Virial

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 26. kesäkuuta 2016 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 27 muokkausta .

Pistehiukkasten joukon viriaali mekaniikassa määritellään skalaarifunktiona: $N$

\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k},

missä ja ovat koordinaattien ja voimien avaruusvektorit -: nnelle hiukkaselle. ${\mathbf {r}}_{k}$ ${\mathbf {F}}_{k}$ $k$

Ilmaisu "virial" tulee latinan sanoista "vis" , "viris" - "voima" tai "energia". Clausius esitteli sen vuonna 1870 .

Viriaalinen lause

Potentiaalisten voimien sitomalle vakaalle järjestelmälle viriaalilause [1] on totta :

2\langle T\rangle =-\sum _{{k=1}}^{N}\langle {\mathbf {F}}_{k}\cdot {\mathbf {r}}_{k}\rangle ,

jossa edustaa keskimääräistä kokonaiskineettistä energiaa ja on -: nteen hiukkaseen vaikuttava voima . $\langle T\rangle$ ${\mathbf {F}}_{k}$ $k$

Siinä erikoistapauksessa , jossa voimaa vastaava vuorovaikutuksen potentiaalienergia on verrannollinen hiukkasten välisen etäisyyden potenssiin , viriaalilause saa yksinkertaisen muodon. $V(r)$ $n$ $r$

2\langle T\rangle =n\langle U\rangle .

Toisin sanoen kaksi kertaa keskimääräinen kokonaiskineettinen energia on - kertaa keskimääräinen kokonaispotentiaalienergia . $T$ $n$ $U$

Viriaalilauseen merkitys on siinä, että sen avulla voidaan laskea keskimääräinen kokonaiskineettinen energia jopa erittäin monimutkaisille järjestelmille, joihin ei ole mahdollista saada tarkkaa ratkaisua ja joita esimerkiksi tilastomekaniikka ottaa huomioon . Viriaalilausetta voidaan käyttää esimerkiksi johtamaan ekvipartiaalilausetta ( lause energian tasaisesta jakautumisesta vapausasteiden välillä) tai laskemaan Chandrasekharin raja valkoisen kääpiön stabiiliudelle .

Aika derivaatta ja keskiarvo

Viriaaliin liittyy läheisesti toinen skalaarifunktio:

G=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {p} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k},

missä on th hiukkasen liikemäärä . ${\mathbf {p}}_{k}$ $k$

Funktion aikaderivaata voidaan kirjoittaa seuraavasti: $G$

{\frac {dG}{dt}}=\sum _{{k=1}}^{N}{\frac {d{\mathbf {p}}_{k}}{dt}}\cdot {\ mathbf {r}}_{k}+\sum _{{k=1}}^{N}{\mathbf {p}}_{k}\cdot {\frac {d{\mathbf {r}}_ {k}}{dt}}=

=\sum _{{k=1}}^{N}{\mathbf {F}}_{k}\cdot {\mathbf {r}}_{k}+\sum _{{k=1}} ^{N}m_{k}{\frac {d{\mathbf {r}}_{k}}{dt}}\cdot {\frac {d{\mathbf {r}}_{k}}{dt }}

tai yksinkertaisemmassa muodossa

{\frac {dG}{dt}}=2T+\sum _{{k=1}}^{N}{\mathbf {F}}_{k}\cdot {\mathbf {r}}_{k} .

Tässä on : nnen hiukkasen massa, hiukkaseen vaikuttava kokonaisvoima ja järjestelmän kokonaiskineettinen energia $m_{k}$ $k$ ${\mathbf {F}}_{k}={\frac {d{\mathbf {p}}_{k}}{dt}}$ $T$

T={\frac {1}{2}}\sum _{{k=1}}^{N}m_{k}v_{k}^{2}={\frac {1}{2}}\ summa _{{k=1}}^{N}m_{k}{\frac {d{\mathbf {r}}_{k}}{dt}}\cdot {\frac {d{\mathbf {r }}_{k}}{dt}}.

