Keskusvoimat ja niiden kentät

Keskivoima on voima, jonka vaikutuslinja kulkee missä tahansa kehon asennossa, johon se kohdistuu, voimakeskukseksi kutsutun pisteen kautta (piste kuvassa 1) [1] . $K$

Esimerkkejä keskeisistä voimista ovat gravitaatio- ja Coulombin voimat, jotka suuntautuvat pistemassat tai pistevaraukset yhdistävää linjaa pitkin .

Helpoin tapa tuoda keskeisiä voimia on fyysisillä järjestelmillä, jotka koostuvat äärellisestä määrästä objekteja, joiden koot voidaan jättää huomiotta (materiaalipisteet), tai joskus joitain vastaavia, jotka koostuvat laajennetuista objekteista, joilla on kiinteä sisäinen rakenne [2] . Hajautettuja järjestelmiä, joissa keskusvoimat vaikuttavat, ei yleensä [3] voida esittää äärellisellä määrällä aineellisia pisteitä. Hajautettujen järjestelmien tapauksessa yleinen lähestymistapa on jakaa ne erittäin suureen (rajassa äärettömään) määrään pieniä (nollaan suuntautuvassa rajassa) kokoisia elementtejä (jotka katsotaan aineellisiksi pisteiksi), joiden välillä keskusvoimat toimivat yllä olevan määritelmän mukaisesti. Siten tässä tapauksessa jokainen alkeisvoima on itse asiassa keskeinen, ja todellinen voima on tällaisten elementaaristen voimien summa (superpositio).

Klassinen fysiikka esittelee myös keskeisen voimakentän käsitteen kolmiulotteisen avaruuden alueelle, jossa keskeiset voimat vaikuttavat. [neljä]

Minkä tahansa keskusvoiman suhteen $\vec F$ ${\vec {M}}={\vec {r}}\times {\vec {F}}=0,$

(jossa M on voimien momentti, on sädevektori, jonka origo on voiman keskipisteessä), mikä osoittaa, että voimamomentti voiman keskipisteen suhteen on nolla: ${\vec {r))$

Pakota kentät

Nämä kentät vastaavat Coulombin voimia (sähköstaattisen vuorovaikutuksen voimia) ja gravitaatiovoimia (yleisen painovoiman voimia). Niiden samankaltaisuus piilee siinä, että ne voidaan havaita aineellisten esineiden vuorovaikutuksen aikana, ja painovoiman tapauksessa tämän vuorovaikutuksen määräävä ominaisuus on massa ja Coulombin vuorovaikutuksessa sen kantama varaus. tämä massa. Varaukset, jotka eivät liity massaan, ovat klassisen fysiikan tuntemattomia.

Keskivoimakentän intensiteettiä kuvaava arvo on vektori, joka on suunnattu pistelähteen ja kentän määritellyn pisteen yhdistävää viivaa pitkin.

Mahdolliset keskuskentät

Keskusvoimien työ

Voiman alkeistyö , mukaan lukien keskusvoima, on skalaarisuure, joka lasketaan energian muutoksena voiman kohdistamispisteen liikkuessa (yleisessä tapauksessa sen suuruus ja suunta muuttuessa), kun siirrytään niin pieneen sen liikeradan segmentti, että sen voimavektoria voidaan pitää muuttumattomana, eli etäisyyden päässä : $dA$ $\vec F$ ${\vec {d}}r$

$dA={\vec {F}}{\vec {d}}r=F\cos \alpha dr$ (5)

missä on näiden vektorien välinen kulma. Koska , kulmalukeman suunnalla ei ole väliä. $\alpha$ $\cos \alpha =\cos(-\alpha )$

Siirrettäessä etäisyyttä kohteesta , koko polku voidaan jakaa perusosiin. Ja sitten kokonaistyö on näiden perustöiden summa, mitä tarkemmalla tarkkuudella, mitä useampaan osaan liikeradat jaetaan, mikä ilmaistaan integraalimerkillä tämän summan rajana: ${\displaystyle r_{1))$ ${\displaystyle r_{2))$ $i$ $A$ $n$

