Ihanteellinen (algebra)

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 28. tammikuuta 2021 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Ideaali on yksi yleisen algebran peruskäsitteistä . Ideaalit ovat tärkeimmät rengasteoriassa , mutta ne määritellään myös puoliryhmille , algebroille ja joillekin muille algebrallisille rakenteille . Nimi "ihanne" tulee " ideaaliluvuista ", jotka saksalainen matemaatikko E. E. Kummer esitteli vuonna 1847 [1] . Yksinkertaisin esimerkki ihanteesta on parillisten lukujen osajoukko kokonaislukujen renkaassa . Ideaalit tarjoavat kätevän kielen lukuteorian tulosten yleistämiseksi yleisiksi renkaiksi.

Esimerkiksi renkaissa alkulukujen sijaan tutkitaan alkuihaleja ; koalkilukujen yleistyksenä otetaan käyttöön koalkilukuideaalit; voidaan todistaa analogi kiinalaisen jäännöslauseen ideaaleille.

Joissakin tärkeissä renkaiden luokassa (ns. Dedekind -renkaat ) voidaan saada jopa aritmeettisen peruslauseen analogi : näissä renkaissa jokainen nollasta poikkeava ideaali voidaan yksilöllisesti esittää primaariideoiden tulona.

Esimerkki ihanteesta on joukko kokonaislukuja, jotka ovat jaollisia 6:lla: kun tarkastellaan renkaassa . Tämä joukko on ihanteellinen, koska sekä minkä tahansa kahden tällaisen luvun summa että minkä tahansa niiden tulo millä tahansa kokonaisluvulla sisältyvät tähän joukkoon. Tässä tapauksessa sama joukko ei ole ideaali reaalilukujen renkaassa, koska tulos, joka saadaan kertomalla jokin näistä luvuista mielivaltaisella reaaliluvulla, ei sisälly tähän joukkoon yleisessä tapauksessa. ${\displaystyle \{\pisteet ,-12,-6,0,6,12,18,24\pisteet \))$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {R}$

Määritelmä

Renkaalle ideaali on alirengas , joka on suljettu elementeillä kertomalla . Lisäksi ihannetta kutsutaan vasemmaksi (vastaavasti oikeaksi ), jos se suljetaan kertomalla vasemmalla (vastaavasti oikealla) elementeillä . Ideaalia, joka on sekä vasen että oikea, kutsutaan kaksipuoliseksi . Kaksipuolista ihannetta kutsutaan usein yksinkertaisesti ihanteeksi . Kommutatiivisessa tapauksessa kaikki nämä kolme käsitettä ovat samat ja termiä ideaal käytetään aina . $R$ $R$ $R$

Tarkemmin sanottuna: Sormuksen ihanne on renkaan alarengas , joka on sellainen $R$ $minä$ $R$

$\forall i\in I\;\forall r\in R$ tuote (ehto oikeilla ihanteilla); $ir\in I$
$\forall i\in I\;\forall r\in R$ tuote (kunto vasemmalla ihanteilla). $ri\in I$

Samoin puoliryhmälle sen ideaali on alapuoliryhmä, jolle yksi näistä ehdoista on totta (tai molemmat kaksipuoliselle ideaalille), sama pätee algebraan.

Huomautus

-algebralle ( renkaan päällä oleva algebra ) renkaan ideaali ei voi yleisesti ottaen olla algebran ideaali , koska tämä osajoukko ei välttämättä ole : n osaalgebra , eli se on myös alimoduuli yli . Esimerkiksi, jos on -algebra, jonka kertolasku on nolla, niin renkaan kaikkien ideaalien joukko osuu yhteen summausryhmän kaikkien aliryhmien joukon kanssa ja algebran kaikkien ideaalien joukko on sama kuin kaikkien aliavaruuksien joukko. vektoriavaruudesta . _ _ Kuitenkin siinä tapauksessa, että algebralla on yksikkö, molemmat käsitteet ovat samat. $R$ $A$ $R$ $A$ $A$ $R$ $A$ $k$ $A$ $A$ $A$ $k$ $A$ $A$

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Kaikille renkaille itse ja nollaideaali ovat (kaksipuolisia) ihanteita . Tällaisia ihanteita kutsutaan triviaaleiksi . Oikeat ihanteet ovat ihanteita, jotka muodostavat oman osajoukkonsa , toisin sanoen eivät ole yhteensopivia kaiken kanssa [2] [3] . $R$ $R$ $0$ $R$
Monet renkaiden ja algebrojen luokat määritellään niiden ihanteellisen tai ideaalisen hilan ehdoilla. Esimerkiksi:
- Rengasta, jolla ei ole ei-triviaaleja kaksipuolisia ihanteita, kutsutaan yksinkertaiseksi .
- Sormus, jolla ei ole ei-triviaaleja ihanteita (ei välttämättä kaksipuolinen), on rengas . Katso myös: pääideaalisormus , Artinian sormus , Noetherian sormus .

