Baker-Hegner-Stark lause

Baker-Hegner-Starkin lause [1]  on algebrallisen lukuteorian lausunto siitä, mitkä toisen asteen kompleksilukukentät sallivat ainutlaatuisen hajotuksen kokonaislukurenkaassa [ . Lause ratkaisee Gaussin luokkien lukumäärän ongelman erikoistapauksen , jossa on määritettävä niiden kuvitteellisten neliökenttien lukumäärä, joilla on tietty kiinteä määrä luokkia .

Algebrallinen lukukenttä (jossa  on kokonaisluku , joka ei ole neliö) on kertaluvun 2 rationaalisten lukujen kentän äärellinen laajennus , jota kutsutaan neliölaajennukseksi. Kenttäluokkien lukumäärä on kentän kokonaislukurenkaan ihanteiden ekvivalenssiluokkien  lukumäärä , jossa kaksi ihannetta ja ovat ekvivalentteja, jos ja vain jos on olemassa pääideaalit ) ja sellainen, että . Tällöin kentän kokonaislukujen rengas on pääasiallinen ideaalialue (ja siten alue, jolla on ainutlaatuinen hajoaminen ) jos ja vain, jos kenttäluokkien lukumäärä on yhtä suuri kuin 1. Siten Baker-Hegner-Stark-lause voidaan muotoilla seuraavasti: jos , niin kenttäluokkien lukumäärä on yhtä suuri kuin 1 jos ja vain jos:

.

Nämä numerot tunnetaan nimellä Hegner-luvut .

Korvaamalla -1 arvolla -4 ja -2 merkillä -8 (mikä ei muuta marginaalia), lista voidaan kirjoittaa seuraavasti [2] :

,

jossa tulkitaan diskriminantiksi (joko algebrallisen kentän tai elliptisen käyrän kompleksisella kertolaskulla ). Tämä on tavallisempi lähestymistapa, koska siitä lähtien on Fundamental Diskriminantti .

Historia

Gauss muotoili hypoteesin Aritmeettisten tutkimusten kappaleessa 303 . Ensimmäisen todisteen antoi Kurt Hegner vuonna 1952 , mutta se sisälsi useita teknisiä puutteita, ja matemaatikot eivät hyväksyneet sitä ennen kuin Harold Stark [ antoi täydellisen tarkan todisteen vuonna 1967, jolla oli paljon yhteistä Hegnerin työn kanssa. [3] . Hegner "kuoli ennen kuin kukaan todella ymmärsi, mitä hän oli tehnyt" [4] . Muut paperit antoivat samanlaisia ​​todisteita käyttämällä modulaarisia funktioita, mutta Stark keskittyi yksinomaan Hegnerin aukkojen täyttämiseen ja viimeisteli sen lopulta vuonna 1969 [5] .

Alan Baker antoi täysin toisenlaisen todisteen Starkin työstä hieman aikaisemmin ( 1966 ) (tarkemmin sanottuna Baker vähensi tuloksen äärelliseen määrään laskelmia, vaikka Stark oli tehnyt nämä laskelmat jo 1963/1964 opinnäytetyössä) ja sai Fields-palkinnon. menetelmiensä vuoksi. Stark huomautti myöhemmin, että Bakerin todistus, jossa käytetään lineaarisia muotoja 3 logaritmissa, voitaisiin vähentää 2 logaritmiin, jos tulos olisi ollut tiedossa vuonna 1949 Gelfondille ja Linnikille [6] .

Vuoden 1969 artikkelissa Stark [5] lainasi myös Heinrich Martin Weberin vuonna 1895 kirjoittamaa tekstiä ja huomautti, että jos Weber olisi "huomannut, että [joiden yhtälöiden] pelkistyvyys johtaa diofantiiniyhtälöön , luokkanumerotehtävät olisi voitu ratkaista 60 vuoden kuluttua sitten." Brian Birch huomautti, että Weberin kirja ja jopa koko modulaaristen funktioiden kenttä jäi huomioimatta puoleksi vuosisadaksi: "Valitettavasti vuonna 1952 ei ollut enää ketään, joka olisi tarpeeksi asiantuntija Weberin algebrassa arvostaakseen Hegnerin saavutusta" [7] .

Deuring, Siegel ja Choula antoivat hieman erilaisen todisteen modulaaristen funktioiden perusteella heti Starkin jälkeen [8] . Muita versioita tästä genrestä on ilmestynyt vuosien varrella. Esimerkiksi vuonna 1985 Monsour Kenku antoi todisteen käyttämällä Kleinin kvartiikkaa (tosin myös modulaarisilla funktioilla) [9] . Sitten vuonna 1999 Yiming Chen antoi toisen version todistuksesta käyttämällä modulaarisia funktioita (Siegelin luonnoksen mukaan) [10] .

Grossin ja Zagirin (1986) [11] työ yhdessä Goldfeldin (1976) kanssa antaa myös vaihtoehtoisen todisteen [4] .

Todellinen tapaus

Ei tiedetä, onko äärettömän monta , joiden luokkien lukumäärä on 1. Laskennalliset tulokset osoittavat, että tällaisia ​​kenttiä on monia; Numeeristen kenttien luetteloa ylläpidetään luokkien lukumäärällä 1 .

Muistiinpanot

  1. ↑ Elkies ( Elkies 1999 ) viittaa lauseeseen Hegner-Stark-lauseena (jolla on yhteinen alkuperä Stark-Hegner-pisteiden kanssa Darmonin artikkelisivulla ( Darmon 2004 )), mutta maininta ilman Bakerin nimeä on epätyypillistä. Chowla ( 1970 ) lisäsi perusteettomasti Dueringin ja Siegelin artikkelinsa otsikkoon.
  2. ↑ Elkies, 1999 , s. 93.
  3. ↑ Stark, 2011 , s. 42.
  4. ↑ 12 Goldfeld , 1985 .
  5. ↑ 12 Stark, 1969a .
  6. ↑ Stark, 1969b .
  7. ↑ Koivu, 2004 .
  8. ↑ Chowla, 1970 .
  9. ↑ Kenku, 1985 .
  10. ↑ Chen, 1999 .
  11. ↑ Gross, Zagier, 1986 .

Kirjallisuus