Tämän johdannaisen keskiarvo ajan suhteen määritellään seuraavasti: $\tau$

\left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }={\frac {1}{\tau }}\int \limits _{0}^{\tau }{\ frac {dG}{dt}}\,dt={\frac {1}{\tau }}\int \limits _{0}^{\tau }dG={\frac {G(\tau )-G( 0)}{\tau }},

mistä saamme tarkan ratkaisun

\left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }=2\langle T\rangle _{\tau }+\sum _{{k=1}}^{N} \langle {\mathbf {F}}_{k}\cdot {\mathbf {r}}_{k}\rangle _{\tau }.

Viriaalilause

Viriaalilause sanoo:

Jos , niin $\left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }=0$

2\langle T\rangle _{\tau }=-\sum _{{k=1}}^{N}\langle {\mathbf {F}}_{k}\cdot {\mathbf {r}}_ {k}\rangle _{\tau }.

On useita syitä, miksi aikaderivaatan keskiarvotus katoaa, eli . Yksi usein mainittu syy vetoaa kytkettyihin järjestelmiin , toisin sanoen järjestelmiin, jotka pysyvät avaruudessa. Tässä tapauksessa funktio on yleensä rajoitettu kahteen rajaan ja , ja keskiarvo pyrkii nollaan hyvin pitkien aikojen rajassa : $\left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }=0$ $G^{{{\mathrm {bound}}}}$ $G_{\min }$ $G_{\max }$ $\tau$

\lim _{{\tau \to \infty }}\left|\left\langle {\frac {dG^{({\mathrm {bound}}}}}{dt}}\right\rangle _{\tau }\right|=\lim _{{\tau \to \infty }}\left|{\frac {G(\tau )-G(0)}{\tau }}\right|\leqslant \lim _{ {\tau \to \infty }}{\frac {G_{\max }-G_{\min }}{\tau }}=0.

Tämä johtopäätös pätee vain niille järjestelmille, joissa funktio riippuu vain ajasta eikä ole merkittävästi riippuvainen koordinaateista. Jos aikaderivaatan keskiarvo on , viriaalilauseella on sama approksimaatioaste. $G$ $\left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }\noin 0$

Suhde potentiaaliseen energiaan

Hiukkaseen vaikuttava kokonaisvoima on kaikkien järjestelmän muihin hiukkasiin vaikuttavien voimien summa ${\mathbf {F}}_{k}$ $k$ $j$

{\mathbf {F}}_{k}=\sum _{{j=1}}^{N}{\mathbf {F}}_{{jk}},

missä on hiukkaseen hiukkasen sivulta vaikuttava voima . Näin ollen voiman sisältävän funktion aikaderivaatassa oleva termi voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti: ${\mathbf {F}}_{{jk}}$ $j$ $k$ $G$

\sum _{{k=1}}^{N}{\mathbf {F}}_{k}\cdot {\mathbf {r}}_{k}=\sum _{{k=1}}^ {N}\sum _{{j=1}}^{N}{\mathbf {F}}_{{jk}}\cdot {\mathbf {r}}_{k}.

Koska omatoimia ei ole (eli missä ), saamme: ${\mathbf {F}}_{{jk}}=0$ $j=k$

\sum _{{k=1}}^{N}{\mathbf {F}}_{k}\cdot {\mathbf {r}}_{k}=\sum _{{k=1}}^ {N}\summa _{{j<k}}{\mathbf {F}}_{{jk}}\cdot {\mathbf {r}}_{k}+\sum _{{k=1}} ^{N}\sum _{{j>k}}{\mathbf {F}}_{{{jk}}\cdot {\mathbf {r}}_{k}=\sum _{{k=1} }^{N}\sum _{{j<k}}{\mathbf {F}}_{{jk}}\cdot ({\mathbf {r}}_{k}-{\mathbf {r}} _{j}),

[2]

missä oletetaan, että Newtonin kolmas laki täyttyy , eli (absoluuttisesti yhtä suuri ja suunnaltaan vastakkainen). ${\mathbf {F}}_{{jk}}=-{\mathbf {F}}_{{kj}}$