$A=\lim \sum _{i=1}^{n}{F_{i}}\cos _{i}\alpha _{i}\ dr_{i}=\int \limits _{r_ {1}}^{r_{2}}{\vec {F}}_{r}d{\vec {r}}(6)$

Ottaen huomioon liikkeen suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä, keskusvoima voidaan esittää sen projektioiden geometrisena summana koordinaattiakseleilla:

${\vec {F}}={\vec {F}}_{x}+{\vec {F}}_{y}+{\vec {F}}_{z}=F_{x }{\vec {i}}+F_{y}{\vec {j}}+F_{z}{\vec {k}}(7)$

jossa , , ovat yksikkövektorit ( orts ) niiden akseleille. ${\vec i}$ $\vec j$ ${\vec k}$

Kenttäpotentiaali

Ei jokaisella voimakentällä, vaan sen tekemä työ riippuu vain alku- ja loppuliikepisteiden sijainnista. Toisin sanoen se ei riipu polun muodosta.

Mainittu integraali ei riipu polun muodosta vain, jos siinä on jokin antiderivatiivinen funktio , jonka kokonaisdifferentiaalin lausekkeessa: $U$

dU={\frac {\partial U}{\partial x}}dx+{\frac {\partial U}{\partial y}}dy+{\frac {\partial U}{\partial z}}dz (kahdeksan)

sen osittaiset johdannaiset vastaavat voimaennusteita (nykyisen tavanomaisen sopimuksen mukaan - merkkiin asti):

dU=-F_{x}dx-F_{y}dy-F_{z}dz(9)

Tässä tapauksessa funktiota kutsutaan potentiaalifunktioksi ja voimakenttää potentiaalikentäksi . [5] $U$

Mutta tämä on mahdollista vain, jos yhtäläisyydet täyttyvät samanaikaisesti:

${\frac {\partial F_{y)){\partial z))={\frac {\partial F_{z)){\partial y));{\frac {\partial F_{z)) {\osittais x))={\frac {\osittinen F_{x)){\osittinen z));{\frac {\osittinen F_{x)){\osittinen y))={\frac {\osittinen F_ {y}}{\osittainen x}}(10)$

Keskusvoimien osalta tämä ehto täyttyy. Kenttää, jossa nämä ehdot täyttyvät, kutsutaan irrotaatiokentäksi . Siksi potentiaaliset kentät ovat irrotaatiokenttiä. [5]

Potentiaalifunktion ja voiman yhdistävän kaavan miinusmerkki määräytyy halusta identifioida potentiaalinen funktio potentiaalienergialla [6] (muuten voisi tehdä ilman miinusmerkkiä, mikä joskus tehdään puhtaasti muodollisesti, kun otetaan käyttöön potentiaalifunktio, erityisesti vektorikentällä, jolla ei ole voiman luonnetta).

Viestintä potentiaalisen energian kanssa tapahtuu luonnollisesti työn kautta.

Vaikuttaa luonnolliselta olettaa, että kentänvoimakkuusvektori on suunnattu kentän lähteestä, (mikä on yleensä hyväksytty kuvattaessa sähköstaattista kenttää samannimisen varausten vuorovaikutuksessa [7] ) Sitten kiinnitetään piste, joka sijaitsee etäisyys keskusvarauksesta ja antaa sille vapaus, saamme, että se on voiman alaisena siirtyy äärettömyyteen. Tässä tapauksessa kentän tekemä työ on yhtä suuri kuin: ${\displaystyle r_{1))$

$A_{r_{1}}=\int \limits _{r_{1}}^{\mathcal {1}}{\vec {F}}_{r}d{\vec {r}}( yksitoista)$ .

