Tarskin aksiomatiikka (geometria)

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 24. maaliskuuta 2022 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Tarskin aksiomatiikka on Alfred Tarskin ehdottama peruseuklidisen geometrian aksioomajärjestelmä . Merkittävää siinä mielessä, että se on muotoiltu ensimmäisen asteen logiikassa tasa-arvoisesti eikä vaadi joukkoteoriaa .

Historia

Alfred Tarski työskenteli ajoittain aksiomatisoinnin parissa vuodesta 1926 kuolemaansa asti vuonna 1983; julkaistu ensimmäisen kerran vuonna 1959. [1] Erityisesti Tarski osoitti, että hänen aksiomatiikkansa ovat täydellisiä ja johdonmukaisia; Lisäksi on olemassa algoritmi, jonka avulla voit selvittää, onko jokin väite totta vai tarua. (Tämä lause ei ole ristiriidassa Gödelin epätäydellisyyslauseen kanssa, koska Tarskin geometrian aksiomatiikassa ei ole keinoja ilmaista aritmetiikkaa.)

Tarskin ja hänen opiskelijoidensa tämänsuuntaiset pääteokset on esitetty vuoden 1983 monografiassa. [2] Tässä kirjassa esitetty aksiooma koostuu 10 aksioomasta ja yhdestä aksioomaskeemasta .

Aksioomit

Määrittämättömät käsitteet

Lie Between on kolmiosainen relaatio Bxyz , mikä tarkoittaa, että y "on" x :n ja z :n välissä . Toisin sanoen, että y on piste xz :llä . (Tässä tapauksessa päät ovat mukana, eli kuten aksioomista seuraa, Bxxz on totta).

Kongruenssi on tetradirelaatio wx ≡ yz , mikä tarkoittaa, että jana wx on kongruentti segmentin yz kanssa ; toisin sanoen, että wx : n pituus on yhtä suuri kuin yz :n pituus .

Aksioomit

Kongruenssin refleksiivisyys: $xy\equiv yx\,.$

Congruence-identiteetti: $xy\equiv zz\rightarrow x=y.$

Kongruenssin transitiivisuus : $(xy\equiv zu\land xy\equiv vw)\rightarrow zu\equiv vw.$

Identiteettisuhde on välillä: $Bxyx\rightarrow x=y.$

Eli janan ainoa piste on itse piste .

xx

x

Axiom Pasha : $(Bxuz\land Byvz)\rightarrow \exists a\,(Buay\land Bvax).$

Kuperan nelikulmion kahden diagonaalin on leikattava jossain pisteessä.

xuvy

Jatkuvuusaksioomien kaavio. Olkoon ja ensimmäisen kertaluvun kaavat ilman vapaita muuttujia a tai b . Älä myöskään saa olla vapaita muuttujia in tai in . Sitten kaikki seuraavan tyyppiset lausekkeet ovat aksioomia: $\phi(x)$ $\psi (y)$ $x$ $\psi (y)$ $y$ $\phi(x)$ $\exists a\,\forall x\,\forall y\,[(\phi (x)\land \psi (y))\rightarrow Baxy]\rightarrow \exists b\,\forall x\,\ kaikille y\,[(\phi (x)\land \psi (y))\rightarrow Bxby].$

Eli jos ja kuvaavat säteen kahta pistejoukkoa kärjellä a , joista ensimmäinen on toisen vasemmalla puolella, niin näiden joukkojen välillä on piste b .

\phi(x)

\psi (y)

Alempi mittaraja : $\exists a\,\exists b\,\exists c\,[\neg Babc\land \neg Bbca\land \neg Bcab].$

Eli on kolme ei-kollineaarista pistettä. Ilman tätä aksioomaa teorioita voidaan mallintaa yksiulotteisella reaaliviivalla, yhdellä pisteellä tai jopa tyhjällä joukolla .

Ylämittaraja : _ $(xu\equiv xv\land yu\equiv yv\land zu\equiv zv\land u\neq v)\rightarrow (Bxyz\lor Byzx\lor Bzxy).$

Toisin sanoen mitkä tahansa kolme pistettä, jotka ovat yhtä kaukana kahdesta eri pisteestä, sijaitsevat suoralla. Ilman tätä aksioomaa teoria voidaan mallintaa moniulotteisessa (mukaan lukien kolmiulotteisessa ) avaruudessa.

Aksiooma viidennestä segmentistä: ${(x\neq y\land Bxyz\land Bx'y'z'\land xy\equiv x'y'\land yz\equiv y'z'\land xu\equiv x'u'\land yu \equiv y'u')}\rightarrow zu\equiv z'u'.$

Eli jos 4 merkityn parin segmentit kahdessa oikealla olevassa piirustuksessa ovat yhtä suuret, niin viidennen parin segmentit ovat keskenään yhtä suuret.

Segmentin rakentaminen: $\exists z\,[Bxyz\land yz\equiv ab].$

Eli mistä tahansa kohdasta mihin tahansa suuntaan voit lykätä tietyn pituista segmenttiä.

Muistiinpanot

↑ Tarski, Alfred (1959), Mikä on alkeisgeometria?, julkaisussa Leon Henkin, Patrick Suppes ja Alfred Tarski, The axiomatic method. Erityisesti geometria ja fysiikka. Kansainvälisen symposiumin julkaisut yliopistossa joulukuu, Kalifornia, Berkeley 26. 1957 - tammikuuta 4, 1958 , Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, Amsterdam: North-Holland, s. 16-29 .
↑ Schwabhäuser, W., Szmielew, W., Alfred Tarski, 1983. Metamathematische Methoden in der Geometrie . Springer-Verlag.

Linkit

Beklemishev L. D. Alkeinen geometria logiikan näkökulmasta. Summer School "Modern Mathematics" luennot, 20.-23.7.2014.