Usein käy niin, että voimat voidaan johtaa potentiaalienergiasta , joka on vain pistehiukkasten ja pisteen välisen etäisyyden funktio . Koska voima on potentiaalienergian gradientti päinvastaisella etumerkillä, meillä on tässä tapauksessa $V$ $r_{{jk}}$ $j$ $k$

{\mathbf {F}}_{{jk}}=-\nabla _{({\mathbf {r}}_{k}}}V=-{\frac {dV}{dr}}{\frac { {\mathbf {r}}_{k}-{\mathbf {r}}_{j}}{r_{{jk}}}},

joka on absoluuttisesti yhtä suuri ja suunnaltaan vastakkainen vektorille - voima, joka vaikuttaa hiukkasen sivulta hiukkaseen , kuten voidaan osoittaa yksinkertaisilla laskelmilla. Siten voimatermi funktion derivaatassa ajan suhteen on yhtä suuri ${\mathbf {F}}_{{kj}}=-\nabla _{({\mathbf {r}}_{j}}}V$ $k$ $j$ $G$

\sum _{{k=1}}^{N}{\mathbf {F}}_{k}\cdot {\mathbf {r}}_{k}=\sum _{{k=1}}^ {N}\sum _{{j<k}}{\mathbf {F}}_{{jk}}\cdot ({\mathbf {r}}_{k}-{\mathbf {r}}_{ j})=-\sum _{{k=1}}^{N}\sum _{{j<k}}{\frac {dV}{dr}}{\frac {({\mathbf {r} }_{k}-{\mathbf {r}}_{j})^{2}}{r_{{jk}}}}=-\sum _{{k=1}}^{N}\sum _{{j<k}}{\frac {dV}{dr}}r_{{jk}}.

Sovellus etäisyysriippuvaisiin voimiin

Usein käy ilmi, että potentiaalienergialla on tehofunktion muoto $V$

V(r_{{jk}})=\alpha r_{{jk}}^{n},

missä kerroin ja eksponentti ovat vakioita. Tässä tapauksessa funktion aikaderivaattassa oleva voimatermi saadaan seuraavilla yhtälöillä $\alpha$ $n$ $G$

-\sum _{{k=1}}^{N}{\mathbf {F}}_{k}\cdot {\mathbf {r}}_{k}=\sum _{{k=1}} ^{N}\sum _{{j<k}}{\frac {dV}{dr}}r_{{jk}}=\sum _{{k=1}}^{N}\sum _{{ j<k}}nV(r_{{jk}})=nU,

missä on järjestelmän kokonaispotentiaalienergia: $U$

U=\summa _{{k=1}}^{N}\sum _{{j<k}}V(r_{{jk}}).

Tapauksissa, joissa aikaderivaatan keskiarvo , yhtälö $\left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }=0$

\langle T\rangle _{\tau }=-{\frac {1}{2}}\sum _{{k=1}}^{N}\langle {\mathbf {F}}_{k}\ cdot {\mathbf {r}}_{k}\rangle _{\tau }={\frac {n}{2}}\langle U\rangle _{\tau }.

Yleisesti mainittu esimerkki on painovoiman vetovoima , jota varten . Siinä tapauksessa keskimääräinen kineettinen energia on puolet keskimääräisestä negatiivisesta potentiaalienergiasta $n = -1$

\langle T\rangle _{\tau }=-{\frac {1}{2}}\langle U\rangle _{\tau }.

Tämä tulos on erittäin hyödyllinen monimutkaisissa gravitaatiojärjestelmissä, kuten aurinkokunnassa tai galaksissa , ja pätee myös sähköstaattiseen järjestelmään , jolle se on sama. $n = -1$

Vaikka tämä lauseke on johdettu klassiselle mekaniikalle, viriaalilause pätee myös kvanttimekaniikkaan .