Sama voidaan sanoa, jos kenttä siirsi kappaletta pidemmälle ja sen seurauksena tekisi enemmän työtä, ja siksi työn ero pisteiden välillä on suurempi kuin nolla. ${\displaystyle r_{2}>r_{1))$

Ja nämä työt voidaan kutsua vakiopistepotentiaaliin : ja , mikä tarkoittaa potentiaalilla kykyä tehdä työtä, joka on korkeampi lähemmälle kuin kaukaiselle. ${\näyttötyyli U_{l1))$ $U_{l2}$

Silloin kentän tekemä työ on yhtä suuri kuin miinusmerkillä otettu potentiaaliero

$A=\int \limits _{r_{1}}^{r_{2}}{\vec {F}}_{r}d{\vec {r}}=U_{l1}-U_{ l2}=-\Delta U(12)$

Näin ollen voiman työ matkalla alkupisteestä loppupisteeseen on yhtä suuri kuin muutos potentiaalifunktiossa, joka on etäisyyden skalaarifunktio. Tässä tapauksessa jokaiselle polun pisteelle on mahdollista määrittää oma potentiaalinsa vakioarvoon asti : $U$

Kenttä mahdollisena gradientina

Keskivoiman kentässä sen komponentti tietyllä akselilla on potentiaalifunktion muutosnopeus samalla akselilla tai funktion gradientti tietyssä suunnassa.

Potentiaalifunktion muutoksen kuvaamiseksi mielivaltaiseen suuntaan kenttäteoriassa otetaan käyttöön vektoridifferentiaalioperaattori, jonka muoto on :

\nabla \equiv {\frac {\partial }{\partial x}}{\vec {i}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\vec {j}}+{ \frac {\partial }{\partial z}}{\vec {k}}(13)

Soveltamalla tätä operaattoria potentiaalifunktioon saadaan, että kentän tietyssä pisteessä voima on (merkkiin asti) potentiaalin gradientti:

{\vec {F}}=F_{x}{\vec {i}}+F_{y}{\vec {j}}+F_{z}{\vec {k}}={\vec {F}}_{x}+{\vec {F}}_{y}+{\vec {F}}_{z}=-\nabla U\equiv -\mathbf {grad} U(14).

Miinusmerkki, joka tavallisen sopimuksen mukaan esiintyy tässä kaavassa, johtuu siitä, että funktio U voidaan tunnistaa potentiaalienergian kanssa (vaikka puhtaasti muodollisesti potentiaalifunktio voitaisiin valita eri merkillä, jos tällainen tunnistamista ei oletettu).

Coulombin kenttä

Coulombin kentän intensiteetti määräytyy vektorilla, joka on yhtä suuri: ${\vec E}$

${\vec {E}}=C_{Q}{\frac {Q{\vec {r}}}{r^{3}}}(15)$

tai siirtymällä skalaariin:

$E=C_{Q}{\frac {Q}{r^{2))}(16)$

Täällä ; - kehon varaus - voiman lähde; , on etäisyys pisteeseen, jossa intensiteetti määritetään, ja vakio riippuu väliaineen dielektrisyysvakiosta , (tyhjän tilan ollessa 1), jossa kenttä on: $E=\lVert {\vec {E}}\rVert$ $K$ $r=\lVert {\vec {r}}\rVert$ $C_{Q}$ $\varepsilon$

${\displaystyle C_{Q}={\frac {1}{4\pi \varepsilon \varepsilon _{0))))$ , missä:

$\varepsilon _{0}$ on tyhjiön dielektrisyysvakio. Tässä tapauksessa tyhjiölle

${\displaystyle C_{Q}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0))))$ = Vm/As kansainvälisessä yksikköjärjestelmässä [8] , $10^{10}$

Coulombin voimat

Coulombin kentän toimintakohteena on materiaalikappale, jossa on varaus $q$

Tässä tapauksessa siihen vaikuttaa sähköistä alkuperää oleva mekaaninen (newtonilainen) voima, joka on yhtä suuri kuin varauksen suuruuden ja kentänvoimakkuuden tulo:

tai ottaen huomioon ():

${\vec {F}}_{q}=C_{Q}{\frac {qQ{\vec {r}}}{r^{3}}}(17)$ tai skalaarimuodossa:

$F_{q}=C_{Q}{\frac {qQ}{r^{2}}}(18)$

Coulombin kentän erityispiirre on, että sen intensiteetin vektori on suunnattu joko kentän lähteestä, jos lähteen ja vuorovaikutuskohteen varauksen etumerkki osuu yhteen, tai se suunnataan kohti lähdettä. vastakkaisten maksujen tapauksessa. Tämä tarkoittaa, että varautuneet materiaalikappaleet kokevat ensimmäisessä tapauksessa hylkivän voiman ja päinvastoin voiman, joka tuo ne lähemmäksi.