Mikä tahansa kommutatiivinen rengas, jossa on yksikkö, liittyy topologiseen avaruuteen — renkaan spektriin, jonka pisteet ovat muita renkaan alkuideaaleja kuin , ja suljetut joukot määritellään alkuideaalien joukoiksi, jotka sisältävät jonkin renkaan elementtijoukon (tai , joka on sama, tämän joukon luoma ihanne). Tätä topologiaa kutsutaan Zariski-topologiaksi . $\operaattorinimi{Spec} A$ $A$ $A$ $E$ $A$ $minä$

Ihanteen käsite liittyy läheisesti moduulin käsitteeseen . Ideaali (oikea tai vasen) voidaan määritellä renkaan alimoduuliksi , jota pidetään oikean- tai vasemmanpuoleisena moduulina itsensä yläpuolella.

Ominaisuudet

Vasemmiston ihanteet R :ssä ovat oikeita ihanteita ns. vastakkainen rengas - rengas, jossa on samat elementit ja sama lisäys kuin annettu, mutta tietyllä kertolaskulla ja päinvastoin. $R^{0}$ $a*b=b*a$
Kahdenväliset ihanteet renkaissa ja algebroissa näyttelevät samaa roolia kuin normaalit alaryhmät ryhmissä :
- Jokaiselle homomorfismille ydin on ideaali, ja päinvastoin, jokainen ideaali on jonkin homomorfismin ydin. $f\koolon A\B$ $\operaattorinimi {Ker}f$
- Lisäksi ideaali määrittää yksiselitteisesti ( isomorfismiin asti ) sen homomorfismin kuvan, jonka ydin se on: se on isomorfinen
osamäärärenkaalle ( osamääräalgebra ) . $fa)$ $A/I$

Kokonaislukujen renkaassa kaikki ihanteet ovat pääasiallisia ja niillä on muoto , jossa .

\mathbb {Z}

{\displaystyle n\mathbb {Z} =\{nz\mid z\in \mathbb {Z} \))

n\in \mathbb{N} _{0}

Ideaalien leikkauspiste on myös ideaali (usein, varsinkin kommutatiivisessa algebrassa, leikkauspistettä kutsutaan pienimmäksi yhteiseksi kerrannaiseksi ).

Ihanteiden tyypit

Pääideaali on yhden elementin luoma ihanne .
Lopullisesti luotu ihanne
Maksimiideaali : Oikean ideaalin I sanotaan olevan maksimi , jos ei ole olemassa oikeaa ihannetta J siten, että I on J :n oikea osajoukko . Osamäärärengas maksimaalisen ideaalin mukaan on kenttä .
Modulaarinen ideaali
Nilpotentti ihanteellinen
Ensisijainen ihanteellinen
yksinkertainen idea
Radikaali ihanne on ihanne, joka on sama kuin sen radikaali .

Perusmallit

tärkeimmät ihanteet . Jos p kuuluu R :ään ja k on mikä tahansa kokonaisluku, niin - on pienin oikea ideaal, joka sisältää p :n , ja - pienin vasen ideaali R :ssä . Niitä kutsutaan vastaavasti p :n generoimaksi oikeisto- ja vasemmistoideaaliksi. Kommutatiivisessa tapauksessa nämä ihanteet ovat samat ja niitä merkitään myös (p) . Jos rengas R sisältää identiteettielementin, niin koska , p :n generoimatvoidaan kirjoittaajavastaavasti. Mikä tahansa ideaali, joka sisältää elementin p , sisältää myös sen generoiman pääideaalin. $\{pr+kp:\,r\in R\ ,k\in {\mathbb {Z}}\}$ $\{rp+kp:\,r\in R\ ,k\in {\mathbb {Z}}\}$ $kp=(k*1)p=p(k*1)$ $pR=\{pr:\,r\in R\}$ $Rp=\{rp:\,r\in R\}$

