Minkowskin kapasitanssi

Minkowskin kapasiteetti on geometrisen mittateorian pääkäsite , yleistäminen mielivaltaisiin mitattaviin asetuksiin käyrän pituuden tasossa ja pinta - alan käsitteet avaruudessa .

Kapasiteettia käytetään yleensä alueiden fraktaalirajoihin euklidisessa avaruudessa , mutta se on järkevää yleisten metristen avaruuksien yhteydessä.

Nimetty Herman Minkowskin mukaan .

Määritelmä

Antaa olla metristä tilaa toimenpide, jossa on metriikka Ja on Borel toimenpide . Jos osajoukko in ja todellinen ε > 0, merkitään ${\näyttötyyli (X,\mu ,d)}$ $d$ $X$ $\mu$ $A$ $X$

{\displaystyle A_{\varepsilon }=\{x\in X\,|\,d(x,A)<\varepsilon \))

sen suljetussa naapurustossa. Koodimension Minkowskin alempi kapasiteetti määritellään alarajaksi $\varepsilon$ $k$

M_{*}(A)=\liminf _{\varepsilon \to 0}{\frac {\mu (A_{\varepsilon })-\mu (A)}{\varepsilon ^{k))} ,

ja ylärajana koodiulottuvuuden ylempi Minkowskin kapasiteetti $k$

M^{*}(A)=\limsup _{\varepsilon \to 0}{\frac {\mu (A_{\varepsilon })-\mu (A)}{\varepsilon ^{k)) }.

Jos , niin niiden yhteistä arvoa kutsutaan koodiulottuvuuden A Minkowskin kapasiteetiksi mittaan μ nähden, ja sitä merkitään . $M^{*}(A)=M_{*}(A)$ $k$ $M(A)$

Ominaisuudet

Jos on suljettu - tasasuunnassa joukko , niin Minkowskin kapasiteetti suhteessa äänenvoimakkuuteen on olemassa ja on sama kuin sen -ulotteinen Hausdorff-mitta normalisointiin asti. $A$ $n$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+k))$ $A$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+k))$ $n$

Katso myös

Minkowskin ulottuvuus

Linkit

Federer, Herbert , Geometrinen mittateoria .