Lp (välilyönti)

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 18.5.2022 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

$L^{p}$ (nimitys löytyy myös ; se luetaan "el-pe"; myös - Lebesgue-avaruudet ) - nämä ovat mitattavissa olevien funktioiden avaruuksia siten, että niiden aste on integroitavissa , missä . $L_{p}$ $s$ $p\geqslant 1$

$L^{p}$ on Banach-tilojen tärkein luokka . (lausutaan "el-kaksi") on klassinen esimerkki Hilbert-avaruudesta . $L^{2}$

Rakennus

Välilyöntejä käytetään tilojen rakentamiseen . Tila tilalle , jossa on mitta ja , on joukko mitattavia funktioita , jotka on määritelty tälle avaruudelle siten, että: $L^{p}$ ${\mathcal {L}}^{p}$ ${\mathcal {L}}^{p}(X,\;{\mathcal {F}}),\;\mu )$ $(X,\;{\mathcal {F)],\;\mu )$ $1\leqslant p<\infty$

\int \limits _{X}|f(x)|^{p}\,\mu (dx)<\infty

Kuten Lebesguen integraalin alkeisominaisuuksista ja Minkowskin epäyhtälöstä seuraa, avaruus on lineaarinen . ${\mathcal {L}}^{p}(X,\;{\mathcal {F}}),\;\mu )$

Lineaariseen avaruuteen otetaan käyttöön seminormi : ${\mathcal {L}}^{p}(X,\;{\mathcal {F}}),\;\mu )$

\|f\|_{p}=\left(\int \limits _{X}|f(x)|^{p}\,\mu (dx)\right)^{\frac {1}{p }}

Ei-negatiivisuus ja homogeenisuus seuraavat suoraan Lebesguen integraalin ominaisuuksista, ja Minkowskin epäyhtälö on tämän puolinormin kolmio-epäyhtälö [1]

Seuraavaksi esittelemme ekvivalenssisuhteen : , jos melkein kaikkialla . Tämä relaatio jakaa avaruuden ei-leikkaaviin ekvivalenssiluokkiin, ja minkä tahansa kahden saman luokan edustajan seminormit osuvat yhteen. Konstruoituun osamääräavaruuteen (eli ekvivalenssiluokkien perheeseen) voidaan ottaa käyttöön normi , joka on yhtä suuri kuin minkä tahansa tämän luokan edustajan seminormi. Määritelmän mukaan kaikki seminormin aksioomit säilyvät, ja lisäksi yllä olevan konstruktion ansiosta myös positiivinen definititeetti pätee. ${\mathcal {L}}^{p}$ $f\sim g$ $f(x)=g(x)$ ${\mathcal {L}}^{p}$ ${\mathcal {L}}^{p}/\sim$

Osamääräavaruus, johon on rakennettu normi, ja sitä kutsutaan avaruudeksi tai yksinkertaisesti . $\left({\mathcal {L}}^{p}/\!\sim ,\;\|\cdot \|_{p}\right)$ $L^{p}(X,\;{\mathcal {F)],\;\mu )$ $L^{p}$

Useimmiten tätä rakennetta tarkoitetaan, mutta ei nimenomaisesti mainita, ja elementit eivät ole funktioiden ekvivalenssiluokkia, vaan itse funktioita, jotka on määritelty "nollaan asti". $L^{p}$

Kun eivät muodosta normiavaruutta, koska kolmion epäyhtälö ei päde [2] , mutta ne muodostavat metrisia avaruuksia . Näissä tiloissa ei ole ei-triviaaleja lineaarisia jatkuvia operaattoreita . $0<p<1$ $L^{p}$

Täydellisyys

Normi päällä yhdessä lineaarisen rakenteen kanssa luo metriikan: $L^{p}$

d(f,\;g)=\|fg\|_{p}

ja siksi on mahdollista määritellä konvergenssi avaruudessa: funktiosarjaa kutsutaan konvergoimiseksi funktioon, jos: $\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }\subset L^{p}$ $f\in L^{p}$

\|f_{n}-f\|_{p}\arvoon 0

osoitteessa .

n\to\infty

Määritelmän mukaan avaruus on täydellinen, kun mikä tahansa perussekvenssi konvergoi saman avaruuden elementtiin . Tämä on Banach - avaruus . $L^{p}$ $L^{p}$ $L^{p}$

