Algebra kentän päällä

Kentän yläpuolella oleva algebra on vektoriavaruus , joka on varustettu bilineaarisella tulolla . Tämä tarkoittaa, että kentän päällä oleva algebra on sekä vektoriavaruus että rengas , ja nämä rakenteet ovat yhteensopivia. Tämän käsitteen yleistys on renkaan päällä oleva algebra , joka yleisesti ottaen ei ole vektoriavaruus, vaan moduuli jonkin renkaan päällä.

Algebran sanotaan olevan assosiatiivinen, jos kertolasku on assosiatiivinen ; vastaavasti algebra, jolla on yksikkö, on algebra, jossa on kertomisen suhteen neutraali alkio. Joissakin oppikirjoissa sana "algebra" tarkoittaa "assosiatiivista algebraa", mutta myös ei-assosiatiivisilla algebroilla on jonkin verran merkitystä.

Määritelmä

Olkoon vektoriavaruus kentän päällä , joka on varustettu kertolaskulla kutsutulla operaatiolla. Sitten algebra on ohi, jos seuraavat ominaisuudet pätevät jollekin: $A$ $K$ $A\ kertaa A\-A$ $A$ $K$ $x,y,z\in A,\;a,b\in K$

$(x+y)\cdot z=x\cdot z+y\cdot z$
$x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z$
$(ax)\cdot (by)=(ab)(x\cdot y)$ .

Nämä kolme ominaisuutta voidaan ilmaista yhdellä sanalla sanomalla, että kertolasku on bilineaarinen . Yksikköalgebroiden tapauksessa annetaan usein seuraava vastaava määritelmä:

Algebra, jolla on yksikkö kentän päällä, on rengas, jonka yksikkö on varustettu renkaiden homomorfismilla, joiden yksikkö on sellainen, että se kuuluu renkaan keskustaan (eli joukkoon elementtejä, jotka liikkuvat kertomalla kaikkien muiden elementtien kanssa). Tämän jälkeen voidaan olettaa, että se on vektoriavaruus, jolla on seuraava skalaarikertooperaatio : .

K

A

f:K\ to A

f(K)

A

A

K

\alpha \in K

\alpha x=f(\alpha )\cdot x

Aiheeseen liittyvät määritelmät

-algebran homomorfismi on -lineaarinen kuvaus, joka on sellainen, että jollekin alueelle. $K$ $K$ $f(ab)=f(a)\cdot f(b)$ $a,b$
Algebran aliavaruus kentän päällä on lineaarinen aliavaruus siten, että minkä tahansa kahden elementin tulo tästä aliavaruudesta kuuluu jälleen siihen. Toisin sanoen lineaarisen algebran kentän aliluku on sen osajoukko, jos se on renkaan osajoukko ja lineaarisen avaruuden aliavaruus [1] . $K$ $U$ $R$ $P$ $R$ $R$
- Algebran elementtiä kutsutaan algebralliseksi , jos se sisältyy äärellisulotteiseen osabalgebraan.
- Algebraa kutsutaan algebraksi , jos kaikki sen elementit ovat algebrallisia . [2]

-algebran vasen ideaali on lineaarinen aliavaruus, joka suljetaan vasemmalla kertolaskulla mielivaltaisella renkaan elementillä. Vastaavasti oikea ideaali suljetaan oikean kertolaskulla; kaksipuolinen ihanne on ihanteellinen, joka on sekä vasen että oikea. Ainoa ero tämän määritelmän ja renkaan ihanteen määritelmän välillä on vaatimus, että se on suljettu kertomalla kentän elementeillä; identtisten algebroiden tapauksessa tämä vaatimus täyttyy automaattisesti. $K$
Jakolalgebra on kentän yläpuolella oleva algebra, jonka minkä tahansa elementin yhtälöt ja ovat ratkaistavissa [3] . Erityisesti assosiatiivinen jakoalgebra, jolla on yksikkö, on vinokenttä . $a\neq 0$ $b$ $ax=b$ $joo=b$
Algebran keskipiste on joukko elementtejä siten, että mille tahansa elementille . $A$ $a\in A$ $xa=ax$ $x\in A$

Esimerkkejä

Assosiatiiviset algebrat

Kompleksiluvut ovat luonnollisesti kaksiulotteinen algebra reaalien yläpuolella .
Kvaternionit ovat neliulotteinen algebra reaalilukujen yli.
Kaksi edellistä esimerkkiä ovat kenttä ja vinokenttä , ja tämä ei ole sattumaa: mikä tahansa äärellisulotteinen algebra kentän päällä, jolla ei ole nollajakajia , on jakolalgebra. Todellakin, kertolasku vasemmalla on tämän algebran lineaarinen muunnos vektoriavaruudena, tällä muunnolla on nollaydin (koska se ei ole nollajakaja), siksi se on surjektiivinen; erityisesti mielivaltaisesta elementistä on käänteiskuva , eli elementistä , jolla = . Toinen ehto on todistettu samalla tavalla. $x$ $x$ $b$ $y$ $xy$ $b$
Kommutatiivinen (ja ääretön) polynomialgebra . $K[x]$
Funktioiden algebrat , kuten välille (0, 1) määritettyjen reaaliarvoisten jatkuvien funktioiden -algebra tai kompleksitason kiinteälle avoimelle osajoukolle määriteltyjen holomorfisten funktioiden -algebra . $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$
Lineaaristen operaattoreiden algebrat Hilbert -avaruudessa .

Ei-assosiatiiviset algebrat

Rakenteelliset kertoimet

Algebran kertolasku kentän yli määritellään yksiselitteisesti kantavektoreiden tuloilla. Siten algebran määrittämiseksi kentän päälle riittää, että määritetään sen ulottuvuus ja rakenteelliset kertoimet , jotka ovat kentän elementtejä. Nämä kertoimet määritellään seuraavasti: $K$ $n$ $n^3$ $c_{{i,j,k}}$

{\mathbf {e}}_{{i}}{\mathbf {e}}_{{j}}=\sum _{{k=1}}^{n}c_{{i,j,k} }{\mathbf {e}}_{{k}}

missä on perusteita . Erilaiset rakennekertoimien joukot voivat vastata isomorfisia algebroita. $(e_{1},e_{2},\ldots e_{n})$ $A$

Jos on vain kommutatiivinen rengas eikä kenttä, tämä kuvaus on mahdollista vain, kun algebra on vapaa moduuli . $K$ $A$

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Skornyakov L. A. Algebran elementit. - M., Nauka, 1986. - s. 190
↑ Jacobson N. Renkaiden rakenne . - M .: IL, 1961. - 392 s.
↑ Kuzmin E. N. Algebra jaostolla Arkistokopio 14. heinäkuuta 2015 Wayback Machinessa

Kirjallisuus

Skornyakov L. A., Shestakov I. P. . III luku. Renkaat ja moduulit // Yleinen algebra / Ed. toim. L. A. Skornyakova . - M .: Science , 1990. - T. 1. - S. 291-572. — 592 s. — (Matemaattinen viitekirjasto). – 30 000 kappaletta. — ISBN 5-02-014426-6 .