Normaali matriisi

Matematiikassa kompleksisen neliömatriisin A sanotaan olevan normaali , jos

A^{*}A=AA^{*}

missä A ∗ on A : n konjugaattitransponoitu matriisi . Siten matriisi on normaali silloin ja vain, jos se kommutee konjugaattitransponoitumisensa kanssa.

Reaalimatriisi A täyttää A ∗ = A T , ja siksi on normaalia, jos A T A = AA T .

Normaalius on kätevä testi diagonaalimuotoon pelkistettäväksi - matriisi on normaali silloin ja vain, jos se on yhtenäisesti samanlainen kuin diagonaalimatriisi , ja siksi mikä tahansa matriisi A , joka täyttää yhtälön A ∗ A = AA ∗ , voidaan pelkistää matriisiksi. diagonaalinen muoto. (Kahden matriisin A ja B sanotaan olevan unitaarisesti samanlaisia, jos on olemassa unitaarinen matriisi S , jossa A = S -1 BS .)

Normaalimatriisin käsite voidaan laajentaa normaalioperaattoreihin äärettömän ulottuvuuden Hilbert-avaruuksissa ja normaalielementteihin C*-algebroissa .

Erikoistilaisuudet

Monimutkaisten matriisien joukossa kaikki unitaariset , hermiittiset ja vinohermiittiset matriisit ovat normaaleja. Reaalimatriisien joukossa kaikki ortogonaaliset , symmetriset ja vinosymmetriset matriisit ovat normaaleja. Ei kuitenkaan ole totta, että kaikki normaalimatriisit ovat joko unitaarisia, hermiittisiä tai vinohermiittisiä. Esimerkiksi,

A={\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{pmatrix}}

ei ole yhtenäinen, hermiittinen eikä vinohermiittinen, vaikka se on normaalia, koska

AA^{*}={\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix}}=A^{*}A.

Seuraukset

Tuomita. Normaali kolmiomatriisi on diagonaalinen .

Olkoon A normaali ylempi kolmiomatriisi. Koska ( A ∗ A ) ii = ( AA ∗ ) ii , ensimmäisellä rivillä on oltava sama normi kuin ensimmäisessä sarakkeessa:

\left\|Ae_{1}\right\|^{2}=\left\|A^{*}e_{1}\right\|^{2}.

Ensimmäisen rivin ja ensimmäisen sarakkeen ensimmäiset elementit ovat samat, ja loppuosa ensimmäisestä sarakkeesta koostuu nollista. Tästä seuraa, että merkkijonossa kaikkien alkioiden välillä 2 - n on oltava nollia. Jatkamalla tätä päättelyä rivi/sarake-pareille, joiden numerot ovat 2 - n , saadaan, että A on diagonaali.

Normaaliuden käsite on tärkeä, koska normaalimatriisit ovat juuri niitä, joista spektrilause koskee :

Tuomita. Matriisi A on normaali silloin ja vain, jos on olemassa diagonaalimatriisi Λ ja unitaarimatriisi U siten, että A = U Λ U ∗ .

Matriisin Λ diagonaaliset alkiot ovat ominaisarvoja ja U :n sarakkeet matriisin A ominaisvektoreita . ( Λ : n ominaisarvot ovat samassa järjestyksessä kuin niitä vastaavat ominaisvektorit U :ssa ).

Toinen tapa esittää spektrilause on sanoa, että normaalimatriisit ovat juuri niitä matriiseja, jotka voidaan esittää diagonaalimatriisina valitsemalla sopiva ortonormaalikanta avaruudelle C n . Voidaan myös väittää, että matriisi on normaali silloin ja vain, jos sen ominaisavaruus osuu yhteen Cn: n kanssa ja ominaisvektorit ovat ortogonaalisia C n :n standardisisätuloon nähden .

Normaalimatriisien spektrilause on erikoistapaus yleisemmästä Schur-hajotelmasta , joka pätee kaikkiin neliömatriiseihin. Olkoon A neliömatriisi. Sitten Schur-hajotelman mukaan se on yhtenäisesti samanlainen kuin ylempi kolmiomatriisi, sanotaan B . Jos A on normaali, myös B on normaali. Mutta silloin B :n on oltava diagonaali edellä mainitusta syystä.

Spektrilauseen avulla normaalimatriisit voidaan luokitella spektrin perusteella, esimerkiksi:

Tuomita. Normaali matriisi on yhtenäinen silloin ja vain, jos sen spektri on kompleksitason yksikköympyrässä. Tuomita. Normaali matriisi on itseadjungoitu silloin ja vain, jos sen spektri sisältyy R :ään .