Useiden elementtien synnyttämä ihanne. Renkaan R vasen ihanteiden mielivaltaisen perheen leikkauspiste on renkaan R vasen ideaali . Siksi mille tahansa renkaan R osajoukolle M on olemassa minimaalinen vasen ideaali, joka sisältää sen, nimittäin kaikkien joukon M sisältävien vasen ihanteiden leikkauspiste . (Sama pätee oikealle ja kaksipuoliselle ideaalille.) Identiteettielementillä varustetulle renkaalle R vasen minimiideaali on joukko muodon äärellisiä summia , minimaalinen oikea ideaali on joukko muodon äärellisiä summia. , ja minimaalinen kaksipuolinen ideaali on joukko joukon M muoto-alkioiden äärellisiä summia , ja r i ,r'i ovat mielivaltaisia renkaan R alkioita . Jos rengas ei sisällä yhtä, minimivasen ideaali on muotoa , minimaalinen oikea , minimaalinen kaksipuolinen , jossa kaikki ovat mitä tahansa kokonaislukuja. Näitä ihanteita kutsutaan joukon M generoiduiksi . Kommutatiivisessa tapauksessa ne kaikki ovat yhteneväisiä ja niitä merkitään seuraavasti: (M) . Äärillisen joukon luomia ideaaleja kutsutaan äärellisiksi generoiduiksi . ${\displaystyle r_{1}m_{1}+\ldots +r_{n}m_{n))$ ${\displaystyle m_{1}r_{1}+\ldots +m_{n}r_{n))$ ${\displaystyle r_{1}m_{1}r'_{1}+\ldots +r_{n}m_{n}r'_{n))$ ${\displaystyle r_{1}m_{1}+\ldots +r_{n}m_{n}+k_{1}m'_{1}+\ldots +k_{s}m'_{s))$ $m_{1}r_{1}+\ldots +m_{n}r_{n}+k_{1}m'_{1}+k_{2}m'_{2}+\ldots +k_ {tekstiviesti}$ $r_{1}m_{1}r'_{1}+\ldots +r_{n}m_{n}r'_{n}+k_{1}r''_{1}m'_ {1}+\lpisteet +k_{s}r''_{s}m'_{s}+k'_{1}m''_{1}r'''_{1}+\lpisteet + k'_{t}m''_{t}r'''_{t}+k''_{1}m'''_{1}+\ldots +k''_{w}m' ''''_{w}$ $k_{i}(k'_{i})$

ihanteiden summa. Jos renkaassa R annetaan mielivaltainen ihanteiden perhe , niiden summa on minimiideaali, joka sisältää ne kaikki. Se syntyy näiden ihanteiden liitosta, ja sen elementit ovat mitä tahansa äärellisiä elementtien summia niiden liitosta (ihanteiden liitto itsessään ei yleensä ole ihanne). Summan suhteen kaikki (vasen, oikea tai kaksipuoliset) renkaan (tai algebran) ihanteet muodostavat hilan . Jokainen ihanne on pääihanteiden summa. Usein, varsinkin kommutatiivisessa algebrassa, summaa kutsutaan suurimmaksi yhteiseksi jakajaksi). $I_{{\alpha }}$ $\sum I_{{\alpha }}$

Ihanteiden leikkauspiste ( joukkojen leikkauspisteenä ) on aina ihanne. Toisaalta kahden ihanteen liitto on ihanne vain, jos toinen niistä on toisen osajoukko. Todellakin, olkoon kaksi (vasenta) ihannetta, joista kumpikaan ei ole toisen osajoukko ja on vasen ihanne. Tässä tapauksessa on ilmeisesti pienin ihanteellinen, joka sisältää ja , eli . Siinä on elementti . Sitten kaikille , koska tässä tapauksessa , siis ja , on siis ristiriita. ${\mathfrak a}$ ${\mathfrak b}$ ${\mathfrak a}\cup {\mathfrak b}$ ${\mathfrak a}\cup {\mathfrak b}$ ${\mathfrak a}$ ${\mathfrak b}$ ${\mathfrak a}\cup {\mathfrak b}={\mathfrak a}+{\mathfrak b}$ $a\in {\mathfrak a},a\notin {\mathfrak b}$ $b\in {\mathfrak b}\;a+b\notin {\mathfrak b}$ $a\in {\mathfrak b}$ $a+b\in {\mathfrak a}$ $b\in {\mathfrak a}$ ${\mathfrak b}\subset {\mathfrak a}$

Ihanteiden tuote. Ideaalien I ja J tulo on kaikkien tulojen ab muodostama ideaalinen IJ , jossa a on ideaalin I elementti , b on ideaalin J elementti . Ihanteiden ääretöntä tuotetta ei ole määritelty.

Yksityisiä ihanteita. Kommutatiivisessa renkaassa nollasta poikkeavalle ideaalille I ja ideaalille J on määritelty niiden osamäärä, ideaal . Tätä ideaalia kutsutaan ihanteen I tuhoajaksi siinä tapauksessa, että J=(0) , . $I^{{-1}}J=\{x\in R\colon \,\forall i\in I\,ix\in J\}$

