Possuliporismi

Poncelet-porismi on projektiivisen geometrian klassinen lause . Nimetty Jean-Victor Poncelet'n mukaan .

Historia

Poncelet-porismin löysi ranskalainen matemaatikko Jean-Victor Poncelet vuosina 1812-1814, kun hän oli vankina Saratovissa . Vankeudessa Saratovissa hän kirjoitti (enimmäkseen) tutkielmansa hahmojen projektitiivisista ominaisuuksista sekä tutkielman analyyttisestä geometriasta (seitsemän muistikirjaa, jotka myöhemmin julkaistiin - 1862-1864 - otsikolla Applications d'Analyse et de Géometrie ) .

Kolmioiden erikoistapaus seurasi Eulerin lauseesta .

Sanamuoto

Antaa olla monikulmio, jossa on eri kärkipisteitä, kirjoitettu kartioon ja rajattu noin toiseen kartioon . Sitten jokaiselle kartiomaiselle pisteelle , kuten kosketuksille , on olemassa monikulmio , joka on merkitty sisään ja sen ympärille rajattu . [yksi] ${\displaystyle A_{1}A_{2}\ldots A_{n))$ $n$ $C$ $\Gamma$ ${\näyttötyyli B_{1},B_{2))$ $C$ ${\displaystyle B_{1}\neq B_{2))$ ${\displaystyle B_{1}B_{2))$ $\Gamma$ ${\displaystyle B_{1}B_{2}\ldots B_{n))$ $C$ $\Gamma$

Muistiinpanot

Jos kartio on ympyrä , polygoneja, jotka on piirretty yhteen ympyrään ja rajattu toisen ympärille, kutsutaan kaksikeskisiksi monikulmioiksi , joten tämä on Poncelet-porismin erikoistapaus, joka voidaan ilmaista ytimekkäästi, koska jokainen kaksikeskinen monikulmio on osa ääretöntä kaksikeskisten monikulmioiden joukkoa. monikulmiot suhteessa samoihin kahteen ympyrään [2] :p. 94 .

Algebrallinen todiste

Harkitse joukkoa muotoisia pareja "piste ulommalle kartiolle ja tangentti siitä sisempään". Tämä joukko voidaan määritellä algebrallisella yhtälöllä projektiivisen tason ja sen duaalin (eli alkuperäisen tason viivojen joukon) tulossa, joka on projektiivinen Segre-upotuksesta johtuen . On selvää, että yleisessä konfiguraatiossa tuloksena oleva algebrallinen vaihtelu on ei-degeneroitunut käyrä. Lasketaan sen suku käyttämällä Riemann-Hurwitzin kaavaa : tämä monisto projisoidaan luonnollisella tavalla (unohtamalla suoraviivauskartoitus) ulkoiselle kartioleikkaukselle, ja kaksi esikuvaa roikkuu yhteisen pisteen yläpuolella, ja vain neljä pistettä - kartioleikkausten leikkauspisteet, joiden olemassaolon Bezoutin lause takaa , - sillä on yksi esikuva, eli se on haarautunut näissä neljässä pisteessä ja vain niissä. Siksi peittokäyrän Euler-ominaisuus on yhtä suuri kuin , eli käyrä on suku 1 ja on rappeutumattomuudestaan johtuen elliptinen käyrä . $2(2-4)+4=0$

Aloitamme jostain kohdasta piirtämällä tangentteja. Kun aloituspiste ja kulkusuunta on valittu, saadaan parijono, kuten "piste ulommalle kartiolle ja tangentti siitä sisempään". Huomaa, että ulkokartion yksi ei-degeneroitunut piste vastaa kahta pistettä elliptisellä käyrällä (vastaa kahta siitä lähtevää tangenttia), ja niiden summa elliptisen käyrän pisteinä antaa kuvan ulkokartiosta elliptiseen. käyrä, joka on kuvaus pisteeseen, koska se voidaan nostaa universaalille peitteelle - kompleksiselle tasolle, jossa se on pallon tiiviyden vuoksi rajoitettu ja Liouvillen lauseen mukaan vakio. Siksi yhdestä pisteestä lähtevän tangentin siirto saadaan kartoituksella , jossa on vakio. Vastaavasti tangentin päällä olevan pisteen siirrolla on muoto , ja niiden koostumuksella on siis muoto ; mutta koostumus on ketjun seuraavan puolen rakentaminen edellisestä, ja ketjun sulkeutuminen vastaa sitä, mikä on elliptisen käyrän vääntöä ryhmänä yhteenlaskettuna, eikä se siksi riipu aloituspisteestä ; samoin kiertymisjärjestys, toisin sanoen ketjun sulkeutumisvaiheiden lukumäärä, ei riipu siitä. $x\mapsto \xi -x$ $\xi$ $x\mapsto \zeta -x$ $x\mapsto \zeta -\xi +x$ $\zeta-\xi$