Yleensä kahden normaalimatriisin summa tai tulo ei välttämättä ole normaalimatriisi. Kuitenkin tehdään seuraavaa:

Tuomita. Jos A ja B ovat normaaleja ja AB = BA pätee , niin sekä AB että A + B ovat myös normaaleja. Lisäksi on olemassa unitaarinen matriisi U , jossa UAU ∗ ja UBU ∗ ovat diagonaalisia. Toisin sanoen A ja B ovat yhdessä pelkistettävissä diagonaalimuotoon .

Tässä nimenomaisessa tapauksessa matriisin U ∗ sarakkeet ovat sekä A:n että B :n ominaisvektoreita ja muodostavat ortonormaalin kannan C n :ssä . Lauseista seuraa väite, että työmatkamatriisit algebrallisesti suljetun kentän yli ovat yhdessä pelkistettävissä kolmiomuotoon ja että normaalimatriisi on pelkistävissä diagonaaliseen, jälkimmäisessä tapauksessa lisäten, että tämä voidaan tehdä samanaikaisesti. .

Vastaavat määritelmät

Voidaan antaa melko pitkä lista normaalimatriisin vastaavista määritelmistä. Olkoon A n × n -kompleksimatriisi . Seuraavat lausunnot ovat vastaavia:

A on normaali.
A on pelkistävissä diagonaalimuotoon unitaarimatriisin avulla.
Kaikki avaruuden pisteet voidaan saada matriisin A joidenkin ortonormaalien ominaisvektorien lineaarisina yhdistelminä .
|| Kirves || = || A ∗ x || mille tahansa x :lle .
Matriisin A Frobenius-normi voidaan laskea matriisin A ominaisarvoista : $\operaattorinimi {tr}(A^{*}A)=\summa \nlimits _{j}|\lambda _{j}|^{2}.$
Matriisin A hermiittinen osa ja vino-hermiittinen osa työmatkat. $(A+A^{\ast })/2$ $(AA^{{\ast )))/2$
A ∗ on polynomi (aste ≤ n − 1 ) A: ssa [1] .
A ∗ = AU jollekin unitaarimatriisille U [2] .
U ja P kommutoivat, missä U ja P edustavat A = UP :n polaarista hajoamista unitaarimatriisiksi U ja joksikin positiiviseksi määrätyksi matriisiksi P .
A työntää jonkin normaalimatriisin N kanssa , jolla on erilliset ominaisarvot.
i = | λ i | kaikille 1 ≤ i ≤ n , jossa A: lla on singulaariset ominaisarvot σ 1 ≥ ... ≥ σ n ja ominaisvektorit | λ 1 | ≥ ... ≥ | λ n |. [3]
Normaalimatriisin A operaattorinormi on yhtä suuri kuin matriisin A numeerinen [ ja spektrisäde ] . Se tarkoittaa:

\sup _{{\|x\|=1}}\|Ax\|=\sup _{{\|x\|=1}}|\langle Ax,x\rangle |=\max\{|\ lambda |:\lambda \in \sigma (A)\}

Jotkut, mutta eivät kaikki, edellä luetelluista määritelmistä voidaan yleistää normaaleiksi operaattoreiksi äärettömän ulottuvuuden Hilbert-avaruuksissa. Esimerkiksi rajattu operaattori, joka täyttää kohdan (9), on vain kvasinormaali .

Analogiat

Joskus on hyödyllistä (ja joskus harhaanjohtavaa) tarkastella erilaisten normaalimatriisien suhteita analogiana erilaisiin kompleksilukuihin:

Käännettävät matriisit ovat analogisia nollasta poikkeavien kompleksilukujen kanssa
Konjugaatti-transponoitu matriisi on analoginen konjugaattiluvun kanssa
Yksikkömatriisit ovat analogisia kompleksilukujen kanssa, joiden absoluuttinen arvo on 1
Hermitian matriisit ovat reaalilukujen analogeja
Hermiittiset positiiviset määrätyt matriisit ovat positiivisten reaalilukujen analogeja
Vino-Hermitian matriisit ovat puhtaasti kuvitteellisten lukujen analogeja

Kompleksiluvut voidaan upottaa normaaleihin 2 × 2 reaalimatriiseihin kartoittamalla

a+bi\mapsto {\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}},

ja tämä upotus säilyttää yhteen- ja kertolaskujen. On helppo tarkistaa, että tässä tapauksessa kaikki yllä olevat analogiat säilyvät.

Muistiinpanot

↑ Todistus: Jos A on normaali, käytä Lagrangen interpolaatiokaavaa polynomin P rakentamiseen siten, että λ j = P ( λ j ) , missä λ j ovat matriisin A ominaisarvot .
↑ Horn, s. 109
↑ Roger A. Horn, Charles R. Johnson. Aiheet matriisianalyysissä . - Cambridge University Press, 1991. - s . 157 . — ISBN 978-0-521-30587-7 .

Linkit

Horn, Roger A. & Johnson, Charles R. (1985), Matrix Analysis , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-38632-6 .