Sähkömagneettisten kenttien laskeminen

Viriaalilause voidaan yleistää sähkö- ja magneettikenttien tapaukselle. Tulos: [3]

{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}I+\int \limits _{V}x_{k}{\frac {\partial P_{k}}{\osittainen t}}\,d^{3}r=2(T+U)+W^{E}+W^{M}-\int x_{k}(p_{ik} +T_{ik})\,dS_{i},

missä on hitausmomentti , on Poynting-vektori , on "nesteen" liike-energia , on hiukkasten satunnainen lämpöenergia ja on sähkö- ja magneettikenttien energia tarkastelussa järjestelmän tilavuudessa, on nesteen painetensori ilmaistuna nesteen mukana tulevassa paikallisessa liikkuvassa koordinaattijärjestelmässä: $minä$ $P$ $T$ $U$ $W^{E}$ $W^{M}$ $p_{{ik}}$

p_{{ik))=\Sigma n^{\sigma }m^{\sigma }\langle v_{i}v_{k}\rangle ^{\sigma }-V_{i}V_{k}\Sigma m ^{\sigma }n^{\sigma }

ja on sähkömagneettisen kentän energia-momenttitensori: $T_{ik}$

T_{{ik}}=\left({\frac {\varepsilon _{0}E^{2}}{2}}+{\frac {B^{2}}{2\mu _{0}} }\right)\delta _{{ik}}-\left(\varepsilon _{0}E_{i}E_{k}+{\frac {B_{i}B_{k}}{\mu _{0 }}}\oikea).

Plasmoidi on rajoitettu magneettikenttien ja plasman konfiguraatio. Viriaalisen lauseen avulla on helppo osoittaa, että mikä tahansa tällainen konfiguraatio laajenee, jos ulkoiset voimat eivät sitä hillitse. Lopullisessa konfiguraatiossa pintaintegraali katoaa ilman paineseiniä tai magneettikeloja. Koska kaikki muut oikealla olevat termit ovat positiivisia, myös hitausmomentin kiihtyvyys on positiivinen. Laajentumisaika on helppo arvioida . Jos kokonaismassaa rajoitetaan säteen sisällä , hitausmomentti on likimääräinen ja viriaalilauseen vasen puoli on . Oikealla olevat termit laskevat yhteen arvon, joka on suuruusluokkaa , jossa on plasmapaine tai magneettinen paine, kumpi on suurempi. Kun nämä kaksi termiä rinnastetaan ja otetaan huomioon, että , , , missä on ionin massa, on ionien pitoisuus, on plasmoidin tilavuus, on Boltzmannin vakio, on lämpötila, sillä löydämme: $\tau$ $M$ $R$ $MR^{2}$ $MR^{2}/\tau ^{2}$ $pR^{3}$ $s$ ${\displaystyle M=m_{i}nV\sim m_{i}nR^{3))$ $p\sim nkT$ ${\displaystyle c_{s}^{2}\sim {\frac {kT}{m_{i))))$ $mi}$ $n$ $V\sim R^{3}$ $k$ $T$ $\tau$

\tau \sim R/c_{s},

missä on ioni-akustisen aallon nopeus (tai Alphen-aallon , jos magneettinen paine on korkeampi kuin plasman paine). Siten plasmoidin eliniän odotetaan olevan suuruusjärjestyksessä yhtä suuri kuin akustinen (Alfen) kulkuaika. $c_{s}$

Relativistinen homogeeninen järjestelmä

Siinä tapauksessa, että fyysinen järjestelmä ottaa huomioon painekentän, sähkömagneettiset ja gravitaatiokentät sekä hiukkaskiihtyvyyskentän, viriaalilause relativistisessa muodossa kirjoitetaan seuraavasti: [4]