Muunnelmia ja yleistyksiä

Cayleyn lause

Olkoon ympyrä ja ellipsi . Sitten ketjun silmukan ehto annetaan funktion Taylor-sarjan perusteella . (Jokainen kerroin lasketaan esimerkiksi ja avulla . ) Nimittäin: $f$ $x^{2}+y^{2}=1$ $g$ $ax^{2}+by^{2}=1$ ${\sqrt {(a^{2}+t)(b^{2}+t)(1+t)}}=c_{0}+c_{1}t+c_{2}t^{2} +\pisteet$ $c_{i}$ $a$ $b$ $c_{0}=ab$

Poncelet-ketju muodostaa parin ja kiertää portaiden yli jos ja vain jos $f$ $g$ $2m+1$ ${\begin{vmatrix}c_{2}&\pisteet &c_{m+1}\\\vdots &&\vdots \\c_{m+1}&\dots &c_{2m}\end{vmatrix)) =0.$
Poncelet-ketju muodostaa parin ja kiertelee askelten yli silloin ja vain jos [3] $f$ $g$ $2 m$ ${\begin{vmatrix}c_{3}&\pisteet &c_{m+1}\\\vdots &&\vdots \\c_{m+1}&\dots &c_{2m-1}\end{vmatrix }}=0.$

Schwartzin lause

Olkoon Poncelet-ketju. Merkitään suoralla ja huomioidaan leikkauspisteet . Sitten mille tahansa kokonaisluvulle $A_{0}A_{1}\dots$ $\ell _{i}$ $A_{i}A_{{i+1}}$ ${\displaystyle B_{i,j}=\ell _{i}\cap \ell _{j))$ $k$

Kaikki pisteet sijaitsevat samalla kartioleikkauksella. $B_{{i,i+k}}$
Kaikki pisteet sijaitsevat samalla kartioleikkauksella. $B_{{i,ki}}$

Moniulotteinen analoginen

Poncelet-lauseen algebrallinen todistus perustuu siihen tosiasiaan, että kahden nelikulman leikkauspiste kolmiulotteisessa projektioavaruudessa on elliptinen käyrä . Vuonna 1972 Miles Reed osoitti väitöskirjassaan tämän tosiasian yleistyksen. Nimittäin Reedin lause sanoo, että monisto, joka parametroi lineaarisia -ulotteisia aliavaruuksia -ulotteisessa projektioavaruudessa, joka sijaitsee kaksiulotteisen neliulotteisen avaruuden leikkauskohdassa (edellyttäen, että tämä leikkauspiste on ei-singulaarinen), on jonkin hyperelliptisen käyrän (haarautunut ) Jacobin monisto rationaalisen käyrän kaksinkertainen peittäminen). [4] Tämä hyperelliptinen käyrä voidaan muodostaa -ulotteisten aliavaruuksien paikaksi kahden nelikulman leikkauskohdassa, jotka leikkaavat jonkin kiinteäulotteisen aliavaruuden, joka myös sijaitsee neliöiden leikkauspisteessä, pitkin aliavaruutta, jonka ulottuvuus on vähintään . Jos nämä neliöt pelkistetään pääakseleiksi (eli niillä on homogeeniset yhtälöt $(n-1)$ ${\näyttötyyli (2n+1)}$ $2n$ $(n-1)$ $(n-1)$ $n-2$

$z_{0}^{2}+z_{1}^{2}+\pisteet +z_{2n+1}^{2}=0,$

$b_{0}z_{0}^{2}+b_{1}z_{1}^{2}+\pisteet +b_{2n+1}z_{2n+1}^{2}=0$

joillekin kertoimille ), tämä käyrä on birationaalisesti isomorfinen yhtälön antaman käyrän kanssa ${\displaystyle b_{0},b_{1},\dots b_{2n+1))$

y^{2}=(x-b_{0})(x-b_{1})\dots (x-b_{2n+1}).