Space L²_

Tässä tapauksessa normin muodostaa sisätuote . Siten yhdessä "pituuden" käsitteen kanssa myös "kulman" käsite on järkevä tässä ja siksi siihen liittyvät käsitteet, kuten ortogonaalisuus , projektio . $p = 2$

Avaruuden skalaaritulo esitellään seuraavasti: $L^{2}$

\langle f,\;g\rangle =\int \limits _{X}f(x)\,{\overline {g(x)}}\,\mu (dx)

jos tarkasteltavat funktiot ovat kompleksiarvoisia tai:

\langle f,\;g\rangle =\int \limits _{X}f(x)\,{g(x)}\,\mu (dx)

jos ne ovat todellisia. Sitten ilmeisesti:

\|f\|_{2}={\sqrt {\langle f,\;f\rangle ))

eli normin generoi skalaaritulo. Kun otetaan huomioon minkä tahansa täydellisyys , se on Hilbert . $L^{p}$ $L^{2}$

Välilyönti L ∞

Avaruus rakennetaan mitattavien funktioiden avaruudesta, joka on rajattu lähes kaikkialle, tunnistamalla keskenään funktioita, jotka eroavat toisistaan vain mittajoukossa nolla, ja määritelmän mukaan: $L^{\infty }$ ${\mathcal {L}}^{\infty }(X,\;{\mathcal {F)),\;\mu )$

\|f\|_{\infty }=\mathrm {ess} \sup \limits _{x\in X}|f(x)|

, missä on funktion oleellinen yläsumma .

\mathrm {ess} \sup

$L^{\infty }$ on Banach-tila .

Normin luomaa metriikkaa kutsutaan yhtenäiseksi . Tällaisen mittarin tuottamaa konvergenssia kutsutaan myös: $\|\cdot \|_{\infty }$

f_{n}\to f

, jos klo .

L^{\infty }

\mathrm {ess} \sup \limits _{x\in X}|f_{n}(x)-f(x)|\to 0

n\to\infty

Ominaisuudet

Funktioiden konvergenssi lähes kaikkialla ei tarkoita konvergenssia avaruudessa . Anna puolesta ja puolesta , . Sitten melkein kaikkialla. Mutta . Käänteinen ei myöskään pidä paikkaansa. $L^{p}$ $f_{n}(x)=n^{1/p}$ $x\in(0,1/n]$ $f_{n}(x)=0$ $x\in(1/n,1]$ $f_{n}\in L^{p}$ $f_{n}\arvoon 0$ $\|f_{n}\|_{p}^{p}=\int _{0}^{1}|f_{n}|^{p}d\mu =1$
Jos , Sitten on olemassa subsequence niin, että lähes kaikkialla. $\|f_{n}-f\|_{p}\arvoon 0$ $n\to\infty$ $f_{n_{k}}$ $f_{n_{k}}\to f$
$L^{p}$ funktiot reaaliviivalla voidaan approksimoida sileillä funktioilla. Antaa olla osajoukko äärettömän tasaisia toimintoja. Sitten kaikkialla on tiheää . $L_{C^{\infty }}^{p}(\mathbb {R} ,\;{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),\;m)$ $L^{p}(\mathbb {R} ,\;{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),\;m)$ $L_{C^{\infty }}^{p}$ $L^{p}$
$L^{p}(\mathbb {R} ,\;{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),\;m)$ on erotettavissa . _ $p<\infty$
Jos on rajallinen toimenpide, esimerkiksi todennäköisyys , Ja , Sitten . Erityisesti , eli satunnaismuuttujalla, jolla on äärellinen toinen hetki , on äärellinen ensimmäinen hetki. $\mu$ $1\leqslant p\leqslant q\leqslant \infty$ $L^{q}\alajoukko L^{p}$ $L^{2}\alajoukko L^{1}$

