainen antiderivaalien sarjan summasta. Kaikki tämä vaatii lisäanalyysiä.

Otetaan jokin sekvenssi ja positiivinen konvergentti lukusarja . Sitten sarja $a_n$ $b_n$

\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}g(x-a_{n})

konvergoi tasaisesti Weierstrassin testin mukaan (funktio , kuten muistamme, on rajoitettu). Useita primitiivisiä $g$

\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}G(x-a_{n})

suppenee pistesuunnassa. Voit soveltaa lausetta sarjan termikohtaisesta eriyttämisestä .

Jatkuvuus kaikissa pisteissä paitsi sekvenssin pisteitä seuraa tasaisesti konvergenttien sarjojen ominaisuuksista. Ei-negatiivisten kokonaislukujen epäjatkuvuus seuraa seuraavasta pohdinnasta. Jokaisesta tällaisesta numerosta voit heittää pois termin, joka on siinä epäjatkuva. Loput termit ovat jatkuvia ja myös niiden summa on jatkuva. Epäjatkuvan ja jatkuvan funktion summa pisteessä on epäjatkuva. [3] $a_n$

Kaavio esittää tällaisen funktion rationaalilukujen sarjalle ja geometriselle progressiolle sarjana.

Ominaisuudet

Jokaiselle funktiolle, jolla on antiderivaata, väliarvon ominaisuus täyttyy: olkoon määritelmäalueen sisällä pisteet ja . Sitten $x_{1}$ $x_{2}$

\forall \eta \in (f(x_{1}),f(x_{2}))\ \exists \xi \in (x_{1},x_{2}):f(\xi ) =\eta

[neljä]

Kaikki epäjatkuvuuspisteet (pisteet, joissa funktio on määritelty, mutta eivät jatkuvat) ovat merkittäviä. [5]
Yksipuolinen raja määritelmäalueen pisteessä ei voi olla ääretön. Jos piste on epäjatkuvuuspiste, niin ainakin yhtä yksipuolisista rajoista ei ole olemassa.
Kahdenväliset, vasen ja oikea epävarmuusjoukot mille tahansa määritelmäalueen pisteelle ovat laajennetun reaaliviivan segmentti. Segmentit voivat olla mitä tahansa, paitsi yksipiste, joka sisältää vain äärettömän. Oikean ja vasemman epävarmuusjoukot eivät välttämättä ole samat.
Jos funktion alue on intervalli tai puoliväli, niin sillä on rajapiste, joka ei sisälly määritelmäalueeseen. Raja tällaisessa pisteessä voi olla jo ääretön. Tällaisen pisteen epävarmuusjoukko on myös laajennetun reaaliviivan segmentti, mutta tällä kertaa sallitaan yhden pisteen segmentit, joissa on vain ääretön.
Arvo missä tahansa määrittelyalueen pisteessä on aina osaraja molemmilla puolilla (jos piste on päätepiste, niin toisella puolella). [6]
Funktiot, joissa on antiderivaatti, kuuluvat ensimmäiseen Baer-luokkaan . [7]
Epäjatkuvuuspisteiden joukko funktiolle, jolla on antiderivaata , on ensimmäisen Baer-luokan -joukko . Lisäksi mikä tahansa ensimmäisen Baer-kategorian -joukko on jonkin funktion, jolla on antiderivaata, epäjatkuvuuspisteiden joukko. [kahdeksan] $G_\delta$ $G_\delta$

Integrointi

Epämääräinen integraali

Funktion epämääräinen integraali on määritelmän mukaan kaikkien sen antiderivaatojen joukko. Siksi kaikilla funktioilla, joilla on antiderivaata, on myös määrittelemätön integraali.

Kaikki antiderivaatiiviset funktiot eroavat vakiolla, ja mikä tahansa funktio, joka eroaa jostain antiderivaatista vakiolla, on myös antiderivaatti. Siksi epämääräinen integraali on joukko, joka saadaan lisäämällä kaikki mahdolliset vakiot johonkin antiderivaattiin, eli

\int f(x)\,dx=F(x)+C

Tämän ominaisuuden täyttämiseksi välille määritetyllä on suuri rooli. Jos määritelmässä sallitaan, että määritelmäalueen ei ole intervalli, vaan ei-leikkaavien ei-triviaalien intervallien liitto, niin antiderivaatojen ei enää tarvitse erota vakiolla. Jokaisella määritelmäalueen intervalleilla antiderivaatien välinen ero on vakio, mutta eri aikaväleillä nämä vakiot voivat olla erilaisia. Eli anna määritellään , jossa ovat ei-leikkaavat ei-triviaalit intervallit, eikä niitä kahta voida yhdistää väliin. Sitten $f$ $f$ ${\displaystyle X=X_{1}\cup \ldots \cup X_{n))$ ${\displaystyle X=X_{1},\ldots ,X_{n))$

\int f(x)\,dx={\begin{cases}F(x)+C_{1},&x\in X_{1}\\\cdots \\F(x)+C_{n },&x\in X_{n}.\end{cases}}

Tässä olevat vakiot kulkevat kaikkien mahdollisten arvojen läpi. ${\displaystyle C_{1},\ldots ,C_{n))$

Muistiinpanot

↑ Bruckner, 1978 , s. 45.
↑ Bruckner, 1978 , s. 73.
↑ Bruckner, 1978 , s. 47.
↑ Bruckner, 1978 , s. 3.
↑ Bruckner, 1978 , s. neljä.
↑ Bruckner, 1978 , s. 9.
↑ Bruckner, 1978 , s. 12.
↑ Bruckner, 1978 , s. 46.

Kirjallisuus

Bruckner A.M. Reaalifunktioiden erottelu . - Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1978. - 251 s. — (Matematiikan luentomuistiinpanot). - ISBN 978-3-540-35776-6 .