Donaghy huomasi, että yhteenlaskulaki tällaisessa monistossa voidaan määritellä geometrisesti. Nimittäin, jos on jokin neliö nivelestä, jonka muodostavat kaksi neliömme (merkitsimme niitä ja ), ja ovat kaksiulotteisia aliavaruuksia, jotka sijaitsevat ja kuuluvat samaan yhdistettyyn perheeseen, ja leikkaavat pois kahden neliulotteisen nelikon leikkauskohdassa . aliavaruuksia ja , niin yhteenlasku määräytyy yksiselitteisesti säännön (ja nollan valinnan) mukaan. [5] Esimerkiksi jos , niin pisteiden yhteenlasku elliptisellä käyrällä määritellään seuraavasti. Valitaan piste nollaksi. Pisteiden lisäämiseksi ja , piirrä viiva ja harkitse neliötä lyijykynästä, jolla tämä viiva sijaitsee (tällainen neliö on ainutlaatuinen ja se voidaan rakentaa esimerkiksi sekanttilinjojen liitoksi , joka leikkaa kahdesti elliptisen käyrän ). Linja , joka on kaksiulotteisen neliulotteisen generaattori, kuuluu yhden parametrin yhdistettyyn perheeseen. Valitaan tästä perheestä pisteen kautta kulkeva viiva . Suoran ja elliptisen käyrän leikkauspisteen toinen leikkauspiste on halutun summan summa . $K$ $Q_1$ $Q_{2}$ $E_1$ $E_2$ $n$ $K$ $E_{i}$ $(n-1)$ $\ell _{i1}$ ${\displaystyle \ell _{i2))$ $\ell _{11}+\ell _{12}=\ell _{21}+\ell _{22}$ $n = 1$ $O$ $A$ $B$ $AB$ $AB$ $AB$ $s$ $O$ $s$ $A+B$

Katso myös

Steiner-porismi on samanlainen väite ympyräketjuille.
Eulerin lause (planimetria) sisältää Poncelet-porismin erikoistapauksen . $n = 3$

Muistiinpanot

↑ Marcel Berger , Geometria, Seuraus 16.6.11.
↑ Johnson, Roger A. , Advanced Euclidean Geometry, Dover Publications, 2007 (alkuperäinen 1960).
↑ Dragovic, Vladimir, Radnovic, Milena. Poncelet Porisms and Beyond. - Springer, 2011. - S. 116. - (Matematiikan rajat). — ISBN 3034800142 .
↑ Reid, M.: Kahden tai useamman nelikulman täydellinen leikkaus. Thesis, Cambridge (GB) 1972
↑ Donagi, R.: Ryhmälaki kahden nelikulman leikkauspisteistä. Preprint UCLA 1978

Kirjallisuus

Bos, HJM; Kers, C.; Oort, F.; Raven, DW Ponceletin sulkemislause. Expositiones Mathematicae 5 (1987), no. 4, 289-364.

Linkit

Elävä piirustus .
Marcel Berge. Geometria: Per. ranskasta. - M .: Mir, 1984. - osa 2, 16.6, s. 140-148.
Tabachnikov S. L., Fuchs D. B. Luento 29 // Mathematical Divertissement . - MTSNMO, 2011. - 512 s. - 2000 kappaletta. - ISBN 978-5-94057-731-7 .
V. V. Prasolov . Proof of the Poncelet Theorem by Darboux Arkistoitu 27. helmikuuta 2014 at the Wayback Machine , Mat. valaistuminen, ser. 3, 5, MTsNMO, Moskova, 2001, 140-144.
G. B. Shabat . Around Poncelet Arkistokopio 27. huhtikuuta 2016 Wayback Machinessa , Summer School "Modern Mathematics", 2014 Dubna.