Näytteilleasettaja Artin - Hasse

Matematiikassa Emil Artinin ja Helmut Hassen mukaan nimetty Artin-Hasse-eksponentti on muodon potenssisarja

E_p(x) = \exp\left(x + \frac{x^p}{p} + \frac{x^{p^2}}{p^2} + \frac{x^{p^3} }{p^3} +\cdots\right).

Motivaatio

Toisin kuin tavallinen eksponentti, Artin-Hasse eksponenttilaajennuksen kertoimet ovat p -kokonaislukuja, toisin sanoen niiden nimittäjät eivät ole jaollisia p :llä . Tämä seuraa Dworkin lemasta (Dwork), jonka mukaan potenssisarjalla f ( x ) = 1 + … rationaalisilla kertoimilla on p -kokonaislukukertoimet silloin ja vain jos f ( x p )/ f ( x ) p ≡ 1 mod p .

Käyttämällä Möbius-inversiota voidaan kirjoittaa äärettömäksi tuloksi $E_p(x)$

E_{p}(x)=\prod _{(p,n)=1}(1-x^{n})^{-\mu (n)/n}.

Tässä μ on Möbius-funktio .

Kombinatorinen tulkinta

Artin-Hasse-eksponentti on generoiva funktio todennäköisyydelle, että satunnaisesti valitulla S n :n elementillä ( symmetrinen ryhmä , jossa on n elementtiä) on teho p luokkaa (tätä lukua merkitään t n ):

E_p(x)=\sum_{n\ge 0} \frac{t_n}{n!}x^n

Huomaa, että tämä tarjoaa toisen todisteen kertoimien p -eheydestä, koska äärellisessä ryhmässä, jonka kertaluku on jaollinen d :llä, d :llä jaollisten alkioiden määrä on myös jaollinen d :llä .

David Roberts osoitti luonnollisen kombinatorisen suhteen Artin-Hasse-eksponentin ja tavallisen eksponentin välillä ergodisen teorian valossa, mikä osoitti, että Artin-Hasse-eksponentti on generoiva funktio symmetrisen ryhmän elementin unipotenssin todennäköisyydestä ominaisuudessa p . . Normaalieksponentti antaa todennäköisyyden sille, että elementti on unipotentti samassa ryhmässä ominaisuudessa 0.

Hypoteesit

Vuoden 2002 PROMYS- kurssilla Keith Conrad arveli, että kertoimet jakautuvat tasaisesti p-adic-lukuihin suhteessa normalisoituun Haar-mittaan, koska tämä on yhdenmukainen hänen laskelmiensa kanssa. Tämä hypoteesi jää avoimeksi. $E_{p}(x)$

Dinesh Thakur esitti ongelman siitä, onko Artin-Hasse-eksponentti transsendenttinen . $\mathbb{F}_p[x]$

Useat funktion suhteellisen yksinkertaiset ominaisuudet ovat myös määrittelemättömiä, mukaan lukien kysymys siitä, päteekö funktionaalinen yhtäläisyys tavalliselle eksponentille . $E_p(a)^b=E_p(ab)$

Katso myös

Witt-vektori
Virallinen ryhmä

Linkit

Alain M. Robert. P-adic-analyysin kurssi. - New York, Berliini, Heidelberg: Springer, 2000. - T. 198. - (Matematiikan tutkinnon tekstit). — ISBN 0-387-98669-3 .
Koblitz N. p-adic-luvut, p-adic-analyysi ja zeta-funktiot. - Moskova: Mir, 1982.
Dinesh S. Thakur. Automaattiset menetelmät transsendenssissa.
Ivan B. Fesenko, Sergei V. Vostokov. Paikalliset kentät ja niiden laajennukset // Toinen. - Providence, RI: American Mathematical Society , 2002. - Vol. 121 . - ISBN 978-0-8218-3259-2 .