Toinen Coulombin kentän ominaisuus on tekninen kyky valita avaruuden alue, josta se puuttuu vaaditussa määrin ( Faraday-häkki )

Painovoimakenttä

Venäjänkielisessä kirjallisuudessa gravitaatiokentän voimakkuutta kutsutaan "vapaan pudotuksen kiihtyvyydeksi" , ulkomailla sitä kutsutaan joskus gravitaatiokentän intensiteetiksi. ${\vec {g))$

${\vec {g}}=G{\frac {M{\vec {r}}}{r^{3}}}(19)$

Tai vaihtamalla skalaarimerkintää: $g=G{\frac {M}{r^{2}}}(20)$

Täällä ; on kehon massa - painovoiman lähde; on etäisyys pisteeseen, jossa intensiteetti määritetään, ja vakio on gravitaatiovakio, joka nykyajan tietojen mukaan on , [9] $g=\lVert {\vec {g}}\rVert$ $M$ $r=\lVert {\vec {r}}\rVert$ $G$ $G=6,6742*10^{-11}{\frac {m^{3}}{kg*s^{2}}}$

Painovoimat

Gravitaatiokentän toimintakohde on aineellinen kappale, jolla on massa $m$

Tässä tapauksessa siihen vaikuttaa mekaaninen voima, joka on yhtä suuri kuin kehon massan ja kentänvoimakkuuden tulo. Olennaista on, että Newtonin toiseen lakiin sisältyvän massan ja saman painovoiman alaisen kappaleen massan välillä ei ole suuruuseroa. Sitten ottaen huomioon (): $m$

${\vec {F}}_{g}=m{\vec {g}}(21)$

tai skalaarimuodossa:

$F_{g}=mg\ (22)$

Painovoiman erityispiirre on, että ne ovat aina vetovoimavoimia. Lisäksi painovoimat läpäisevät kaiken, eikä mikään kilpi voi puolustautua niitä vastaan. Tämä ominaisuus yhdistää painovoimat kuvitteellisiin hitausvoimiin, joita esiintyy missä tahansa ei-inertiaalisessa vertailukehyksessä. Tällainen analogia perustuu avaruuden perusominaisuuksiin, joiden tutkiminen on klassisen fysiikan ulkopuolella. [kymmenen]

Painovoimakentän potentiaali

Korvaamalla kohdassa (6) yleisen gravitaatiovoiman arvon arvosta (20) saadaan, ottaen huomioon, että työ tehtiin kenttää vastaan:

$A=-GmM\int \limits _{r_{1}}^{r_{2}}{\frac {\vec {r}}{r^{3}}}d{\vec {r} }=-GmM\left({\frac {1}{r_{2}}}-{\frac {1}{r_{1}}}\right)=U_{2}-U_{1}$ (23)

Siten jokaiselle gravitaatiokentän pisteelle voidaan määrittää oma potentiaalinsa vakioon asti, kuten:

$U_{r}=-GmM\left({\frac {1}{r}}\right)$ [11] (24)

Liike keskusvoiman vaikutuksesta

Yleisessä tapauksessa mikä tahansa kappaleen liikerata, jota pidetään aineellisena pisteenä, voidaan esittää avaruudellisena käyränä, joka koostuu konjugoituneista käännöksistä eri tasoissa hetkellisten kääntökeskipisteiden ympärillä , joiden kääntösäteen arvot ovat samassa kuviossa. Sillä on. $r_{c}$

Mutta liikeradan kaarevuus ei tarkoita ollenkaan sitä, että kehoon vaikuttaisi tietty voima, joka joka hetki on keskipitkävoima.