Ihanteen I radikaali on joukko. Se on myös renkaan A ideaali, jos vain rengas A on kommutoiva. Tapauksessa, jossa I=(0) , tätä ideaalia kutsutaanrenkaan A nollaradikaaliksi . Sen elementit ovat kaikki renkaan tehottomia elementtejä. Jos kommutatiivisessa renkaassa ei ole muita nilpotentteja alkuaineita kuin nolla (sillä on nolla nilradikaali), niin sitä kutsutaan radikaaliksi . Ideaalia I kutsutaan radikaaliksi, jos se osuu yhteen sen radikaalin kanssa. Tässä tapauksessa osamäärärenkaassa R/I ei ole nollan lisäksi nilpotentteja alkioita. ${\sqrt {I}}=\{f\in A:\,\olemassa n\in {\mathbb {N}}\,\,f^{n}\in {I}\}$

induktiivinen raja . Jos annetaan ihanteiden perhe (ketju), joka onnumeroitu lineaarisesti järjestetyllä joukolla A niin, että minkä tahansa A :n indeksinideaalisisältyy ihanteeseen, silloin niiden liitto on ideaali - tämän ihanteiden ketjun induktiivinen raja. Tämä ihanne on myös sama kuin ketjun kaikkien ihanteiden summa. Se, että induktiivinen raja on aina olemassa, tarkoittaa, että renkaan R kaikkien ihanteiden joukkositä koskee Zornin lemma . Sitä käytetään usein luomaan maksimaalisia ihanteita joillakin lisäominaisuuksilla (katso maksimiideaali , primeideaali , pääideaalirengas ). $\{I_{{\alpha }}\}_{{\alpha \in A}}$ $\alpha <\beta$ $I_{{\alpha }}$ $I_{{\beta }}$

Ihanteen kuva homomorfismin alla. Yleensä homomorfismin alainen ihanteen kuva EI ole ihanteellinen, mutta jos homomorfismi on surjektiivinen, niin se on. Erityisesti, koska faktorointihomomorfismi on aina surjektiivinen, tekijöihinjako vie jokaisen ihanteen ihanteeksi.

Ihanteen käänteinen kuva homomorfismin alla . If on rengashomomorfismi , sen ydin on kaksipuolinen ideaali. Yleisemmin sanottuna, jos I on mielivaltainen ideaali renkaassa B , sen täysi esikuva on ideaali (vasen, oikea tai kaksipuolinen, riippuen siitä, mikä I :n ideaali on ). $f:\,A\-B$ $\operaattorinimi {Ker}f=\{a\in A:\,f(a)=0\}$ $f^{{-1}}I=\{a\in A:\,f(a)\in I\}$

Faktorisaatiohomomorfismi suhteessa ihanteeseen. Jos I on kaksipuolinen ideaali renkaassa R , sitä voidaan käyttää ekvivalenssirelaation määrittämiseen R :lle säännöllä: x ~ y jos ja vain jos ero xy kuuluu ryhmään I . Tarkistetaan, että jos jokin summan tai tulon operandi korvataan vastaavalla, uusi tulos vastaa alkuperäistä. Näin ollen yhteen- ja kertolaskuoperaatiot määritellään ekvivalenssiluokkien joukossa R/I , jolloin se muuttuu renkaaksi (kommutatiivisuus ja yksikön läsnäolo siirretään renkaasta R , jos sellainen on). Samanaikaisesti tämän renkaan kanssa määritellään faktorointihomomorfismi (kanoninen homomorfismi) , joka määrittää kullekin elementille a R : stä sen ekvivalenssiluokan, johon se sisältyy. Elementin a ekvivalenssiluokka on a+i - muotoisten alkioiden joukko ideaalista I , joten sitä merkitään a + I , mutta joskus käytetään myös yleistä ekvivalenssiluokan [a] merkintää . Siksi . Rengasta R/I kutsutaan sitten renkaan R tekijärenkaaksi ideaalilla I . $\pi :\,R\to R/I$ $\pi (a)=[a]=a+I$

Historia

Dedekind esitteli ihanteet ensimmäisen kerran vuonna 1876 Lectures on Number Theory -kirjan kolmannessa painoksessa. Tämä oli Kummerin esittämän ideaalisten lukujen käsitteen yleistys .

Myöhemmin nämä ideat kehittivät Hilbert ja erityisesti Noether .

Linkit

Vinberg E. B. Algebra-kurssi, - M. : Factorial Press Publishing House, 2002, ISBN 5-88688-060-7 .
Zarissky O., Samuel P. Kommutatiivinen algebra, V. 1-2, - M .: IL, 1963.
Leng S. Algebra, - M .: Mir, 1968.

Muistiinpanot

↑ Ihanteellinen // Kazakstan. Kansallinen tietosanakirja . - Almaty: Kazakstanin tietosanakirjat , 2005. - T. II. — ISBN 9965-9746-3-2 . (Venäjän kieli) (CC BY SA 3.0)
↑ ' Margherita Barile . Proper Ideal Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
↑ Luento algebrasta Moskovan valtionyliopistossa