~\langle W_{k}\rangle \approx -0{,}6\sum _{k=1}^{N}\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\rangle ,

lisäksi arvo ylittää hiukkasten kineettisen energian kertoimella, joka on yhtä suuri kuin järjestelmän keskellä olevien hiukkasten Lorentz-tekijä . Normaaleissa olosuhteissa voidaan olettaa, että , ja silloin on selvää, että viriaalilauseessa kineettinen energia ei liity potentiaalienergiaan kertoimella 0,5, vaan pikemminkin kertoimella, joka on lähellä 0,6. Ero klassiseen tapaukseen johtuu painekentän ja hiukkaskiihtyvyyskentän huomioon ottamisesta järjestelmän sisällä, kun taas skalaarifunktion derivaatta ei ole yhtä suuri kuin nolla ja sitä tulee pitää Lagrangen derivaatana . $~W_{k}\noin \gamma _{c}T$ $~T$ $~\gamma _{c}$ $~\gamma _{c}\noin 1$ $~G$

Yleistetyn viriaalin integraalilauseen analyysi mahdollistaa kenttäteorian pohjalta kaavan järjestelmän tyypillisten hiukkasten neliönopeuden keskiarvolle ilman lämpötilan käsitettä: [5]

v_{\mathrm {rms} }=c{\sqrt {1-{\frac {4\pi \eta \rho _{0}r^{2}}{c^{2}\gamma _{ c}^{2}\sin ^{2}{\left({\frac {r}{c)){\sqrt {4\pi \eta \rho _{0))}\oikea))))) },

missä on valon nopeus, on kiihtyvyyskentän vakio, on hiukkasten massatiheys, on virran säde. $~c$ $~\eta$ ${\displaystyle ~\rho _{0))$ ${\displaystyle~r}$

Toisin kuin hiukkasten viriaalilause, sähkömagneettisen kentän viriaalilause kirjoitetaan seuraavasti: [6]

~E_{kf}+2W_{f}=0,

missä on energia $~E_{kf}=\int {A_{\alpha }j^{\alpha }{\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}}$

katsotaan 4-virtaan liittyvän kentän kineettiseksi energiaksi ja suureksi ${\displaystyle ~j^{\alpha ))$

~W_{f}={\frac {1}{4\mu _{0))}\int {F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }{\sqrt {-g} }dx^{1}dx^{2}dx^{3}}

määrittää kentän potentiaalienergian, joka löytyy sähkömagneettisen tensorin komponenttien kautta.

Katso myös

Viruksen hajoaminen

Muistiinpanot

↑ Sivukhin D.V. Fysiikan yleinen kurssi. Mekaniikka. - M . : Nauka, 1979. - Levikki 50 000 kappaletta. - Kanssa. 141.
↑ Todiste tästä tasa-arvosta
↑ Schmidt G. Korkean lämpötilan plasman fysiikka. - Toinen painos. - Academic Press, 1979. - s. 72.
↑ Fedosin, SG Viriaalinen lause ja makroskooppisen järjestelmän hiukkasten kineettinen energia yleisessä kenttäkonseptissa (englanniksi) // Continuum Mechanics and Thermodynamics : Journal. - 2016. - Vol. 29 , ei. 2 . - s. 361-371 . - doi : 10.1007/s00161-016-0536-8 . - . - arXiv : 1801.06453 .
↑ Fedosin, Sergey G. Yleistetyn viriaalin integraalilause relativistisessa yhtenäisessä mallissa (englanniksi) // Continuum Mechanics and Thermodynamics : Journal. - 2018. - 24. syyskuuta ( osa 31 , nro 3 ). - s. 627-638 . — ISSN 1432-0959 . - doi : 10.1007/s00161-018-0715-x . — . - arXiv : 1912.08683 .
↑ Fedosin SG Kentän energian integraalilause. Arkistoitu 23. kesäkuuta 2019 Wayback Machine Gazi University Journal of Scienceen. Voi. 32, nro. 2, s. 686-703(2019). http://dx.doi.org/10.5281/zenodo.3252783 .

Kirjallisuus

Goldstein H. Klassinen mekaniikka. – 2. toim. - Addison-Wesley, 1980. - ISBN 0-201-02918-9 .

Sanakirjat ja tietosanakirjat	iso kiinalainen Iso venäläinen