Antihermitian matriisi

Matematiikassa antihermiittinen tai vino-hermiittinen matriisi on neliömatriisi A , jonka hermiittinen konjugaatio muuttaa alkuperäisen matriisin etumerkkiä:

A^{\dagger }=-A,

tai elementti kerrallaan:

a_{i,j}=-{\overline {a_{j,i))},

jossa tarkoittaa luvun kompleksista konjugaatiota . $\overline{x}$ $x$

Ominaisuudet

Matriisi B on hermiittinen jos ja vain jos matriisi i B on antihermiittinen. Tämä tarkoittaa, että jos A on antihermiittinen, niin matriisit ±iA ovat hermiittisiä. Myös mikä tahansa anti-hermiittinen matriisi A voidaan esittää muodossa A = i B , missä B on hermiittinen. Siten anti-hermiittisten matriisien ominaisuudet voidaan ilmaista käyttämällä hermiittisten matriisien ominaisuuksia ja päinvastoin.
Matriisi A on anti-hermiittinen jos ja vain jos jollekin vektorille ja (muoto on anti-hermiittinen). $X^{\dagger }A^{\dagger }Y=-X^{\dagger }AY$ $X$ $Y$ $X^{\dagger }AY$
Anti-Hermitian matriisit suljetaan yhteenlaskussa, kertolaskussa reaaliluvulla, nostuksessa parittomaan potenssiin, inversioon (ei-singulaariset matriisit).
Antihermitian matriisit ovat normaaleja .
Anti-Hermitian matriisin tasainen voima on hermiittinen matriisi. Erityisesti, jos se on anti-hermiitistä, se on hermiittistä. $A$ $A^{2}$
Anti-Hermitian matriisin ominaisarvot ovat joko nolla tai puhtaasti kuvitteellinen .
Mikä tahansa neliömatriisi voidaan esittää hermitiläisen ja antihermitiläisen summana:

M=M_{h}+M_{a}

, missä

M_{h}={\frac {1}{2}}(M+M^{\tikari })

- Eremiitti,

M_{a}={\frac {1}{2}}(MM^{\dagger })

- antihermitisti.

Matriisi on antihermiittinen, jos ja vain jos sen eksponentti on unitaarinen . $A$ $e^{A}$

Anti-Hermitian matriisit muodostavat Lie- ryhmän Lie- algebran . ${\mathfrak {u}}(n)$ $U(n)$

Kaikille kompleksiluvuille , joissa , on yksi yhteen vastaavuus unitaaristen matriisien , joilla ei ole yhtä suuria ominaisarvoja kuin , ja anti-hermiittisten matriisien välillä, jotka on annettu Cayleyn kaavoilla: $\lambda$ $|\lambda |=1$ $U$ $a$ $A$

U=\lambda (AI)(A+I)^{-1},

A=\lambda (aI+U)(aI-U)^{-1},

minä

Erityisesti, kun :

\lambda =-1

U=(IA)(I+A)^{-1},

A=(IU)(I+U)^{-1}.