Kommentti

Viimeinen lauseke on erittäin tärkeä. Joten esimerkiksi maanpäälliselle tarkkailijalle tasaisesti ja suoraviivaisesti lentävästä lentokoneesta pudotettu pommi liikkuu paraabelia pitkin. Mutta lentäjälle se putoaa pystysuoraan ainoan painovoiman vaikutuksesta tässä tapauksessa (jos et ota huomioon ilmanvastuksen aiheuttamaa ajautumista). Tässä ei ole voimia, jotka aiheuttavat liikeradan kaarevuutta. Keskisuuntaiset voimat eivät synny siksi, että liikerata on kaareva, vaan koska ne ovat ilmaus liikkuvan kohteen todellisesta voimavuorovaikutuksesta ympäristönsä kanssa.

Voimakeskuksessa uskotaan olevan voiman lähde, joka voi olla gravitaatiomassa tai sähkövaraus, jos kyseessä on vastaavan voimakentän ominaisuus. Voiman keskipiste ei yleensä ole sama kuin hetkellinen kiertokeskipiste - kuvan 1 piste . Tämä yhteensattuma tapahtuu vain, kun runko pyörii ympyrän kaaria pitkin. [neljä] $C$

Kuten kuvasta 1 voidaan nähdä, ainoa voima, joka vaikuttaa kappaleiden väliin ja voidaan jakaa kahdeksi osaksi: (2) $\alpha$ $K$ ${\vec {F}}$ ${\vec {F}}={\vec {F}}_{t}+{\vec {F}}_{n}$

Tässä tapauksessa on olemassa tangentiaalinen voima, joka riippuu kappaleen liikesuunnasta sen liikeradalla kuviossa, joka joko hidastaa sen liikettä tai kiihdyttää sitä. ${\vec {F}}_{t}$

${\vec {F}}_{n}$ on voima, joka on suunnattu normaalia pitkin liikeradan tangentin kohti hetkellistä keskustaa ja on siksi keskisuuntainen voima. [12]

Suoraan voimamomentin ja liikemäärän (momenttimomentin) käsitteiden määritelmästä seuraa kokeellisesti vahvistettu tosiasia, että pyörivän kappaleen liikemäärän muutosnopeus on suoraan verrannollinen käytetyn voiman momentin suuruuteen. vartaloon : ${\vec L}$ ${\vec M}$

${\frac {d{\vec {L}}}{dt}}={\vec {M}}(3)$

Keskivoiman kentässä sen momentti on kuitenkin aina nolla (kaava (1)). Tästä seuraa suoraan, että missä tahansa kehon liikkeessä keskusvoiman alueella liikkuvan kappaleen kulmamomentti pysyy vakiona:

${\vec {L}}=const(4)$ . Mutta koska vektorin pysyvyys on samalla sen suunnan säilyminen avaruudessa, niin kehon liikkeen aikana ylöspäin pyyhkäisty alue on aina samassa tasossa. Tästä seuraa, että mikä tahansa kappaleen liikerata keskivoiman vaikutuksesta on tasainen käyrä.

Useimmiten kappaleiden liikkumista gravitaatiokentässä tutkitaan taivaan mekaniikan alalla, jossa gravitaatiovaikutukset ovat vallitsevia, ja siksi tutkittavaa vuorovaikutteisten voimien järjestelmää voidaan pitää konservatiivisena järjestelmänä , eli sellaisena, jossa kokonaismäärä kehon energia säilyy potentiaalisen ja liike-energian summana. [neljä]

${\displaystyle E=W_{k}+W_{p))$ (25), jossa:

$W_{k}={\frac {m}{2}}(v_{n}^{2}+v_{t}^{2})(26)$ Lisäksi ja vastaavat nopeuksia, jotka muodostuvat kehoon vaikuttavan voiman normaali- ja tangentiaalisista komponenteista kuvassa 1. $v_{n}$ ${\displaystyle v_{t))$

Kineettisen momentin määritelmää käyttämällä saadaan suhde tangentiaalisen liikkeen kineettiselle energialle: ${\displaystyle L=mrv_{t))$

$W_{k}(t)={\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}(27)$ .