Kaksoisvälilyönnit

Dual - avaruuksille (lineaaristen funktionaalisten avaruudet päällä ) tapahtuu seuraava ominaisuus: if , niin on isomorfinen kohtaan ( ), missä . Kaikilla lineaarisilla funktioilla on muoto: $\vasen(L^{p}\oikea)^{\tähti }$ $L^{p}$ $L^{p}$ $1<p<\infty$ $\vasen(L^{p}\oikea)^{\tähti }$ $L^{q}$ $\left(L^{p}\oikea)^{\tähti }\cong L^{q}$ $1/p+1/q=1$ $L^{p}$

g(f)=\int \limits _{X}f(x)\,{\tilde {g}}(x)\,\mu (dx),

missä . ${\tilde {g}}(x)\in L^{q}$

Yhtälön symmetriasta johtuen itse avaruus on duaali (isomorfismiin asti) ja siksi: $1/p+1/q=1$ $L^{p}$ $L^{q}$

\left(L^{p}\right)^{\star \star }\cong L^{p}.

Tämä tulos pätee myös tapaukseen , eli . Kuitenkin ja erityisesti . $p = 1$ $\left(L^{1}\right)^{\star }=L^{\infty }$ $\left(L^{\infty }\right)^{\tähti }\not \cong L^{1}$ $\left(L^{1}\right)^{\tähti \tähti }\not \cong L^{1}$

Välilyönnit ℓ p

Olkoon , missä on laskettava mitta , eli . Sitten jos , niin avaruus on muodon sekvenssien perhe , jossa: $(X,\;{\mathcal {F)],\;\mu )=\left(\mathbb {N} ,\;2^{\mathbb {N} },\;m\oikea)$ $m$ $\mathbb {N}$ $m(\{n\})=1,\;\kaikki n\in \mathbb {N}$ $p<\infty$ $\ell ^{p}\left(\mathbb {N} ,\;2^{\mathbb {N} },\;m\oikea)$ $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$

\sum _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}<\infty

Näin ollen tämän tilan normi on annettu

\|x\|_{p}=\left(\sum \limits _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}\oikea)^{\frac {1}{p }}

Tuloksena olevaa normaaliavaruutta merkitään . $\ell ^{p}$

Jos , niin rajoitettujen sekvenssien tilaa normin kanssa pidetään: $p=\infty$

\|x\|_{\infty }=\sup \limits _{n\in \mathbb {N} }|x_{n}|

Tuloksena olevaa avaruutta kutsutaan nimellä , se on esimerkki ei- erottavasta avaruudesta. $\ell ^{\infty }$

Kuten yleensäkin, asettamalla saamme Hilbert-avaruuden, jonka normin muodostaa skalaaritulo: $p = 2$ $\ell ^{2}$

\langle x,\;y\rangle =\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}{\overline {y_{n))}

jos sekvenssit ovat kompleksiarvoisia ja:

\langle x,\;y\rangle =\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}{y_{n)),

jos ne ovat todellisia.

Avaruus konjugoitu , jossa on isomorfinen , . . _ Kuitenkin . $\ell ^{p}$ $1<p<\infty$ $\ell ^{q}$ $1/p+1/q=1$ $p=1:\left(\ell ^{1}\right)^{\star }=\ell ^{\infty }$ $\left(\ell ^{\infty }\right)^{\tähti }\not \cong \ell ^{1}$

Muistiinpanot

↑ Tällä tavalla käyttöön otettu seminormi ei ole normi , koska jos melkein kaikkialla , niin , mikä on ristiriidassa normin vaatimusten kanssa. Seminormin avaruuden muuttamiseksi normiavaruudeksi on tarpeen "identifioida" toisistaan eroavat funktiot vain mittajoukossa nolla. $f(x) = 0$ $\|f\|_{p}=0$
↑ Tarkemmin sanottuna käänteinen kolmio-epäyhtälö pätee - kun : $0<p<1$ $\forall f,g\in L_{p}(\Omega )\colon \,\left(\int \limits _{\Omega }|f(x)+g(x)|^{p}dx\oikea) ^{\frac {1}{p}}\geqslant \left(\int \limits _{\Omega }|f(x)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{p}} +\left(\int \limits _{\Omega }|g(x)|^{p}dx\oikea)^{\frac {1}{p))$

Kirjallisuus

Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. Funktioteorian elementit ja funktionaalinen analyysi. - toim. neljäs, tarkistettu. - M .: Nauka , 1976 . — 544 s.
Trenogin V. A. Funktionaalinen analyysi. - M .: Nauka , 1980 . — 495 s.