Ja liikkumiseen normaalia liikeradalle: $W_{k}(n)={\frac {mv_{n}^{2}}{2}}(28)$

$W_{p}={\frac {GmM}{r}}(29)$

Sitten kehon kokonaisenergian lauseke näyttää tältä:

$E={\frac {mv_{n}^{2}}{2}}+{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}-{\frac {GmM}{r }}(kolmekymmentä)$

Otetaan huomioon tehokkaat mahdollisuudet : $U^{*}$

$U^{*}={\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}-{\frac {GmM}{r}}(31)$

Saamme mahdollisuuden liittää kehon liikeradan sädevektorin pituuden muutosalue sen varastoimaan energiaan, joka on esitetty kuvassa 2 [13] .

Eli liikkuvan kappaleen minimienergialla keho liikkuu ympyräradalla, jonka säde on $E_{3}$ $r_{0}$

Jos kehon liikeenergia on esimerkiksi suurempi, kehon liikerata on ellipsi, jossa on pieni puoliakseli ja suuri puoliakseli . $E_2$ $r_{a}$ $r_{b}$

Lopuksi kehon energialla ne hajoavat ja lähestyvät vähimmäisetäisyyttä $E_1$ $r_{s}$

Muistiinpanot

↑ Keskivoima // Fyysinen tietosanakirja / Ch. toim. A. M. Prokhorov . - M .: Great Russian Encyclopedia , 1998. - T. 5. - S. 425-426. – 760 s. — ISBN 5-85270-101-7 .
↑ Tämä tarkoittaa pallosymmetrisiä objekteja (tai kohteita, jotka eroavat tarpeeksi vähän pallosymmetrisistä, jotta niitä voidaan pitää pallosymmetrisinä työapproksimaatiossa).
↑ Itse asiassa - melkein joka tapauksessa, paitsi yllä kuvatut; jopa niin yksinkertaisessa tapauksessa, kuten ehdottoman jäykkien ei-pallomaisten kappaleiden Coulombin vuorovaikutuksessa niihin kiinnitetyillä jakautuneilla varauksilla, on yleensä mahdotonta pelkistää voimien laskentaa voimiin pienen määrän materiaalipisteiden välillä.
↑ 1 2 3 Physical Encyclopedic Dictionary / Ch. toim. A. M. Prokhorov. Red.col. D. M. Alekseev, A. M. Bonch-Bruevich, A. S. Borovik-Romanov ym. - M .: Sov. encyclopedia, 1983.-323 s., il, 2 arkkia väriä ill.
↑ 1 2 Bronstein I. N. Semendyaev K. A. Matematiikan käsikirja. M .: Kustantaja "Nauka" Fysikaalisen ja matemaattisen kirjallisuuden toimituskunta. 1964.
↑ Koska potentiaalisten ja kineettisten energioiden summa on säilytettävä, voiman suunnassa (joka voi kiihdyttää hiukkasta tähän suuntaan ja siten lisätä sen liike-energiaa), potentiaalienergia pienenee.
↑ Tamm I. E. Sähköteorian perusteet
↑ GOST 8.417-2002. Yksiköt
↑ Ulrich Leute. Physik und ihre Anwendungen in Technik und Umwelt: Carl Hanser Verlag; München, Wien- 2004 ISBN 3-446-22884-5
↑ Khaikin, Semjon Emmanuilovich | S. E. Khaikin . Inertia- ja painottomuuden voimat. M., 1967. Kustantaja "Nauka". Fysikaalisen ja matemaattisen kirjallisuuden pääpainos.
↑ Ulrich Leute. Physik und ihre Anwendungen in Technik und Umwelt: Carl Hanser Verlag; München, Wien- 2004 ISBN 3-446-22884-5
↑ Klaus Dransfeld, Paul Kleine, Georg Michael Kalvius. Physik I. Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH 2001 ISBN 3-486-25416-2
↑ '